1 деленное на косинус. Нестыковки при изучении тригонометрии
Для начала рассмотрим круг с радиусом 1 и с центром в (0;0). Для любого αЄR можно провести радиус 0A так, что радианная мера угла между 0A и осью 0x равна α. Направление против часовой стрелки считается положительным. Пусть конец радиуса А имеет координаты (a,b).
Определение синуса
Определение: Число b, равное ординате единичного радиуса, построенного описанным способом, обозначается sinα и называется синусом угла α.
Пример: sin 3π cos3π/2 = 0 0 = 0
Определение косинуса
Определение: Число a, равное абсциссе конца единичного радиуса, построенного описанным способом, обозначается cosα и называется косинусом угла α.
Пример: cos0 cos3π + cos3,5π = 1 (-1) + 0 = 2
Эти примеры используют определение синуса и косинуса угла через координаты конца единичного радиуса и единичной окружности. Для более наглядного представления необходимо нарисовать единичную окружность и отложить на ней соответствующие точки, а затем посчитать их абсциссы для вычисления косинуса и ординаты для вычисления синуса.
Определение тангенса
Определение: Функция tgx=sinx/cosx при x≠π/2+πk, kЄZ, называется котангенсом угла x. Область определения функции tgx это все действительные числа, кроме x=π/2+πn, nЄZ.
Пример: tg0 tgπ = 0 0 = 0
Этот пример аналогичен предыдущему. Для вычисления тангенса угла нужно поделить ординату точки на её абсциссу.
Определение котангенса
Определение: Функция ctgx=cosx/sinx при x≠πk, kЄZ называется котангенсом угла x. Область определения функции ctgx = -все действительные числа кроме точек x=πk, kЄZ.
Рассмотрим пример на обычном прямоугольном треугольнике
Чтобы было понятнее, что же такое косинус, синус, тангенс и котангенс. Рассмотрим пример на обычном прямоугольном треугольнике с углом y и сторонами a,b,c . Гипотенуза с, катеты соответственно a и b. Угол между гипотенузой c и катетом b y.
Определение: Синус угла y - это отношение противолежащего катета к гипотенузе: siny = а/с
Определение: Косинус угла y это отношение прилежащего катета к гипотенузе: сosy= в/с
Определение: Тангенс угла у - это отношение противолежащего катета к прилежащему: tgy = а/в
Определение: Котангенс угла y -это отношение прилежащего катета к противолежащему: ctgy= в/а
Cинус, косинус, тангенс и котангенс называют ещё тригонометрическими функциями. У каждого угла есть свой синус и косинус. И практически у каждого есть свой тангенс и котангенс.
Считается, что если нам дан угол, то его синус, косинус, тангенс и котангенс нам известны! И наоборот. Дан синус, или любая другая тригонометрическая функция соответственно, мы знаем угол. Созданы даже специальные таблицы, где расписаны тригонометрические функции для каждого угла.
Я думаю, вы заслуживаете больше, чем это. Вот мой ключ к тригонометрии:
- Нарисуйте купол, стену и потолок
- Тригонометрические функции - это не что иное, как процентное отношение этих трех форм.
Метафора для синуса и косинуса: купол
Вместо того, чтобы просто смотреть на сами треугольники, представьте их в действии, найдя какой-то частный пример из жизни.
Представьте, будто вы находитесь посередине купола и хотите подвесить экран для кинопроектора. Вы указываете пальцем на купол под неким углом “x”, и к этой точке должен быть подвешен экран.
Угол, на который вы указываете, определяет:
- синус(x) = sin(x) = высота экрана (от пола до точки крепления на куполе)
- косинус(x) = cos(x) = расстояние от вас до экрана (по полу)
- гипотенуза, расстояние от вас к верхушке экрана, всегда одинаковое, равно радиусу купола
Хотите, чтобы экран был максимально большой? Повесьте его прямо над собой.
Хотите, чтобы экран висел на максимально большом расстоянии от вас? Вешайте его прямо перпендикулярно. У экрана будет нулевая высота в этом положении, и он будет висеть наиболее отдаленно, как вы и просили.
Высота и расстояние от экрана обратно пропорциональны: чем ближе висит экран, тем его высота будет больше.
Синус и косинус - это проценты
Никто в годы моей учебы, увы, не объяснил мне, что тригонометрические функции синус и косинус - это не что иное, как проценты. Их значения варьируются от +100% до 0 и до -100%, или от положительного максимума до нуля и до отрицательного максимума.
Скажем, я заплатил налог 14 рублей. Вы не знаете, насколько это много. Но если сказать, что я заплатил 95% в качестве налога, вы поймете, что меня просто ободрали, как липку.
Абсолютная высота ни о чем не говорит. Но если значение синуса составляет 0.95, то я понимаю, что телевизор висит почти на верхушке вашего купола. Очень скоро он достигнет максимальной высоты по центру купола, а затем начнет снова снижаться.
Как мы можем вычислить этот процент? Очень просто: поделите текущее значение высоты экрана на максимально возможное (радиус купола, который также называют гипотенузой).
Вот почему нам говорят, что “косинус = противоположный катет / гипотенуза”. Это всё для того, чтобы получить процент! Лучше всего определить синус как “процент текущей высоты от максимально возможной”. (Синус становится отрицательным, если ваш угол указывает “под землю”. Косинус становится отрицательным, если угол указывает на точку купола позади вас).
Давайте упростим расчеты, предположив, что мы находимся в центре единичной окружности (радиус = 1). Мы можем пропустить деление и просто взять синус, равный высоте.
Каждая окружность, по сути, является единичной, увеличенной или уменьшенной в масштабе до нужного размера. Поэтому определите связи наединичной окружности и примените результаты к вашему конкретному размеру окружности.
Поэкспериментируйте: возьмите любой угол и посмотрите, какое процентное соотношение высоты к ширине он отображает:
График роста значения синуса - не просто прямая линия. Первые 45 градусов покрывают 70% высоты, а последние 10 градусов (с 80°до 90°) покрывают всего 2%.
Так вам станет понятнее: если идти по кругу, при 0° вы подымаетесь почти вертикально, но по мере подхода к верхушке купола, высота изменяется всё меньше и меньше.
Тангенс и секанс. Стена
Однажды сосед построил стену прямо впритык к вашему куполу. Плакали ваш вид из окна и хорошая цена для перепродажи!
Но можно ли как-то выиграть в этой ситуации?
Конечно, да. А что, если мы повесим киноэкран прямо на соседскую стену? Вы нацеливаетесь на угол (х) и получаете:
- тангенс(x) = tan(x) = высота экрана на стене
- расстояние от вас до стены: 1 (это радиус вашего купола, стена никуда не двигается от вас, верно?)
- секанс(x) = sec(x) = “длина лестницы” от вас, стоящего в центре купола, до верхушки подвешенного экрана
Давайте уточним пару моментов касательно тангенса, или высоты экрана.
- он начинается на 0, и может подниматься бесконечно высоко. Вы можете растягивать экран все выше и выше на стене, чтобы получить просто бесконечное полотно для просмотра любимого фильма! (На такой огромный, конечно, придется прилично потратиться).
- тангенс - это просто увеличенная версия синуса! И пока прирост синуса замедляется по мере продвижения к верхушке купола, тангенс продолжает расти!
Секансу тоже есть, чем похвастаться:
- cеканс начинается с 1 (лестница лежит на полу, от вас к стене) и начинает подниматься оттуда
- cеканс всегда длиннее тангенса. Наклоненная лестница, с помощью которой вы вешаете свой экран, должна быть длиннее, чем сам экран, верно? (При нереальных размерах, когда экран оооочень длинный, и лестницу нужно ставить практически вертикально, их размеры почти одинаковы. Но даже тогда секанс будет чуточку длиннее).
Помните, значения являются процентами . Если вы решили повесить экран под углом 50 градусов, tan(50)=1.19. Ваш экран на 19% больше, чем расстояние к стене (радиус купола).
(Введите x=0 и проверьте свою интуицию - tan(0) = 0, а sec(0) = 1.)
Котангенс и косеканс. Потолок
Невероятно, но ваш сосед теперь решил возвести перекрытие над вашим куполом. (Что с ним такое? Он, видимо, не хочет, чтобы вы за ним подглядывали, пока он разгуливает по двору голышом…)
Ну что ж, настало время построить выход на крышу и поговорить с соседом. Вы выбираете угол наклона, и начинаете строительство:
- вертикальное расстояние между выходом на крыше и полом всегда равно 1 (радиусу купола)
- котангенс(x) = cot(x) = расстояние между верхушкой купола и местом выхода
- косеканс(x) = csc(x) = длина вашего пути на крышу
Тангенс и секанс описывает стену, а КОтангенс и КОсеканс описывает перекрытие.
Наши интуитивные умозаключения в этот раз похожи на предыдущие:
- eсли вы возьмете угол, равный 0°, ваш выход на крышу будет длиться бесконечно, так как никогда не достигнет перекрытия. Проблемка.
- cамый короткий “трап” на крышу получится, если строить его под углом 90 градусов к полу. Котангенс будет равен 0 (мы вообще не передвигаемся вдоль крыши, выходим строго перпендикулярно), а косеканс равен 1 (“длина трапа” будет минимальной).
Визуализируйте связи
Если все три случая нарисовать в комбинации купол-стена-перекрытие, получится следующее:
Ну надо же, это всё один тот же треугольник, увеличенный в размере, чтобы достать до стены и до перекрытия. У нас есть вертикальные стороны (синус, тангенс), горизонтальные стороны (косинус, котангенс) и “гипотенузы” (секанс, косеканс). (По стрелкам вы можете видеть, докуда доходит каждый элемент. Косеканс - это полное расстояние от вас до крыши).
Немного волшебства. Все треугольники объединяют одни и те же равенства:
Из теоремы Пифагора (a 2 + b 2 = c 2) мы видим, как связаны стороны каждого треугольника. Кроме того, соотношения типа “высота к ширине” должны быть также одинаковыми для всех треугольников. (Просто отступите от самого большого треугольника к меньшему. Да, размер изменился, но пропорции сторон останутся прежними).
Зная, какая сторона в каждом треугольнике равна 1 (радиусу купола), мы легко вычислим, что “sin/cos = tan/1”.
Я всегда пытался запомнить эти факты путем простой визуализации. На картинке ты четко видишь эти зависимости, и понимаешь, откуда они берутся. Этот прием гораздо лучше заучивания сухих формул.
Не стоит забывать о других углах
Тсс… Не нужно зацикливаться на одном графике, думая, что тангенс всегда меньше 1. Если увеличить угол, можно дойти до потолка, не достигнув стены:
Связи Пифагора всегда работают, но относительные размеры могут быть разными.
(Вы, наверное, заметили, что соотношение синус и косинус всегда самые маленькие, потому что они заключены внутри купола).
Подытожим: что нам нужно запомнить?
Для большинства из нас, я бы сказал, что этого будет достаточно:
- тригонометрия поясняет анатомию математических объектов, таких как окружности и повторяющиеся интервалы
- аналогия купол/стена/крыша показывает связь между различными тригонометрическими функциями
- результатом тригонометрических функций являются проценты, которые мы применяем к нашему сценарию.
Вам не нужно запоминать формулы, типа 1 2 + cot 2 = csc 2 . Они годятся разве что для глупых тестов, в которых знание факта выдаётся за его понимание. Потратьте минутку, чтобы нарисовать полуокружность в виде купола, стену и крышу, подпишите элементы, и все формулы сами напросятся вам на бумагу.
Приложение: обратные функции
Любая тригонометрическая функция использует в качестве входного параметра угол и возвращает результат в виде процента. sin(30) = 0.5. Это означает, что угол в 30 градусов занимает 50% от максимальной высоты.
Обратная тригонометрическая функция записывается как sin -1 или arcsin (“арксинус”). Также часто пишут asin в различных языках программирования.
Если наша высота составляет 25% от высоты купола, каков наш угол?
В нашей табличке пропорций можно найти соотношение, где секанс делится на 1. Например, секанс на 1 (гипотенуза к горизонтали) будет равно 1 поделить на косинус:
Допустим, наш секанс равен 3.5, т.е. 350% от радиуса единичной окружности. Какому углу наклона к стене это значение соответствует?
Приложение: Несколько примеров
Пример: Найти синус угла x.
Скучная задачка. Давайте усложним банальное “найти синус” до “Какая высота в процентах от максимума (гипотенузы)?”.
Во-первых, заметьте, что треугольник повернут. В этом нет ничего страшного. Всё также у треугольника есть высота, она на рисунке указана зеленым.
А чему равна гипотенуза? По теореме Пифагора, мы знаем, что:
3 2 + 4 2 = гипотенуза 2 25 = гипотенуза 2 5 = гипотенуза
Хорошо! Синус - это процент высоты от самой длинной стороны треугольника, или гипотенузы. В нашем примере синус равен 3/5 или 0.60.
Конечно, мы можем пойти несколькими путями. Теперь мы знаем, что синус равен 0.60, и мы можем просто найти арксинус:
Asin(0.6)=36.9
А вот еще один подход. Заметьте, что треугольник стоит “лицом к лицу к стене”, так что вместо синуса мы можем использовать тангенс. Высота равна 3, расстояние стене - 4, так что тангенс равен ¾ или 75%. Мы можем использовать арктангенс, чтобы из процентного значения вернуться обратно в угол:
Tan = 3/4 = 0.75 atan(0.75) = 36.9 Пример: А доплывете ли вы до берега?
Вы в лодке, и у вас есть достаточно топлива, чтобы проплыть 2 км. Сейчас вы находитесь в 0.25 км от берега. Под каким максимальным углом к берегу вы можете доплыть до него так, чтобы хватило топлива? Дополнение к условию задачи: у нас в наличии есть только таблица значений арккосинусов.
Что мы имеем? Береговую линию можно представить как “стену” в нашем знаменитом треугольнике, а “длину лестницы”, приставленной к стене - максимально возможным преодолимым расстоянием на лодке к берегу (2 км). Вырисовывается секанс.
Сначала, нужно перейти на проценты. У нас есть 2 / 0.25 = 8, то есть мы можем проплыть расстояние, в 8 раз больше прямой дистанции до берега (или до стены).
Возникает вопрос “Чему равен секанс 8?”. Но мы не можем дать на него ответ, так как у нас есть только арккосинусы.
Мы используем наши ранее выведенные зависимости, чтобы привязать секанс к косинусу: “sec/1 = 1/cos”
Секанс 8 равен косинусу ⅛. Угол, косинус которого ⅛ равен acos(1/8) = 82.8. И это самый большой угол, который мы можем себе позволить на лодке с указанным количеством горючего.
Неплохо, правда? Без аналогии с куполом-стеной-потолком, я бы запутался в куче формул и вычислений. Визуализация задачи сильно упрощает поиск решения, к тому же, интересно увидеть, какая тригонометрическая функция в итоге поможет.
При решении каждой задачи думайте следующим образом: меня интересует купол (sin/cos), стена (tan/sec) или потолок (cot/csc)?
И тригонометрия станет куда приятнее. Легких вам вычислений!
Синус
острого угла α прямоугольного треугольника – это отношение противолежащего
катета к гипотенузе.
Обозначается так: sin α.
Косинус
острого угла α прямоугольного треугольника – это отношение прилежащего
катета к гипотенузе.
Обозначается так: cos α.
Тангенс
острого угла α – это отношение противолежащего катета к прилежащему катету.
Обозначается так: tg α.
Котангенс
острого угла α – это отношение прилежащего катета к противолежащему.
Обозначается так: ctg α.
Синус, косинус, тангенс и котангенс угла зависят только от величины угла.
Правила:
Основные тригонометрические тождества в прямоугольном треугольнике:
(α – острый угол, противолежащий катету b и прилежащий к катету a . Сторона с – гипотенуза. β – второй острый угол).
b | sin 2 α + cos 2 α = 1 | |
a | 1 | |
b | 1 | |
a | 1 1 | |
sin α |
При возрастании острого угла
sin α и
tg α возрастают, а
cos α убывает.
Для любого острого угла α:
sin (90° – α) = cos α
cos (90° – α) = sin α
Пример-пояснение :
Пусть в прямоугольном треугольнике АВС
АВ = 6,
ВС = 3,
угол А = 30º.
Выясним синус угла А и косинус угла В.
Решение .
1) Сначала находим величину угла В. Тут все просто: так как в прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90º, то угол В = 60º:
В = 90º – 30º = 60º.
2) Вычислим sin A. Мы знаем, что синус равен отношению противолежащего катета к гипотенузе. Для угла А противолежащим катетом является сторона ВС. Итак:
BC 3 1
sin A = -- = - = -
AB 6 2
3) Теперь вычислим cos B. Мы знаем, что косинус равен отношению прилежащего катета к гипотенузе. Для угла В прилежащим катетом является все та же сторона ВС. Это значит, что нам снова надо разделить ВС на АВ – то есть совершить те же действия, что и при вычислении синуса угла А:
BC 3 1
cos B = -- = - = -
AB 6 2
В итоге получается:
sin A = cos B = 1/2.
sin 30º = cos 60º = 1/2.
Из этого следует, что в прямоугольном треугольнике синус одного острого угла равен косинусу другого острого угла – и наоборот. Именно это и означают наши две формулы:
sin (90° – α) = cos α
cos (90° – α) = sin α
Убедимся в этом еще раз:
1) Пусть α = 60º. Подставив значение α в формулу синуса, получим:
sin (90º – 60º) = cos 60º.
sin 30º = cos 60º.
2) Пусть α = 30º. Подставив значение α в формулу косинуса, получим:
cos (90° – 30º) = sin 30º.
cos 60° = sin 30º.
(Подробнее о тригонометрии - см.раздел Алгебра)
Изучение тригонометрии мы начнем с прямоугольного треугольника. Определим, что такое синус и косинус, а также тангенс и котангенс острого угла. Это основы тригонометрии.
Напомним, что прямой угол - это угол, равный 90 градусов. Другими словами, половина развернутого угла.
Острый угол - меньший 90 градусов.
Тупой угол - больший 90 градусов. Применительно к такому углу «тупой» - не оскорбление, а математический термин:-)
Нарисуем прямоугольный треугольник. Прямой угол обычно обозначается . Обратим внимание, что сторона, лежащая напротив угла, обозначается той же буквой, только маленькой. Так, сторона, лежащая напротив угла A, обозначается .
Угол обозначается соответствующей греческой буквой .
Гипотенуза прямоугольного треугольника - это сторона, лежащая напротив прямого угла.
Катеты - стороны, лежащие напротив острых углов.
Катет , лежащий напротив угла , называется противолежащим (по отношению к углу ). Другой катет , который лежит на одной из сторон угла , называется прилежащим .
Синус острого угла в прямоугольном треугольнике - это отношение противолежащего катета к гипотенузе:
Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике - отношение прилежащего катета к гипотенузе:
Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике - отношение противолежащего катета к прилежащему:
Другое (равносильное) определение: тангенсом острого угла называется отношение синуса угла к его косинусу:
Котангенс острого угла в прямоугольном треугольнике - отношение прилежащего катета к противолежащему (или, что то же самое, отношение косинуса к синусу):
Обратите внимание на основные соотношения для синуса, косинуса, тангенса и котангенса, которые приведены ниже. Они пригодятся нам при решении задач.
Давайте докажем некоторые из них.
Хорошо, мы дали определения и записали формулы. А для чего все-таки нужны синус, косинус, тангенс и котангенс?
Мы знаем, что сумма углов любого треугольника равна .
Знаем соотношение между сторонами прямоугольного треугольника. Это теорема Пифагора: .
Получается, что зная два угла в треугольнике, можно найти третий. Зная две стороны в прямоугольном треугольнике, можно найти третью. Значит, для углов - свое соотношение, для сторон - свое. А что делать, если в прямоугольном треугольнике известен один угол (кроме прямого) и одна сторона, а найти надо другие стороны?
С этим и столкнулись люди в прошлом, составляя карты местности и звездного неба. Ведь не всегда можно непосредственно измерить все стороны треугольника.
Синус, косинус и тангенс - их еще называют тригонометрическими функциями угла - дают соотношения между сторонами и углами треугольника. Зная угол, можно найти все его тригонометрические функции по специальным таблицам. А зная синусы, косинусы и тангенсы углов треугольника и одну из его сторон, можно найти остальные.
Мы тоже нарисуем таблицу значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса для «хороших» углов от до .
Обратите внимание на два красных прочерка в таблице. При соответствующих значениях углов тангенс и котангенс не существуют.
Разберем несколько задач по тригонометрии из Банка заданий ФИПИ.
1. В треугольнике угол равен , . Найдите .
Задача решается за четыре секунды.
Поскольку , .
2 . В треугольнике угол равен , , . Найдите .
Найдем по теореме Пифагора.
Задача решена.
Часто в задачах встречаются треугольники с углами и или с углами и . Основные соотношения для них запоминайте наизусть!
Для треугольника с углами и катет, лежащий напротив угла в , равен половине гипотенузы .
Треугольник с углами и - равнобедренный. В нем гипотенуза в раз больше катета.
Мы рассмотрели задачи на решение прямоугольных треугольников - то есть на нахождение неизвестных сторон или углов. Но это не всё! В вариантах ЕГЭ по математике множество задач, где фигурирует синус, косинус, тангенс или котангенс внешнего угла треугольника . Об этом - в следующей статье.
Составной частью ЕГЭ являются тригонометрические уравнения.
К сожалению, не существует общего единого метода, следуя которому можно было бы решить любое уравнение, в котором участвуют тригонометрические функции. Успех здесь могут обеспечить лишь хорошие знания формул и умение видеть те или иные полезные комбинации, что вырабатывается лишь практикой.
Общая цель обычно состоит в преобразовании входящего в уравнение тригонометрического выражения к такому виду, чтобы корни находились из так называемых простейших уравнений:
| сos px = a; | sin gx = b; | tg kx = c; | ctg tx = d. |
Для этого необходимо уметь применять тригонометрические формулы. Полезно знать и называть их “именами”:
1. Формулы двойного аргумента, тройного аргумента:
сos 2x = cos 2 x – sin 2 x = 1 – 2 sin 2 x = 2 cos 2 x – 1;
sin 2x = 2 sin x cos x;
tg 2x = 2 tg x/1 – tg x;
ctg 2x = (ctg 2 x – 1)/2 ctg x;
sin 3x = 3 sin x – 4 sin 3 x;
cos 3x = 4 cos 3 x – 3 cos x;
tg 3x = (2 tg x – tg 3 x)/(1 – 3 tg 2 x);
ctg 3x = (ctg 3 x – 3ctg x)/(3ctg 2 x – 1);
2. Формулы половинного аргумента или понижения степени:
sin 2 x/2 = (1 – cos x)/2; сos 2 x/2 = (1 + cos x)/2;
tg 2 x = (1 – cos x)/(1 + cos x);
ctg 2 x = (1 + cos x)/(1 – cos x);
3. Введение вспомогательного аргумента:
рассмотрим на примере уравнения a sin x + b cos x = c а именно, определяя угол х из условий sin y = b/v(a 2 + b 2), cos y = a/v(a 2 + b 2), мы можем привести рассматриваемое уравнение к простейшему sin (x + y) = c/v(a 2 + b 2) решения которого выписываются без труда; тем самым определяются и решения исходного уравнения.
4. Формулы сложения и вычитания:
sin (a + b) = sin a cos b + cos a sin b;
sin (a – b) = sin a cos b – cos a sin b;
cos (a + b) = cos a cos b – sin a sin b;
cos (a – b) = cos a cos b + sin a sin b;
tg (a + b) = (tg a + tg b)/(1 – tg a tg b);
tg (a – b) = (tg a – tg b)/(1 + tg a tg b);
5. Универсальная тригонометрическая подстановка:
sin a = 2 tg (a/2)/(1 + ( tg 2 (a/2));
cos a = (1 – tg 2 (a/2))/(1 + ( tg 2 (a/2));
tg a = 2 tg a/2/(1 – tg 2 (a/2));
6. Некоторые важные соотношения:
sin x + sin 2x + sin 3x +…+ sin mx = (cos (x/2) -cos (2m + 1)x)/(2 sin (x/2));
cos x + cos 2x + cos 3x +…+ cos mx = (sin (2m+ 1)x/2 – sin (x/2))/(2 sin (x/2));
7. Формулы преобразования суммы тригонометрических функций в произведение:
sin a + sin b = 2 sin(a + b)/2 cos (a – b)/2;
cos a – cos b = -2 sin(a + b)/2 sin (b – a)/2;
tg a + tg b = sin (a + b)/(cos a cos b);
tg a – tg b = sin (a – b)/(cos a cos b).
А также формулы приведения.
В процессе решения надо особенно внимательно следить за эквивалентностью уравнений, чтобы не допустить потери корней (например, при сокращении левой и правой частей уравнения на общий множитель), или приобретения лишних корней (например, при возведении обеих частей уравнения в квадрат). Кроме того, необходимо контролировать принадлежат ли получающие корни к ОДЗ рассматриваемого уравнения.
Во всех необходимых случаях (т.е. когда допускались неэквивалентные преобразования), нужно обязательно делать проверку. При решении уравнении необходимо научить учащихся сводить их к определенным видам, обычно начиная с легких уравнении.
Ознакомимся с методами решения уравнений:
1. Сведение к виду аx 2 + bx + c = 0
2. Однородность уравнений.
3. Разложение на множители.
4. Сведение к виду a 2 + b 2 + c 2 = 0
5. Замена переменных.
6. Сведение уравнения к уравнению с одной переменной.
7. Оценка левой и правой части.
8. Метод пристального взгляда.
9. Введение вспомогательного угла.
10. Метод “ Разделяй и властвуй ”.
Рассмотрим примеры:
1. Решить уравнение: sin x + cos 2 х = 1/4.
Решение : Решим методом сведения к квадратному уравнению. Выразим cos 2 х через sin 2 x
sin x + 1 – sin 2 x = 1/4
4 sin 2 x – 4 sin x – 3 = 0
sin x = -1/2, sin x = 3/2(не удовлетворяет условию х€[-1;1]),
т.е. х = (-1) к+1 arcsin 1/2 + k, k€z,
Ответ : (-1) к+1 /6 + k, k€z.
2. Решить уравнение: 2 tg x cos x +1 = 2 cos x + tg x,
решим способом разложения на множители
2 tg x cos x – 2 cos x + 1 – tg x = 0,где х /2 + k, k€z,
2 cos x (tg x – 1) – (tg x – 1) = 0
(2 cos x – 1) (tg x – 1) = 0
2 cos x – 1 = 0 или tg x – 1 = 0
cos x = 1/2, tgx = 1,
т.е х = ± /3 + 2k, k€z, х = /4 + m, m€z.
Ответ : ± /3 + 2k, k€z, /4 + m, m€z.
3. Решить уравнение: sin 2 x – 3 sin х cos x + 2 cos 2 х = 0.
Решение : sin 2 x – 3 sin х cos x + 2 cos 2 х = 0 однородное уравнение 2 степени. Поскольку cos x = 0 не является корнем данного уравнения, разделим левую и правую часть на cos 2 х. В результате приходим к квадратному уравнению относительно tg x
tg 2 x – 3 tg x + 2 = 0,
tg x = 1 и tg x = 2,
откуда х = /4 + m, m€z,
х = arctg 2 + k, k€z.
Ответ : /4 + m, m€z, arctg 2 + k, k€z.
4. Решить уравнение: cos (10x + 12) + 42 sin (5x + 6) = 4.
Решение : Метод введения новой переменной
Пусть 5х + 6 = у, тогда cos 2у + 4 2 sin у = 4
1 – 2 sin 2 у + 4 2 sin у – 4 = 0
sin у = t, где t€[-1;1]
2t 2 – 4 2t + 3 = 0
t = 2/2 и t = 3 2/2 (не удовлетворяет условию t€[-1;1])
sin (5x + 6) = 2/2,
5x + 6 = (-1) к /4 + k, k€z,
х = (-1) к /20 – 6/5 + k/5, k€z.
Ответ : (-1) к?/20 – 6/5 + ?k/5, k€z.
5. Решить уравнение: (sin х – cos у) 2 + 40х 2 = 0
Решение: Используем а 2 +в 2 +с 2 = 0, верно, если а = 0, в = 0, с = 0. Равенство возможно, если sin х – cos у = 0, и 40х = 0 отсюда:
х = 0, и sin 0 – cos у = 0, следовательно, х = 0, и cos у = 0, отсюда: х = 0, и у = /2 + k, k€z, также возможна запись (0; /2 + k) k€z.
Ответ : (0; /2 + k) k€z.
6. Решить уравнение: sin 2 х + cos 4 х – 2 sin х + 1 = 0
Решение: Преобразуем уравнение и применим метод “разделяй и властвуй”
(sin 2 х – 2 sin х +1) + cos 4 х = 0;
(sin х – 1) 2 + cos 4 х = 0; это возможно если
(sin х – 1) 2 = 0, и cos 4 х = 0, отсюда:
sin х – 1 = 0, и cos х = 0,
sin х = 1, и cos х = 0, следовательно
х = /2 + k, k€z
Ответ : /2 + k, k€z.
7. Решить уравнение: sin 5х + sin х = 2 + cos 2 х.
Решение: применим метод оценки левой и правой части и ограниченность функций cos и sin.
– 1 sin 5х 1, и -1 sin х 1
0 + 2 2 + cos 2 х 1 + 2
2 2 + cos 2 х 3
sin 5х + sin х 2, и 2 + cos 2 х 2
2 sin 5х + sin х 2, т.е.
sin 5х + sin х 2,
имеем левая часть 2, а правая часть 2,
равенство возможно если, они оба равны 2.
cos 2 х = 0, и sin 5х + sin х = 2, следовательно
х = /2 + k, k€z (обязательно проверить).
Ответ : /2 + k, k€z.
8. Решить уравнение: cos х + cos 2х + cos 3х+ cos 4х = 0.
Решение : Решим методом разложения на множители. Группируем слагаемые, расположенные в левой части, в пары.
(В данном случае любой способ группировки приводит к цели.) Используем формулу cos a+cos b=2 cos (a + b)/2 cos (a – b)/2.
2 cos 3/2х cos х/2 + 2 cos 7/2х cos х/2 = 0,
cos х/2 (cos 3/2х + cos 7/2х) = 0,
2 cos 5/2х cos х/2 cos х = 0,
Возникают три случая:
Ответ : + 2k, /5 + 2/5k, /2 + k, k€z.
Обратим внимание на то, что второй случай включает в себя первый. (Если во втором случае взять к = 4 + 5, то получим + 2n). Поэтому нельзя сказать, что правильнее, но во всяком случае “культурнее и красивее” будет выглядеть ответ: х 1 = /5 + 2/5k, х 2 = /2 + k, k€z. (Вновь типичная ситуация, приводящая к различным формам записи ответа). Первый ответ также верен.
Рассмотренное уравнение иллюстрирует весьма типичную схему решения – разложение уравнения на множители за счёт попарной группировки и использования формул:
sin a + sin b = 2 sin (a + b)/2 cos (a – b)/2;
sin a – sin b = 2 cos (a + b)/2 sin (a – b)/2;
cos a + cos b = 2 cos (a + b)/2 cos (a – b)/2;
cos a – cos b = -2 sin (a + b)/2 sin (b – a)/2.
Проблема отбора корней, отсеивания лишних корней при решении тригонометрических уравнений весьма специфична и обычно оказывается более сложной, чем это имело место для уравнений алгебраических. Приведём решения уравнений, иллюстрирующие типичные случаи появления лишних (посторонних) корней и методы “борьбы” с ними.
Лишние корни могут появиться вследствие того, что в процессе решения произошло расширение области определения уравнений. Приведём примеры.
9. Решить уравнение: (sin 4х – sin 2х – cos 3х + 2sin х -1)/(2sin 2х – 3) = 0.
Решение: Приравняем нулю числитель (при этом происходит расширение области определения уравнения – добавляются значения х, обращающие в нуль знаменатель) и постараемся разложить его на множители. Имеем:
2 cos 3х sin х – cos 3х + 2sin х – 1 = 0,
(cos 3х + 1) (2 sin х – 1) = 0.
Получаем два уравнения:
cos 3х + 1 = 0, х = /3 + 2/3k.
Посмотрим, какие k нам подходят. Прежде всего, заметим, что левая часть нашего уравнения представляет собой периодическую функцию с периодом 2. Следовательно, достаточно найти решение уравнения, удовлетворяющее условию 0 х < 2 (один раз “обойти” круг), затем к найденным значениям прибавить 2k.
Неравенству 0 х < 2 удовлетворяют три числа: /3, 5/3.
Первое не подходит, поскольку sin 2/3 = 3/2, знаменатель обращается в нуль.
Ответ для первого случая: х 1 = + 2k, х 2 = 5/3 + 2k (можно х 2 = – /3 + 2k), k€z.
Найдём решение этого уравнения, удовлетворяющие условию 0 х < 2. Их два: /6, 5/6. Подходит второе значение.
Ответ : + 2k, 5/3 + 2k, 5/6 + 2k, k€z.
10. Найти корни уравнений: v(cos 2х + sin 3х) = v2 cos х.
Решение этого уравнения распадается на два этапа:
1) решение уравнения, получающегося из данного возведением в квадрат обеих его частей;
2) отбор тех корней, которые удовлетворяют условию cos х 0. При этом (как и в случае алгебраических уравнений) заботиться об условии cos 2х + sin 3х 0 нет необходимости. Все значения k, удовлетворяющие возведённому в квадрат уравнению, этому условию удовлетворяют.
Первый шаг приводит нас к уравнению sin 3х = 1, откуда х 1 = /6 + 2/3k.
Теперь надо определить, при каких k будет иметь место cos (/6 + 2/3k) 0. Для этого достаточно для k рассмотреть значения 0, 1, 2, т.е. как обычно “обойти один раз круг”, поскольку дальше значения косинуса будут отличаться от уже рассмотренных на величину, кратную 2.
Ответ : /6 + 2k, 3/2/3 + 2k, 5/6 + 2k, k€z.
11. Решить уравнение: sin 8 х – cos 5 х = 1.
Решение этого уравнения основывается на следующем простом соображении: если 0 < a < 1 то a t убывает с ростом t.
Значит, sin 8 х sin 2 х, – cos 5 х cos 2 х;
Сложив почленно эти неравенства, будем иметь:
sin 8 х – cos 5 х sin 2 х + cos 2 х = 1.
Следовательно, левая часть данного уравнения равна единице тогда и только тогда, когда выполняются два равенства:
sin 8 х = sin 2 х, cos 5 х = cos 2 х,
т.е. sin х может принимать значения -1, 0
Ответ : /2 + k, + 2k, k€z.
Для полноты картины рассмотрим ещё пример.
12. Решить уравнение: 4 cos 2 х – 4 cos 2 3х cos х + cos 2 3х = 0.
Решение : Будем рассматривать левую часть данного уравнения как квадратный трёхчлен относительно cos х.
Пусть D – дискриминант этого трёхчлена:
1/4 D = 4 (cos 4 3х – cos 2 3х).
Из неравенства D 0 следует cos 2 3х 0 или cos 2 3х 1.
Значит, возникают две возможности: cos 3х = 0 и cos 3х = ± 1.
Если cos 3х = 0, то из уравнения следует, что и cos х = 0, откуда х = /2 + k.
Эти значения х удовлетворяют уравнению.
Если cos 3х = 1, то из уравнения cos х = 1/2 находим х = ± /3 + 2k. Эти значения также удовлетворяют уравнению.
Ответ : /2 + k, /3 + 2k, k€z.
13. Решить уравнение: sin 4 x + cos 4 x = 7/2 sin x cos x.
Решение : Преобразуем выражение sin 4 x + cos 4 x,выделив полный квадрат: sin 4 x + cos 4 x = sin 4 x + 2 sin 2 х cos 2 х + cos 4 x – 2 sin 2 х cos 2 х = (sin 2 х + cos 2 х) 2 – 2 sin 2 х cos 2 х, откуда sin 4 x + cos 4 x = 1 – 1/2 sin 2 2х. Пользуясь полученной формулой, запишем уравнение в виде
1-1/2 sin 2 2х = 7/4 sin 2х.
обозначив sin 2х = t, -1 t 1,
получим квадратное уравнение 2t 2 + 7t – 4 = 0,
решая которое, находим t 1 = 1/2, t 2 = – 4
уравнение sin 2х = 1/2
2х = (- 1) к /6 + k, k€z, х = (- 1) к //12 + k /2, k€z .
