Järjestelmien sisäinen heterogeenisyys: osien erottuvuus. Jos katsot "mustan laatikon" sisään, käy ilmi, että järjestelmä ei ole homogeeninen, ei monoliittinen: voit löytää sen erilaisia ​​ominaisuuksia sisään eri paikkoja ovat erilaisia. Järjestelmän sisäisen heterogeenisyyden kuvaus rajoittuu suhteellisen homogeenisten alueiden eristämiseen, mikä vetää rajat niiden välille. Näin järjestelmän osien käsite ilmenee. Tarkemmin tarkasteltuna käy ilmi, että valitut suuret osat eivät myöskään ole homogeenisia, mikä edellyttää vielä pienempien osien valintaa. Tuloksena on hierarkkinen luettelo järjestelmän osista, jota kutsumme järjestelmän kokoonpanomalliksi.

Tietoa järjestelmän koostumuksesta voidaan käyttää järjestelmän kanssa työskentelyyn. Vuorovaikutuksen tavoitteet järjestelmien kanssa voivat olla erilaisia, ja siksi myös saman järjestelmän koostumuksen mallit voivat vaihdella. Hyödyllisen ja toimivan mallin luominen ei ole helppoa.

Vaikeuksia rakennemallin rakentamisessa

Ensi silmäyksellä järjestelmän osia ei ole vaikea erottaa, ne ovat "silmiinpistäviä". Jotkut järjestelmät erottuvat spontaanisti osiin luonnollisen kasvun ja kehityksen aikana (eliöt, yhteiskunnat, planeettajärjestelmät, molekyylit, mineraaliesiintymät jne.). Keinotekoisia järjestelmiä kootaan tarkoituksella aikaisemmasta erilliset osat(mekanismit, rakennukset, tekstit, melodiat jne.). On myös sekatyyppisiä järjestelmiä (suojelualueet, maatalousjärjestelmät, luonnontutkimusorganisaatiot, vetoliikenne).

Toisaalta kysy rehtorilta, opiskelijalta, kirjanpitäjältä, yritysjohtajalta, mistä osista yliopisto koostuu, ja jokainen antaa oman, muista poikkeavan kokoonpanomallin. Lentäjä, lentoemäntä ja matkustaja määrittelevät myös lentokoneen koostumuksen eri tavoin. Voimme sanoa, että runko koostuu oikeasta ja vasemmasta puolikkaasta, tai voit sanoa, että se koostuu ylä- ja alaosasta. Mistä se sitten "oikeasti" koostuu?

Komponenttimallin rakentamisen vaikeudet, jotka jokaisen on voitettava, voidaan esittää kolmella ehdolla.

1. Kokonaisuus voidaan jakaa osiin eri tavoin.

Kokonaisuus voidaan jakaa osiin eri tavoin (kuten leikkaamalla leivän erikokoisiksi ja -muotoisiksi viipaleiksi). Kuinka se tarkalleen on tarpeen? Vastaus: kuten sinun täytyy saavuttaa tavoitteesi. Esimerkiksi auton koostumus esitellään eri tavoin aloitteleville autoilijoille, tuleville ammattikuljettajille, autokorjaamoihin valmistautuville mekaanikoille ja autokauppojen myyjille.

Sitten on luonnollista palata kysymykseen: ovatko osat "todellisuudessa" olemassa? Huomioi kyseessä olevan ominaisuuden huolellinen sanamuoto: osien erotettavuus pikemminkin kuin erotettavuus osiin. Toisaalta tulimme järjestelmien eheyden ongelmaan: voit erottaa käyttötarkoitukseen tarvitsemasi järjestelmän osat ja käyttää niistä saatavilla olevaa tietoa, mutta sinun ei pidä erottaa niitä toisistaan. Myöhemmin syvennämme ja kehitämme tätä asemaa.

2. Osien lukumäärä kokoonpanomallissa

Osien lukumäärä kokoonpanomallissa riippuu myös siitä, millä tasolla järjestelmän pirstoutuminen pysäytetään. Tuloksena olevan hierarkkisen puun päätehaaroissa olevia kappaleita kutsutaan elementeiksi. Eri olosuhteissa hajoaminen päättyy eri tasoilla. Esimerkiksi tulevaa työtä kuvattaessa on annettava kokeneelle työntekijälle ja aloittelijalle erilaisia ​​ohjeita. Niinpä sävellysmalli riippuu siitä, mitä pidetään alkeellisena, ja koska tämä sana on arvioiva, se ei ole absoluuttinen, vaan suhteellinen käsite. On kuitenkin tapauksia, joissa elementillä on luonnollinen, absoluuttinen luonne (solu on elävän organismin yksinkertaisin elementti; yksilö on yhteiskunnan viimeinen elementti, foneemit ovat pienimmät osat suullinen puhe) tai määräytyy kykyjemme mukaan (voimme esimerkiksi olettaa, että myös elektroni koostuu jostakin, mutta toistaiseksi fyysikot eivät ole pystyneet havaitsemaan sen osia murtovarauksella).

3. Järjestelmän ulkoraja

Jokainen järjestelmä on osa jotakin isompi järjestelmä(ja usein osa useaa järjestelmää kerralla). Ja tämä metajärjestelmä voidaan myös jakaa alijärjestelmiin eri tavoin. Tämä tarkoittaa, että järjestelmän ulkorajalla on suhteellinen, ehdollinen luonne. Jopa järjestelmän "ilmeinen" raja (ihmisen iho, yrityksen aita jne.) tietyissä olosuhteissa ei riitä määrittämään rajaa näissä olosuhteissa. Esimerkiksi aterian aikana otan lautaselta haarukalla kotletin, puren sen, pureskelen, nielen, sulatan sen. Missä on rajanylityspaikka, josta tulee osani? Toinen esimerkki koskee yrityksen rajaa. Työntekijä kaatui portaille ja mursi jalkansa. Hoidon jälkeen, kun maksetaan tiedotteesta, herää kysymys: millainen vamma se oli - kotimainen vai teollinen (niille maksetaan eri tavalla)? Ei ole epäilystäkään, oliko se yrityksen portaikko. Mutta jos se oli sen talon portaat, jossa työntekijä asuu, kaikki riippuu siitä, kuinka hän käveli kotiin. Jos suoraan töistä eikä ole vielä päässyt asunnon ovelle, vamma katsotaan teolliseksi. Mutta jos hän meni kauppaan tai elokuvateatteriin matkalla, se on kotivamma. Kuten näette, laki määrittelee yrityksen rajat ehdollisesti.

Järjestelmän rajojen ehdollisuus tuo meidät jälleen takaisin eheyden ongelmaan, nyt koko maailman koskemattomuuteen. Järjestelmärajan määrittelyssä otetaan huomioon järjestelmämalleja käyttävän tutkittavan tavoitteet.

Tarasenko F.P. Applied Systems Analysis (The Science and Art of Problem Solving): Oppikirja. - Tomsk; Tomsk University Press, 2004. ISBN 5-7511-1838-3

§5. Kompleksiluvun trigonometrinen muoto. Moivren kaava. juurien uuttaminen

§6. Monimutkaiset toiminnot

Yhden reaalimuuttujan monimutkaiset funktiot

Eksponenttifunktio zez kompleksisella eksponentilla ja sen ominaisuudet

Eulerin kaavat. Kompleksiluvun eksponentiaalinen muoto

Luku 3 Polynomit

§yksi. Polynomien rengas

§2. Polynomien jako pienentävien potenssien avulla

§3. Toisinaan yksinkertaiset ja redusoitumattomat polynomit. Eukleideen lause ja algoritmi

§ neljä. Polynomin nollat ​​(juuret). Nollan monikerta. Polynomin hajottaminen redusoitumattomien polynomien tuloksi kenttien c ja r yli

Harjoitukset

Luku 4 vektoriavaruudet

§yksi. Polynomien vektoriavaruus p-kertoimien kentän yli

§2. Vektoriavaruudet p n kentän päällä p

§3. Vektorit geometrisessa avaruudessa

3.1. Vektorityypit geometrisessä avaruudessa

Kolmioiden abs ja av"c" samankaltaisuudesta seuraa (sekä tapauksessa    että tapauksessa   ), että.

3.3. Vapaiden vektorien määrittäminen suorakulmaisella koordinaattijärjestelmällä ja niiden sovittaminen vektoriavaruuden r3 vektoreihin

3.4. Kahden vapaan vektorin pistetulo

Harjoitukset

§ neljä. vektorialiavaruus

4.1. Aliavaruus, jonka muodostaa vektorien lineaarinen yhdistelmä

4.2. Vektorien lineaarinen riippuvuus ja riippumattomuus

4.3. Lauseet lineaarisesti riippuvista ja lineaarisesti riippumattomista vektoreista

4.4 Vektorijärjestelmän kanta ja järjestys. Vektorijärjestelmän muodostaman vektorialiavaruuden perusta ja ulottuvuus

4.5. Järjestelmän tuottaman aliavaruuden perusta ja ulottuvuus

§5. Vektoriavaruuden perusta ja ulottuvuus

5.1. Perustan rakentaminen

5.2. Pohjan perusominaisuudet

5.3. Vapaiden vektoreiden avaruuden perusta ja ulottuvuus

§6. Isomorfismi n-ulotteisten vektoriavaruuksien k ja p n välillä kentän p yli

§kahdeksan. Vektoriavaruuksien lineaariset mappaukset

8.1. Lineaarinen näyttöjärjestys

8.2. Lineaaristen kuvausten koordinaattimerkintä

Harjoitukset

Luku 5 Matriisit

§yksi. Matrix sijoitus. Elementary Matrix Transformations

§2. Matriisien algebralliset operaatiot.

Anna matriisien

§3. Isomorfismi vektoriavaruuden välillä

§ neljä. Kahden vektorin skalaaritulo avaruudesta Rn

§5. Neliömatriisit

5.1. käänteinen matriisi

5.2. Transponoitu neliömatriisi.

Harjoitukset

Luku 6 Determinantit

§yksi. Determinantin määritelmä ja määritelmästä seuraavat ominaisuudet

§2. Determinantin jaottelu sarakkeen (rivin) elementeillä. Alien-komplementtilause

§3. Determinantin geometrinen esitys

3.1. Kahden vapaan vektorin vektoritulo

3.2. Kolmen vapaan vektorin sekatulo

§ neljä. Determinanttien avulla matriisien järjestyksen löytäminen

§5. Käänteimatriisin rakentaminen

Harjoitukset

Luku 7 Lineaariyhtälöjärjestelmät

§yksi. Määritelmät. Osuustoiminnalliset ja ei-osuustoiminnalliset järjestelmät

§2. Gaussin menetelmä

§3. Lineaarisen kirjoittamisen matriisi- ja vektorimuodot

3. Vapaiden jäsenten matriisisarake matriisin koko k 1.

§ neljä. Cramer järjestelmä

§5. Homogeeninen lineaarinen yhtälöjärjestelmä

§6. Epähomogeeninen lineaariyhtälöjärjestelmä

Harjoitukset

Luku 8 Matriisivähennys

§yksi. Siirtymämatriisi kannasta toiseen

1.1. Muunnukseen liittyvä siirtymämatriisi

1.2. Ortogonaaliset siirtymämatriisit

§2. Lineaarisen kartoitusmatriisin muuttaminen kantaa vaihdettaessa

2.1. Ominaisarvot, ominaisvektorit

2.2. Neliömatriisin pelkistäminen diagonaalimuotoon

§3. Todelliset lineaariset ja neliömuodot

3.1. Neliöllisen muodon pelkistys kanoniseen muotoon

3.2. Tietty neliömuoto. Sylvesterin kriteeri

Harjoitukset

§6. Heterogeeninen järjestelmä lineaariset yhtälöt

Jos lineaariyhtälöjärjestelmässä (7.1) ainakin yksi vapaista ehdoista sisään i on eri kuin nolla, niin tällaista järjestelmää kutsutaan heterogeeninen.

Olkoon epähomogeeninen lineaarinen yhtälöjärjestelmä, joka voidaan esittää vektorimuodossa

, minä = 1,2,.. .,to, (7.13)

Tarkastellaan vastaavaa homogeenista järjestelmää

minä = 1,2,... ,to. (7.14)

Anna vektorin
on ratkaisu epähomogeeniseen systeemiin (7.13) ja vektoriin
on homogeenisen järjestelmän (7.14) ratkaisu. Sitten on helppo nähdä, että vektori
on myös ratkaisu epähomogeeniseen systeemiin (7.13). Todella

Nyt, käyttämällä homogeenisen yhtälön yleisen ratkaisun kaavaa (7.12), meillä on

missä
mikä tahansa numero alkaen R, a
ovat homogeenisen järjestelmän perusratkaisuja.

Epähomogeenisen järjestelmän ratkaisu on siis sen tietyn ratkaisun ja vastaavan homogeenisen järjestelmän yleisen ratkaisun yhdistelmä.

Ratkaisua (7.15) kutsutaan epähomogeenisen lineaariyhtälöjärjestelmän yleinen ratkaisu. Kohdasta (7.15) seuraa, että yhteensopivalla epähomogeenisella lineaariyhtälöjärjestelmällä on ainutlaatuinen ratkaisu, jos järjestys r(A) päämatriisista MUTTA vastaa numeroa n tuntematon järjestelmä (Cramerin järjestelmä), jos r(A)  n, niin järjestelmällä on ääretön joukko ratkaisuja, ja tämä ratkaisujoukko on ekvivalentti vastaavan homogeenisen ulottuvuusyhtälöjärjestelmän ratkaisujen aliavaruuden kanssa n– r.

Esimerkkejä.

1. Olkoon epähomogeeninen yhtälöjärjestelmä, jossa yhtälöiden lukumäärä to= 3 ja tuntemattomien lukumäärä n = 4.

X 1 – X 2 + X 3 –2X 4 = 1,

X 1 – X 2 + 2X 3 – X 4 = 2,

5X 1 – 5X 2 + 8X 3 – 7X 4 = 3.

Määritä päämatriisin rivit MUTTA ja laajennettu MUTTA * tämä järjestelmä. Koska MUTTA ja MUTTA * nollasta poikkeavat matriisit ja k = 3  n, joten 1  r (A), r * (MUTTA * )  3. Tarkastellaan matriisien toisen kertaluvun ala-arvoja MUTTA ja MUTTA * :

Siten matriisien toisen kertaluvun alavärien joukossa MUTTA ja MUTTA * on nollasta poikkeava alaikäinen, joten 2 r(A),r * (A * )  3. Ajattele nyt kolmannen asteen alaikäisiä

, koska ensimmäinen ja toinen sarake ovat verrannollisia. Sama alaikäiselle
.

Ja niin kaikki päämatriisin kolmannen asteen alaikäiset MUTTA ovat nolla, joten r(A) = 2. Lisätylle matriisille MUTTA * on vielä kolmannen luokan alaikäisiä

Siksi laajennetun matriisin kolmannen asteen alaikäisten joukossa MUTTA * on nollasta poikkeava alaikäinen, joten r * (A * ) = 3. Tämä tarkoittaa sitä r(A)  r * (A * ) ja sitten Kornecker-Capellin lauseen perusteella päätämme, että tämä järjestelmä on epäjohdonmukainen.

2. Ratkaise yhtälöjärjestelmä

3X 1 + 2X 2 + X 3 + X 4 = 1,

3X 1 + 2X 2 – X 3 – 2X 4 = 2.

Tälle järjestelmälle
ja siksi 1 r(A),r * (A * )  2. Harkitse matriiseja A ja A * toisen asteen alaikäiset

Tällä tavalla, r(A)= r * (A * ) = 2, joten järjestelmä on yhteensopiva. Perusmuuttujiksi valitaan mitkä tahansa kaksi muuttujaa, joille näiden muuttujien kertoimista koostuva toisen asteen molli ei ole nolla. Tällaisia ​​muuttujia voivat olla esim.

X 3 ja X 4 koska
Sitten meillä on

X 3 + X 4 = 1 – 3X 1 – 2X 2 ,

– X 3 – 2X 4 = 2 – 3X 1 – 2X 2 .

Määrittelemme tietyn ratkaisun heterogeeninen järjestelmä. Tätä varten asetimme X 1 = X 2 = 0.

X 3 + X 4 = 1,

– X 3 – 2X 4 = 2.

Ratkaisu tälle järjestelmälle: X 3 = 4, X 4 = - 3, joten = (0,0,4, –3).

Nyt määritellään yhteinen päätös vastaava homogeeninen yhtälö

X 3 + X 4 = – 3X 1 – 2X 2 ,

–X 3 – 2X 4 = – 3X 1 – 2X 2 .

Laitetaan: X 1 = 1, X 2 = 0

X 3 + X 4 = –3,

–X 3 – 2X 4 = –3.

Tämän järjestelmän ratkaisu X 3 = –9, X 4 = 6.

Tällä tavalla

Laitetaan nyt X 1 = 0, X 2 = 1

X 3 + X 4 = –2,

–X 3 – 2X 4 = –2.

Ratkaisu: X 3 = – 6, X 4 = 4 ja sitten

Kun tietty ratkaisu on määritetty , epähomogeeninen yhtälö ja perusratkaisut
ja vastaavan homogeenisen yhtälön kohdalla kirjoitetaan epähomogeenisen yhtälön yleinen ratkaisu.

missä
mikä tahansa numero alkaen R.