Построение четырех замечательных точек треугольника. Ученический проект "Замечательные точки треугольника"
Первые две теоремы Вам хорошо известны, две другие - докажем.
Теорема 1
Три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, которая есть центр вписанной окружности.
Доказательство
основано на том факте, что биссектриса угла есть геометрическое место точек, равноудалённых от сторон угла.
Теорема 2
Три серединных перпендикуляра к сторонам треугольника пересекаются в одной точке, которая есть центр описанной окружности.
Доказательство
основано на том, что серединный перпендикуляр отрезка есть геометрическое место точек, равноудалённых от концов этого отрезка.
Теорема 3
Три высоты или три прямые , на которых лежат высоты треугольника, пересекаются в одной точке. Эта точка называется ортоцентром треугольника.
Доказательство
Через вершины треугольника `ABC` проведём прямые, параллельные противолежащим сторонам.
В пересечении образуется треугольник `A_1 B_1 C_1`.
По построению `ABA_1C` - параллелограмм, поэтому `BA_1 = AC`. Аналогично устанавливается, что `C_1B = AC`, следовательно `C_1B = AC`, точка `B` - середина отрезка `C_1A_1`.
Совершенно так же показывается, что `C` - середина `B_1A_1` и `A` - середина `B_1 C_1`.
Пусть `BN` - высота треугольника `ABC`, тогда для отрезка `A_1 C_1` прямая `BN` - серединный перпендикуляр. Откуда следует, что три прямые, на которых лежат высоты треугольника `ABC`, являются серединными перпендикулярами трёх сторон треугольника `A_1B_1C_1`; а такие перпендикуляры пересекаются в одной точке (теорема 2).
Если треугольник остроугольный, то каждая из высот есть отрезок, соединяющий вершину и некоторую точку противолежащей стороны. В этом случае точки `B` и `N` лежат в разных полуплоскостях, образуемых прямой `AM`, значит отрезок `BN` , пересекает прямую `AM`, точка пересечения лежит на высоте `BN`, т. е. лежит внутри треугольника.
В прямоугольном треугольнике точка пересечения высот есть вершина прямого угла.
Теорема 4
Три медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся точкой пересечении в отношении `2:1`, считая от вершины
. Эта точка называется центром тяжести (или центром масс) треугольника.
Есть различные доказательства этой теоремы. Приведём то, которое основано на теореме Фалеса.
Доказательство
Пусть `E`, `D` и `F` - середины сторон `AB`, `BC` и `AC` треугольника `ABC`.
Проведём медиану `AD` и через точки `E` и `F` параллельные ей прямые `EK` и `FL`. По теореме Фалеса `BK = KD` `(/_ABC`, E K ‖ A D) EK\|AD) и `DL = LC` `(/_ACB`, A D ‖ F L) AD\| FL) . Но `BD = DC = a//2`, поэтому `BK = KD = DL = LC = a//4`. По тойже теореме `BN = NM = MF` `(/_ FBC`, N K ‖ M D ‖ F L) NK\| MD\| FL) , поэтому `BM = 2MF`.
Это означает, что медиана `BF` в точке `M` пересечения с медианой `AD` разделились в отношении `2:1` считая от вершины.
Докажем, что и медиана `AD` в точке `M` разделилась в том же отношении. Рассуждения аналогичны.
Если рассмотреть медианы `BF` и `CE` то также можно показать, что они пересекаются в той точке, в которой медиана `BF` делится в отношении `2:1` т. е. в той же точке `M`. И этой точкой медиана `CE` также разделится в отношении `2:1`, считая от вершины.
Баранова Елена
В данной работе рассмотрены замечательные точки треугольника, их свойства и закономерности такие, как окружность девяти точек и прямая Эйлера. Приведена историческая справка открытия прямой Эйлера и окружности девяти точек. Предложена практическая направленность прменения моего проекта.
Скачать:
Предварительный просмотр:
Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com
Подписи к слайдам:
« ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ТОЧКИ ТРЕУГОЛЬНИКА». (Прикладные и фундаментальные вопросы математики) Баранова Елена 8 кл., МКОУ «СОШ № 20» Пос. Новоизобильный, Духанина Татьяна Васильевна, учитель математики МКОУ «СОШ №20» Посёлок Новоизобильный 2013. Муниципальное казённое общеобразовательное учреждение «Средняя общеобразовательная школа №20»
Цель: исследование треугольника на его замечательные точки, изучение их классификаций и свойств. Задачи: 1.Изучить необходимую литературу 2. Изучить классификацию замечательных точек треугольника 3.. Познакомиться со свойствами замечательных точек треугольника 4. Уметь строить замечательные точки треугольника. 5. Изучить область применения замечательных точек. Объект исследования - раздел математики - геометрия Предмет исследования - треугольник Актуальность: расширить свои знания о треугольнике, свойствах его замечательных точек. Гипотеза: связь треугольника и природы
Точка пересечения серединных перпендикуляров Она равноудалена от вершин треугольника и является центром описанной окружности. Окружности, описанные около треугольников, вершинами которых являются середины сторон треугольника и вершины треугольника пересекаются в одной точке, которая совпадает с точкой пересечения серединных перпендикуляров.
Точка пересечения биссектрис Точка пересечения биссектрис треугольника равноудалена от сторон треугольника. ОМ=ОА=ОВ
Точка пересечения высот Точка пересечения биссектрис треугольника, вершинами которого являются основания высот, совпадает с точкой пересечения высот треугольника.
Точка пересечения медиан Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. Если точку пересечения медиан соединить с вершинами, то треугольник разобьётся на три треугольника, равных по площади. Важным свойством точки пересечения медиан является тот факт, что сумма векторов, началом которых является точка пересечения медиан, а концами – вершины треугольников, равна нулю М1 N C B А м2 м3 М1 N C B А м2 м3 М1 N C B А м2 м3 М1 N C B А м2 м3
Точка Торричелли Замечание: точка Торричелли существует, если все углы треугольника меньше 120.
Окружность девяти точек В1, А1, С1 – основания высот; А2, В2, С2 – середины соответствующих сторон; А3, В3, С3, - середины отрезков АН, ВН и СН.
Прямая Эйлера Точка пересечения медиан, точка пересечения высот, центр окружности девяти точек лежат на одной прямой, которую называют прямой Эйлера в честь ученого математика определившего эту закономерность.
Н емного из истории открытия замечательных точек В 1765 году Эйлер обнаружил, что середины сторон треугольника и основания его высот лежат на одной окружности. Самым удивительным свойством замечательных точек треугольника является то, с что некоторые из них связаны друг с другом определённым соотношением. Точка пересечения медиан М, точка пересечения высот Н, и центр описанной окружности О лежат на одной прямой, причём точка М делит отрезок ОН так, что справедливо соотношение ОМ: ОН = 1: 2. Эта теорема была доказана Леонардом Эйлером в 1765 году.
Связь геометрии с природой. В этом положении потенциальная энергия имеет наименьшее значение и сумма отрезков МА+МВ+МС будет наименьшей, а сумма векторов, лежащих на этих отрезках с началом в точке Торричелли, будет равна нулю.
Выводы Я узнала, что кроме известных мне замечательных точек пересечения высот, медиан, биссектрис и серединных перпендикуляров существуют еще замечательные точки и линии треугольника. Полученные знания по данной теме смогу использовать в своей учебной деятельности, самостоятельно применять теоремы к определенным задачам, применять изученные теоремы в реальной ситуации. Считаю, что применение замечательных точек и линий треугольника в изучении математики является эффективным. Знание их значительно ускоряет решение многих заданий. Предложенный материал можно использовать как на уроках математики, так и во внеклассных занятиях учащимися 5-9-х классов.
Предварительный просмотр:
Чтобы пользоваться предварительным просмотром создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него:
Содержание
Введение………………………………………………………………………………………3
Глава1.
1.1 Треугольник………………………………………………………………………………..4
1.2. Медианы треугольника
1.4. Высоты в треугольнике
Заключение
Список использованной литературы
Буклет
Введение
Геометрия - это раздел математики, который рассматривает различные фигуры и их свойства. Геометрия начинается с треугольника. Вот уже два с половиной тысячелетия треугольник является символом геометрии; но он не только символ, треугольник - атом геометрии.
В своей работе я рассмотрю свойства точек пересечения биссектрис, медиан и высот треугольника, расскажу о замечательных их свойствах и линиях треугольника.
К числу таких точек, изучаемых в школьном курсе геометрии, относятся:
а) точка пересечения биссектрис (центр вписанной окружности);
б) точка пересечения серединных перпендикуляров (центр описанной окружности);
в) точка пересечения высот (ортоцентр);
г) точка пересечения медиан (центроид).
Актуальность: расширить свои знания о треугольнике, свойствах его замечательных точек.
Цель: исследование треугольника на его замечательные точки, изучение их классификаций и свойств.
Задачи:
1. Изучить необходимую литературу
2. Изучить классификацию замечательных точек треугольника
3. Уметь строить замечательные точки треугольника.
4. Обобщить изученный материал для оформления буклета.
Гипотеза проекта:
умение находить замечательные точки в любом треугольнике, позволяет решать геометрические задачи на построение.
Глава 1. Исторические сведения о замечательных точках треугольника
В четвертой книге "Начал" Евклид решает задачу: "Вписать круг в данный треугольник". Из решения вытекает, что три биссектрисы внутренних углов треугольника пересекаются в одной точке – центре вписанного круга. Из решения другой задачи Евклида вытекает, что перпендикуляры, восстановленные к сторонам треугольника в их серединах, тоже пересекаются в одной точке – центре описанного круга. В "Началах" не говорится о том, что и три высоты треугольника пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром (греческое слово "ортос" означает "прямой", "правильный"). Это предложение было, однако, известно Архимеду, Паппу, Проклу.
Четвертой особенной точкой треугольника является точка пересечения медиан. Архимед доказал, что она является центром тяжести (барицентром) треугольника. На вышеназванные четыре точки было обращено особое внимание, и начиная с XVIII века они были названы "замечательными" или "особенными" точками треугольника.
Исследование свойств треугольника, связанных с этими и другими точками, послужило началом для создания новой ветви элементарной математики – "геометрии треугольника" или "новой геометрии треугольника", одним из родоначальников которой стал Леонард Эйлер. В 1765 году Эйлер доказал, что в любом треугольнике ортоцентр, барицентр и центр описанной окружности лежат на одной прямой, названной позже "прямой Эйлера".
Треугольник
Треугольник - геометрическая фигура, состоящая из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех отрезков, попарно соединяющих эти точки. Точки - вершины треугольника, отрезки - стороны треугольника.
В А, В, С - вершины
АВ, ВС, СА - стороны
А С
С каждым треугольником связаны четыре точки:
Точка пересечения медиан;
Точка пересечения биссектрис;
Точка пересечения высот.
Точка пересечения серединных перпендикуляров;
1.2. Медианы треугольника
Медина треугольника ― , соединяющий вершину с серединой противоположной стороны (Рисунок 1). Точка пересечения медианы со стороной треугольника называется основанием медианы.
Рисунок 1. Медианы треугольника
Построим середины сторон треугольника и проведем отрезки, соединяющую каждую из вершин с серединой противолежащей стороны. Такие отрезки называются медианой.
И вновь мы наблюдаем, что и эти отрезки пересекаются в одной точке. Если мы измерим длины получившихся отрезков медиан, то можно проверить еще одно свойство: точка пересечения медиан делит все медианы в отношении 2:1, считая от вершин. И еще, треугольник, который опирается на острие иглы в точке пересечения медиан, находится в равновесии! Точка, обладающая таким свойством, называется центром тяжести (барицентр). Центр равных масс иногда называют центроидом. Поэтому свойства медиан треугольника можно сформулировать так: медианы треугольника пересекаются в центре тяжести и точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины.
1.3. Биссектрисы треугольника
Биссектрисой называется биссектрисы угла, проведенный от вершины угла до её пересечения с противолежащей стороной. У треугольника существуют три биссектрисы, соответствующие трём его вершинам (Рисунок 2).
Рисунок 2. Биссектриса треугольника
В произвольном треугольнике ABC проведем биссектрисы его углов. И вновь при точном построении все три биссектрисы пересекутся в одной точке D. Точка D – тоже необычная: она равноудалена от всех трех сторон треугольника. В этом можно убедиться, если опустить перпендикуляры DA 1, DB 1 и DC1 на стороны треугольника. Все они равны между собой: DA1=DB1=DC1.
Если провести окружность с центром в точке D и радиусом DA 1, то она будет касаться всех трех сторон треугольника (то есть будет иметь с каждым из них только одну общую точку). Такая окружность называется вписанной в треугольник. Итак, биссектрисы углов треугольника пересекаются в центре вписанной окружности.
1.4. Высоты в треугольнике
Высота треугольника - , опущенный из вершины на противоположную сторону или прямую, совпадающую с противоположной стороной. В зависимости от типа треугольника высота может содержаться внутри треугольника (для треугольника), совпадать с его стороной (являться треугольника) или проходить вне треугольника у тупоугольного треугольника (Рисунок 3).
Рисунок 3. Высоты в треугольниках
Если в треугольнике построить три высоты, то все они пересекутся в одной точке H. Эта точка называется ортоцентром. (Рисунок 4).
С помощью построений можно проверить, что в зависимости от вида треугольника ортоцентр располагается по – разному:
у остроугольного треугольника – внутри;
у прямоугольного – на гипотенузе;
у тупоугольного – снаружи.
Рисунок 4. Ортоцентр треугольника
Таким образом, мы познакомились еще с одной замечательной точкой треугольника и можем сказать, что: высоты треугольника пересекаются в ортоцентре.
1.5. Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника
Серединный перпендикуляр к отрезку - это прямая, перпендикулярная данному отрезку и проходящая через его середину.
Начертим произвольный треугольник ABC и проведем серединные перпендикуляры к его сторонам. Если построение выполнено точно, то все перпендикуляры пересекутся в одной точке – точке О. Эта точка равноудалена от всех вершин треугольника. Другими словами, если провести окружность с центром в точке О, проходящую через одну из вершин треугольника, то она пройдет и через две другие его вершины.
Окружность, проходящая через все вершины треугольника, называется описанной около него. Поэтому установленное свойство треугольника можно сформулировать так: серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в центре описанной окружности (Рисунок 5).
Рисунок 5. Треугольник вписанный в окружность
Глава 2. Исследование замечательных точек треугольника.
Исследование высоты в треугольниках
Все три высоты треугольника пересекаются в одной точке. Эта точка называется ортоцентром треугольника.
Высоты остроугольного треугольника расположены строго внутри треугольника.
Соответственно, точка пересечения высот также находится внутри треугольника.
В прямоугольном треугольнике две высоты совпадают со сторонами. (Это высоты, проведенные из вершин острых углов к катетам).
Высота, проведенная к гипотенузе, лежит внутри треугольника.
AC - высота, проведенная из вершины С к стороне AB.
AB - высота, проведенная из вершины B к стороне AC.
AK - высота, проведенная из вершины прямого угла А к гипотенузе ВС.
Высоты прямоугольного треугольника пересекаются в вершине прямого угла (А - ортоцентр).
В тупоугольном треугольника внутри треугольника лежит только одна высота - та, которая проведена из вершины тупого угла.
Две другие высоты лежат вне треугольника и опущены к продолжению сторон треугольника.
AK - высота, проведенная к стороне BC.
BF - высота, проведенная к продолжению стороны АС.
CD - высота, проведенная к продолжению стороны AB.
Точка пересечения высот тупоугольного треугольника также находится вне треугольника:
H - ортоцентр треугольника ABC.
Исследование биссектрис в треугольнике
Биссектриса треугольника является частью биссектрисы угла треугольника (луча), которая находится внутри треугольника.
Все три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.
Точка пересечения биссектрис в остроугольном, тупоугольном и прямоугольном треугольниках, является центром вписанной в треугольник окружности и находится внутри.
Исследование медиан в треугольнике
Так как у треугольника три вершины и три стороны, то и отрезков, соединяющих вершину и середину противолежащей стороны, тоже три.
Исследовав эти треугольники я понял, что в любом треугольнике медианы пересекаются в одной точке. Эту точку называют центром тяжести треугольника.
Исследование серединных перпендикуляров к стороне треугольника
Серединный перпендикуляр треугольника – это перпендикуляр, проведенный к середине стороны треугольника.
Три серединных перпендикуляра треугольника пересекаются в одной точке, являются центром описанной окружности.
Точка пересечения серединных перпендикуляров в остроугольном треугольнике лежит внутри треугольника; в тупоугольном – вне треугольника; в прямоугольном – на середине гипотенузы.
Заключение
В ходе проделанной работы мы приходим к следующим выводам:
Цель достигнута: исследовали треугольник и нашли его замечательные точки.
Поставленные задачи решены:
1). Изучили необходимую литературу;
2). Изучили классификацию замечательных точек треугольника;
3). Научились строить замечательные точки треугольника;
4). Обобщили изученный материал для оформления буклета.
Гипотеза, что умение находить замечательные точки треугольника, помогает в решении задач на построение подтвердилась.
В работе последовательно излагаются приемы построения замечательных точек треугольника, приведены исторические сведения о геометрических построениях.
Сведения из данной работы могут пригодиться на уроках геометрии в 7 классе. Буклет может стать справочником по геометрии по изложенной теме.
Список литературы
Учебник . Л.С. Атанасян «Геометрия 7-9 классы Мнемозина,2015.
Википедияhttps://ru.wikipedia.org/wiki/Геометрия#/media/File:Euclid%27s_postulates.png
Портал Алые Паруса
Ведущий образовательный портал России http://cendomzn.ucoz.ru/index/0-15157
Лискинский район, МОУ Аношкинская СОШ.
Учитель математики Сморчкова Е.Б.
Цель проекта : научиться пользоваться различной литературой по геометрии, справочными материалами для более подробного изучения темы «Замечательные точки треугольника», дать более полное представление о теме, подготовить презентацию по данной теме для демонстрации при выступлениях и на уроках.
Геометрия начинается с треугольника. Вот уже два с полови ной тысячелетия треугольник является как бы символом геометрии ; но он не только символ, треугольник - атом геометрии. Да и сегодня школьная геометрия становится интересной и содержательной, становится собственно геометрией только с поя влением треугольника. Предшествующие понятия - точка, прям ая, угол - представляются расплывчатыми абстракциями, а на бор теорем и задач, с ними связанный, просто скучным.
Уже с первых шагов своего развития человек, а особенно современный человек, сталкивается со всевозможными геометрическими объектами - фигурами и телами. Известны случаи, когда человек в юном, если не сказать в младенческом, возрасте увлекается геометрией и даже делает самостоятельные геометрические открытия. Так, маленький Блез Паскаль придумал «игру в геометрию», в которой участвовали «монетки» - круги, «треуголки» - треугольники, «столы» - прямоугольники, «палочки» - отрезки. Его отец, основательно знавший математику, на первое время решительно исключил математику из числа предметов, которым он обучал своего сына, поскольку маленький Блез не отличался хорошим здоровьем. Однако, обнаружив увлеченность сына, он кое-что рассказал ему о таинственной геометрии, а застав Блеза в момент, когда тот обнаружил, что углы треугольника составляют в сумме два прямых, растроганный отец открыл своему 12-летнему сыну доступ к математическим книгам, хранившимся в домашней библиотеке.
Треугольник неисчерпаем - постоянно открываются его новые свойства. Чтобы рассказать о всех известных его свойствах, необходим том, сравнимый по объему с томом Большой энциклопедии. О некоторых из них, а точнее говоря, о некоторых замечательных точках, связанных с треугольником, мы и хотим рассказать.
Поясним сначала смысл выражения «замечательные точки треугольника». Все мы знаем, что биссектрисы внутренних углов треугольника пересекаются в одной точке - центре вписанной в этот треугольник окружности. Точно так же в одной точке пересекаются медианы, высоты треугольника, серединные перпендикуляры к его сторонам.
Получающиеся при пересечении перечисленных троек прямых точки, конечно же, замечательны (ведь три прямые, как правило, пересекаются в трех различных точках). Возможны и замечательные точки других типов, например точки, в которых достигает экстремума какая-либо функция, определенная для всех точек треугольника. С другой стороны, понятие «замечательные точки треугольника» следует толковать скорее на литературно-эмоциональном уровне, чем на формально-математическом. Известен софизм, «доказывающий», что все натуральные числа «интересные». (Допустив, что есть «неинтересные» числа, возьмем среди них наименьшее. Бесспорно, это число «интересное»: оно интересно уже тем, что оно наименьшее среди «неинтересных».) Подобное рассуждение, «доказывающее», что все точки треугольника «замечательны», можно сконструировать и в нашем случае. Перейдем к рассмотрению некоторых примеров.
ЦЕНТР ОПИСАННОЙ ОКРУЖНОСТИ
Докажем, что существует точка, равноудаленная от вершин треугольника, или, иначе, что существует окружность, проходя щая через три вершины треугольника. Геометрическим местом точек, равноудаленных от точек А и В, является перпендикуляр к отрезку АВ, проходящий через его середину (серединный перпендикуляр к отрезку АВ). Рассмотрим точку О, в которой пересекаются серединные перпендикуляры к отрезкам АВ и ВС. Точка О равноудалена от точек А и В, а также от точек В и С. Поэтому она равноудалена от точек А и С, т. е. она лежит и на серединном перпендикуляре к отрезку АС (рис. 50).
Центр О описанной окружности лежит внутри треугольника, только если этот треугольник остроугольный. Если же треугольник прямоугольный, то точка О совпадает с серединой гипотенузы,
а если угол при вершине С тупой, то прямая АВ разделяет точки О и С.
Если в Δ АВС
угол при вершине С
острый, то сторона АВ
видна из точки О под углом, равным 2
В математике часто бывает так, что объекты, определенные совсем по-разному, оказываются совпадающими. Покажем это на примере.
Пусть А 1 , В 1 и C 1 - середины сторон ВС, С А и АВ. Можно доказать, что окружности, описанные около Δ АВ 1 С 1 , Δ A 1 BC 1 и Δ A 1 B 1 C , пересекаются в одной точке, причем эта точка - центр описанной окружности Δ АВС (рис. 51). Итак, у нас есть две, казалось бы, совсем разные точки: точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам Δ АВС и точка пересечения описанных окружностей Δ АВ 1 С 1 , Δ AiBCi и Δ AiBiC . А оказывается, что эти две точки почему-то совпадают!
Проведем, однако, обещанное доказательство. Достаточно доказать, что центр О описанной окружности Δ АВС лежит на окружностях, описанных около ΔАВ 1 С 1 , Δ А iBCi и Δ A 1 B 1 C . Углы ОВ 1 А и ОС 1 А прямые, поэтому точки В 1 и С 1 лежат на окружности диаметром ОА, а значит, точка О лежит на окружности, описанной около Δ AB 1 C 1 . Для Δ AiBCi и Δ А 1 В 1 С доказательство аналогично.
Доказанное утверждение является частным случаем весьма интересной теоремы: если на сторонах АВ, ВС и СА треугольника АВС взяты произвольные точки С 1 , А 1 и В 1 , то описанные окружности Δ АВ 1 С 1 , Δ А 1 ВС 1 и Δ А 1 В 1 С пересекаются в одной точке.
Сделаем последнее замечание по поводу центра описанной окружности. Прямые А 1 В 1 и АВ параллельны, поэтому ОС 1 перпендикулярна А 1 В 1 Аналогично ОВ 1 перпендикулярна A 1 C 1 и ОА 1 перпендикулярна В 1 С 1 , т. е. О - точка пересечения высот треугольника A 1 B 1 С 1 ... Постойте, постойте! Мы пока еще не доказывали, что высоты треугольника пересекаются в одной точке. Нет ли здесь пути к доказательству? К этому разговору мы еще вернемся.
ЦЕНТР ВПИСАННОЙ ОКРУЖНОСТИ
Докажем, что биссектрисы углов Δ АВС пересекаются в одной точке. Рассмотрим точку О пересечения биссектрис углов А и В. Любые точки биссектрисы угла A равноудалены от прямых АВ и АС, а любая точка биссектрисы угла B равноудалена от прямых АВ и ВС, поэтому точка О равноудалена от прямых АС и ВС, т. е. она лежит на биссектрисе угла C . Точка О равноудалена от прямых АВ, ВС и СА, значит, существует окружность с центром О, касающаяся этих прямых, причем точки касания лежат на самих сторонах, а не на их продолжениях. В самом деле, углы при вершинах А и В Δ АОВ острые, поэтому проекция точки О на прямую АВ лежит внутри отрезка АВ. Для сторон ВС и СА доказательство аналогично.
Пусть А 1 , В 1 и С 1 - точки касания вписанной окружности треугольника со сторонами ВС, СА и АВ (рис. 52). Тогда АВ 1 =АС 1 , BC 1 = BA 1 и СА 1 = СВ 1 . Кроме того, угол B 1 A 1 C 1 равен углам при основании равнобедренного ΔАВ 1 С 1 (по теореме об угле между касательной и хордой) и т. д. Для угла B 1 C 1 A 1 и угла A 1 B 1 C 1 доказательство аналогично.
Углы при основании любого равнобедренного треугольника острые, поэтому Δ А 1 В 1 С 1 остроугольный для любого Δ АВС.
Если x = AB 1 , y = BC 1 и z = CA 1 , то х+у = с, y + z = a и z + x = b , где а, b и с - длины сторон Δ АВС. Складывая первые два равенства и вычитая из них третье, получаем у= (а+с-в)/2 . Аналогично х=(в+с-а)/2 и z =(а+в-с)/2. Следует отметить, что для четырехугольника подобные рассуждения не привели бы к желаемому результату, потому что соответствующая система уравнений
либо вообще не имеет решений, либо имеет их бесконечно много. В самом деле, если х+у=а, y + z = b , z + t = c и t + x = d , то у=а -х, z = b -y = b - а+х и t = c - b + a -х, а из равенства t + x = d следует, что a + c = b + d . Поэтому если а+с не равно в+ d , то система решений не имеет, а если a + c = b + d , то х можно выбирать произвольно, а у, z , t выражаются через х.
Вернемся снова к единственности решения системы уравнений для треугольника. Используя ее, можно доказать следующее утверждение: пусть окружности с центрами А, В и С касаются внешним образом в точках А 1 , В 1 и С 1 (рис. 53). Тогда описанная окружность Δ A 1 B 1 C 1 вписана в Δ АВС. В самом деле, если х, у и z - радиусы окружностей; a , b и с - длины сторон ΔАВС, то х+у = с, y + z = a , y + x = b .
Докажем три свойства центра О вписанной окружности Δ ABC .
1. Если продолжение биссектрисы угла С пересекает описанную окружность Δ АВС в точке М, то МА=МВ=МО (рис. 54).
Докажем, например, что в Δ АМО равны углы при вершинах А и О. В самом деле, <OAM = < OAB + < BAM и < AOM =< OAC +<А CO , < ОАВ=<ОАС и < ВАМ=<ВСМ = < ACO . Следовательно, АМ=МО. Аналогично ВМ=МО.
2. Если АВ - основание равнобедренного Δ АВС, то окружность, касающаяся сторон <ACB в точках А и В, проходит через точку О (рис. 55).
Пусть О" - середина (меньшей) дуги АВ рассматриваемой окружности. По свойству угла между касательной и хордой <CAO "= <О"ВА= <О"АВ, т. е. точка О" лежит на биссектрисе < A . Аналогично можно показать, что она лежит и на биссектрисе < B , т. е. О" = О.
3. Если прямая, проходящая через точку О параллельно стороне АВ, пересекает стороны ВС и СА в точках А 1 и В 1 , то A 1 B 1 = A 1 B + AB 1 .
Докажем, что Δ AB 1 O равнобедренный. В самом деле, < B 1 OA = < OAB = < B 1 AO (рис. 56). Поэтому AB 1 = B 1 0. Аналогично A 1 B = A 1 O , а значит, A 1 B 1 = A 1 О+ OB 1 = A 1 B + AB 1 .
Пусть в Δ АВС углы при вершинах А, В и С равны α, β, γ. Вычислим величину угла, под которым сторона АВ видна из точки О. Так как углы Δ АО В при вершинах А и В равны α/2 и β/2, то
< AOB = 180°- (α+β)/2=180°- (180°- γ)/2=90° +γ/2. Эта
формула бывает полезна при решении многих задач.