Koti Manikyyri

Kahden luvun nod ja nok, euklidinen algoritmi. Numeroiden nod ja nok - useiden lukujen suurin yhteinen jakaja ja pienin yhteinen kerrannainen

Harkitse seuraavan ongelman ratkaisua. Pojan askel on 75 cm ja tytön askel 60 cm. On löydettävä pienin etäisyys, jolla molemmat ottavat kokonaislukumäärän askeleita.

Ratkaisu. Koko polun, jonka kaverit kulkevat, on oltava jaollinen 60:llä ja 70:llä ilman jäännöstä, koska jokaisen on otettava kokonaislukumäärä askeleita. Toisin sanoen vastauksen on oltava sekä 75:n että 60:n kerrannainen.

Ensin kirjoitetaan kaikki kerrannaisuudet luvulle 75. Saamme:

75, 150, 225, 300, 375, 450, 525, 600, 675, … .

Kirjoitetaan nyt luvut, joista tulee 60:n kerrannainen. Saamme:

60, 120, 180, 240, 300, 360, 420, 480, 540, 600, 660, … .

Nyt löydämme numerot, jotka ovat molemmilla riveillä.

Yhteisiä lukujen kerrannaisia ovat numerot, 300, 600 jne.

Pienin niistä on luku 300. Tässä tapauksessa sitä kutsutaan lukujen 75 ja 60 pienimmäksi yhteiseksi kerrannaiseksi.

Palatakseni ongelman tilaan, pienin etäisyys, jolla pojat ottavat kokonaislukumäärän askelia, on 300 cm. Poika kulkee tätä tietä 4 askelta ja tytön tulee ottaa 5 askelta.

Vähiten yhteisen monikerran löytäminen

Kahden luonnollisen luvun a ja b pienin yhteinen kerrannainen on pienin luonnollinen luku, joka on sekä a:n että b:n kerrannainen.

Kahden luvun pienimmän yhteisen kerrannaisen löytämiseksi ei tarvitse kirjoittaa kaikkia näiden lukujen kerrannaisia peräkkäin.

Voit käyttää seuraavaa menetelmää.

Kuinka löytää pienin yhteinen kerrannainen

Ensin sinun on hajotettava nämä luvut alkutekijöiksi.

60 = 2*2*3*5,
75=3*5*5.

Nyt kirjoitetaan kaikki tekijät, jotka ovat ensimmäisen luvun (2,2,3,5) laajennuksessa, ja lisätään siihen kaikki puuttuvat tekijät toisen luvun (5) laajennuksesta.

Tuloksena saamme sarjan alkulukuja: 2,2,3,5,5. Näiden lukujen tulo on vähiten yhteinen tekijä näille luvuille. 2*2*3*5*5 = 300.

Yleinen kaavio pienimmän yhteisen kerrannaisen löytämiseksi

1. Jaa luvut alkutekijöiksi.
2. Kirjoita muistiin tärkeimmät tekijät, jotka ovat osa jotakin niistä.
3. Lisää näihin tekijöihin kaikki ne, jotka ovat muun hajotuksessa, mutta eivät valitussa.
4. Etsi kaikkien kirjoitettujen tekijöiden tulo.

Tämä menetelmä on universaali. Sitä voidaan käyttää minkä tahansa luonnollisten lukujen pienimmän yhteisen kerrannaisen löytämiseen.

Mutta monet kokonaislukuja ovat tasan jaollisia muilla luonnollisilla luvuilla.

Esimerkiksi:

Luku 12 on jaollinen 1:llä, 2:lla, 3:lla, 4:llä, 6:lla, 12:lla;

Luku 36 on jaollinen 1:llä, 2:lla, 3:lla, 4:llä, 6:lla, 12:lla, 18:lla, 36:lla.

Numerot, joilla luku on jaollinen (12:lla se on 1, 2, 3, 4, 6 ja 12), kutsutaan numeron jakajat. Luonnollisen luvun jakaja a on luonnollinen luku, joka jakaa annetun luvun a jälkeä jättämättä. Kutsutaan luonnollista lukua, jolla on enemmän kuin kaksi tekijää komposiitti .

Huomaa, että numeroilla 12 ja 36 on yhteiset jakajat. Nämä ovat luvut: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Näiden lukujen suurin jakaja on 12. Näiden kahden luvun yhteinen jakaja a ja b on luku, jolla molemmat annetut luvut ovat jaollisia ilman jäännöstä a ja b.

yhteinen moninkertainen useita lukuja kutsutaan luvuksi, joka on jaollinen kullakin näistä luvuista. Esimerkiksi, luvuilla 9, 18 ja 45 on 180:n yhteinen kerrannainen. Mutta 90 ja 360 ovat myös niiden yhteiset kerrannaiset. Kaikista jcommon kerrannaisista löytyy aina pienin, tässä tapauksessa se on 90. Tämä luku on ns. vähitenyhteinen moninkertainen (LCM).

LCM on aina luonnollinen luku, jonka on oltava suurempi kuin suurin niistä luvuista, joille se on määritelty.

Vähiten yhteinen kerrannainen (LCM). Ominaisuudet.

Kommutatiivisuus:

Assosiaatio:

Erityisesti, jos ja ovat koprime-lukuja , niin:

Kahden kokonaisluvun pienin yhteinen kerrannainen m ja n on kaikkien muiden yhteisten kerrannaisten jakaja m ja n. Lisäksi yhteisten kerrannaisten joukko m,n osuu yhteen LCM( m,n).

Asymptotiikka voidaan ilmaista joidenkin lukuteoreettisten funktioiden avulla.

Niin, Chebyshev-funktio. Yhtä hyvin kuin:

Tämä seuraa Landau-funktion määritelmästä ja ominaisuuksista g(n).

Mitä seuraa alkulukujen jakautumislaista.

Vähimmän yhteisen kerrannaisen (LCM) löytäminen.

NOC( a, b) voidaan laskea useilla tavoilla:

1. Jos suurin yhteinen jakaja tunnetaan, voit käyttää sen suhdetta LCM:ään:

2. Olkoon molempien lukujen kanoninen jakautuminen alkutekijöiksi tiedossa:

missä p 1 ,..., p k ovat erilaisia alkulukuja ja d 1,...,dk ja e 1,...,ek ovat ei-negatiivisia kokonaislukuja (ne voivat olla nollia, jos vastaava alkuluku ei ole hajotuksessa).

Sitten LCM ( a,b) lasketaan kaavalla:

Toisin sanoen LCM-laajennus sisältää kaikki alkutekijät, jotka sisältyvät ainakin yhteen numerolaajennuksista. a, b, ja otetaan suurin tämän tekijän kahdesta eksponentista.

Esimerkki:

Useiden lukujen pienimmän yhteisen kerrannaisen laskeminen voidaan vähentää useisiin peräkkäisiin kahden luvun LCM:n laskelmiin:

Sääntö. Jotta voit löytää lukusarjan LCM:n, tarvitset:

- hajottaa luvut alkutekijöiksi;

- siirrä suurin laajennus halutun tuotteen tekijöihin (annettujen suurimman joukon tekijöiden tulo) ja lisää sitten kertoimet muiden lukujen laajennuksesta, jotka eivät esiinny ensimmäisessä numerossa tai ovat siinä pienempi määrä kertoja;

- alkutekijöiden tuloksena saatava tulo on annettujen lukujen LCM.

Kaikilla kahdella tai useammalla luonnollisella luvulla on oma LCM. Jos luvut eivät ole toistensa kerrannaisia tai niillä ei ole samoja kertoimia laajennuksessa, niin niiden LCM on yhtä suuri kuin näiden lukujen tulo.

Luvun 28 alkutekijöitä (2, 2, 7) täydennettiin kertoimella 3 (luku 21), jolloin tulokseksi saadaan pienin luku, joka on jaollinen 21:llä ja 28:lla.

Suurimman luvun 30 alkutekijöitä täydennettiin kertoimella 5 luvusta 25, tuloksena saatu tulo 150 on suurempi kuin suurin luku 30 ja on jaollinen kaikilla annetuilla luvuilla ilman jäännöstä. Tämä on pienin mahdollinen tuote (150, 250, 300...), jonka kaikki annetut luvut ovat kerrannaisia.

Luvut 2,3,11,37 ovat alkulukuja, joten niiden LCM on yhtä suuri kuin annettujen lukujen tulo.

sääntö. Alkulukujen LCM:n laskemiseksi sinun on kerrottava kaikki nämä luvut yhdessä.

Toinen vaihtoehto:

Tarvitset useiden lukujen pienimmän yhteiskerran (LCM) löytämiseen:

1) edustaa jokaista lukua sen alkutekijöiden tulona, esimerkiksi:

504 \u003d 2 2 2 3 3 7,

2) kirjoita ylös kaikkien alkutekijöiden potenssit:

504 \u003d 2 2 2 3 3 7 \u003d 2 3 3 2 7 1,

3) kirjoita muistiin jokaisen näiden luvun alkujakajat (kertoimet);

4) valitse kustakin niistä suurin aste, joka löytyy näiden lukujen kaikista laajennuksista;

5) kerro nämä tehot.

Esimerkki. Etsi lukujen LCM: 168, 180 ja 3024.

Ratkaisu. 168 \u003d 2 2 2 3 7 \u003d 2 3 3 1 7 1,

180 \u003d 2 2 3 3 5 \u003d 2 2 3 2 5 1,

3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1 .

Kirjoitamme kaikkien alkujakajien suurimmat potenssit ja kerromme ne:

LCM = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120.

Opiskelijoille annetaan paljon matemaattisia tehtäviä. Niiden joukossa on hyvin usein tehtäviä, joilla on seuraava muotoilu: arvoja on kaksi. Kuinka löytää annettujen lukujen pienin yhteinen kerrannainen? On välttämätöntä pystyä suorittamaan tällaisia tehtäviä, koska hankittuja taitoja käytetään murtolukujen kanssa työskentelyyn milloin eri nimittäjiä. Artikkelissa analysoimme kuinka LCM ja peruskäsitteet löydetään.

Ennen kuin löydät vastauksen kysymykseen LCM:n löytämisestä, sinun on määritettävä termi useita. Useimmiten tämä käsite muotoillaan seuraavasti: jonkin arvon A kerrannainen on luonnollinen luku, joka on jaollinen A:lla ilman jäännöstä. Joten 4, 8, 12, 16, 20 ja niin edelleen, aina vaadittu raja.

Tässä tapauksessa tietyn arvon jakajien lukumäärää voidaan rajoittaa, ja kerrannaisia on äärettömän monta. Sama arvo on myös luonnonarvoilla. Tämä on indikaattori, joka jaetaan niillä ilman jäännöstä. Kun olet käsitellyt tiettyjen indikaattoreiden pienimmän arvon käsitettä, siirrytään sen löytämiseen.

NOC:n löytäminen

Kahden tai useamman eksponentin pienin kerrannainen on pienin luonnollinen luku, joka on täysin jaollinen kaikilla annetuilla luvuilla.

On olemassa useita tapoja löytää tällainen arvo. Harkitsemme seuraavia menetelmiä:

Jos luvut ovat pieniä, kirjoita riville kaikki sillä jaolliset. Jatka tätä, kunnes löydät jotain yhteistä heistä. Tietueessa ne on merkitty kirjaimella K. Esimerkiksi lukujen 4 ja 3 pienin kerrannainen on 12.
Jos nämä ovat suuria tai sinun on löydettävä kerrannainen kolmelle tai useammalle arvolle, sinun tulee tässä käyttää erilaista tekniikkaa, joka sisältää lukujen jakamisen alkutekijöiksi. Aseta ensin suurin ilmoitetuista, sitten kaikki loput. Jokaisella niistä on oma kertoimien lukumäärä. Esimerkkinä hajotetaan 20 (2*2*5) ja 50 (5*5*2). Jos kyseessä on pienempi niistä, alleviivaa tekijät ja lisää suurimpaan. Tuloksena on 100, joka on yllä olevien lukujen pienin yhteinen kerrannainen.
Kun löydetään 3 numeroa (16, 24 ja 36), periaatteet ovat samat kuin kahdessa muussa. Laajennamme kutakin niistä: 16 = 2*2*2*2, 24=2*2*2*3, 36=2*2*3*3. Ainoastaan kaksi kakkosta luvun 16 hajotuksesta ei sisältynyt suurimman laajennukseen, ne lasketaan yhteen ja saadaan 144, joka on pienin tulos aiemmin ilmoitetuille numeerisille arvoille.

Nyt tiedämme, mikä on yleinen tekniikka pienimmän arvon löytämiseksi kahdelle, kolmelle tai useammalle arvolle. On kuitenkin olemassa myös yksityisiä tapoja, auttaa etsimään NOC:ita, jos edelliset eivät auta.

Kuinka löytää GCD ja NOC.

Yksityiset etsintätavat

Kuten kaikissa matemaattisissa osissa, LCM:ien löytämisessä on erityistapauksia, jotka auttavat tietyissä tilanteissa:

jos yksi luvuista on jaollinen toisilla ilman jäännöstä, niin näiden lukujen pienin kerrannainen on yhtä suuri kuin se (NOC 60 ja 15 on yhtä suuri kuin 15);
Koalkilukuilla ei ole yhteisiä alkujakajia. Niiden pienin arvo on yhtä suuri kuin näiden lukujen tulo. Siten numeroille 7 ja 8 tämä on 56;
Sama sääntö pätee muihinkin tapauksiin, mukaan lukien erikoistapauksiin, joista voi lukea erikoiskirjallisuudesta. Tähän tulisi sisältyä myös yhdistelmälukujen hajoamistapaukset, joista on tehty erillisiä artikkeleita ja jopa väitöskirjoja.

Erikoistapaukset ovat harvinaisempia kuin vakioesimerkkejä. Mutta heidän ansiostaan voit oppia työskentelemään murtolukujen kanssa vaihtelevassa määrin vaikeuksia. Tämä koskee erityisesti murtolukuja., jossa on eri nimittäjiä.

Joitain esimerkkejä

Katsotaanpa muutamia esimerkkejä, joiden ansiosta voit ymmärtää pienimmän moninkertaisen löytämisen periaatteen:

Löydämme LCM:n (35; 40). Asetamme ensin 35 = 5 * 7, sitten 40 = 5 * 8. Lisäämme 8 pienimpään numeroon ja saamme NOC 280:n.
NOC (45; 54). Asettelemme kukin niistä: 45 = 3 * 3 * 5 ja 54 = 3 * 3 * 6. Lisäämme luvun 6 45:een. Saamme NOC:n yhtä suureksi kuin 270.
No, viimeinen esimerkki. Niitä on 5 ja 4. Niille ei ole yksinkertaisia kerrannaisia, joten pienin yhteinen kerrannainen on tässä tapauksessa heidän tulonsa, joka on 20.

Esimerkkien ansiosta voit ymmärtää, kuinka NOC sijaitsee, mitkä ovat vivahteet ja mitä tällaisten manipulaatioiden merkitys on.

NOC:n löytäminen on paljon helpompaa kuin miltä se aluksi näyttää. Tätä varten käytetään sekä yksinkertaista laajennusta että yksinkertaisten arvojen kertomista toisiinsa.. Kyky työskennellä tämän matematiikan osan kanssa auttaa jatko-opiskelussa matemaattisia aiheita, erityisesti monimutkaisia eri fraktioita.

Älä unohda ratkaista esimerkkejä ajoittain eri menetelmillä, tämä kehittää loogista laitetta ja antaa sinun muistaa useita termejä. Opi menetelmät tällaisen indikaattorin löytämiseksi ja pystyt työskentelemään hyvin muiden matemaattisten osien kanssa. Hyvää matematiikan opiskelua!

Video

Tämä video auttaa sinua ymmärtämään ja muistamaan, kuinka löytää pienin yhteinen kerrannainen.

Mutta monet luonnolliset luvut ovat tasan jaollisia muilla luonnollisilla luvuilla.

Esimerkiksi:

Luku 12 on jaollinen 1:llä, 2:lla, 3:lla, 4:llä, 6:lla, 12:lla;

Luku 36 on jaollinen 1:llä, 2:lla, 3:lla, 4:llä, 6:lla, 12:lla, 18:lla, 36:lla.

LCM on aina luonnollinen luku, jonka on oltava suurempi kuin suurin niistä luvuista, joille se on määritelty.

Vähiten yhteinen kerrannainen (LCM). Ominaisuudet.

Kommutatiivisuus:

Assosiaatio:

Erityisesti, jos ja ovat koprime-lukuja , niin:

Kahden kokonaisluvun pienin yhteinen kerrannainen m ja n on kaikkien muiden yhteisten kerrannaisten jakaja m ja n. Lisäksi yhteisten kerrannaisten joukko m,n osuu yhteen LCM( m,n).

Asymptotiikka voidaan ilmaista joidenkin lukuteoreettisten funktioiden avulla.

Niin, Chebyshev-funktio. Yhtä hyvin kuin:

Tämä seuraa Landau-funktion määritelmästä ja ominaisuuksista g(n).

Mitä seuraa alkulukujen jakautumislaista.

Vähimmän yhteisen kerrannaisen (LCM) löytäminen.

NOC( a, b) voidaan laskea useilla tavoilla:

1. Jos suurin yhteinen jakaja tunnetaan, voit käyttää sen suhdetta LCM:ään:

2. Olkoon molempien lukujen kanoninen jakautuminen alkutekijöiksi tiedossa:

missä p 1 ,..., p k ovat erilaisia alkulukuja ja d 1,...,dk ja e 1,...,ek ovat ei-negatiivisia kokonaislukuja (ne voivat olla nollia, jos vastaava alkuluku ei ole hajotuksessa).

Sitten LCM ( a,b) lasketaan kaavalla:

Toisin sanoen LCM-laajennus sisältää kaikki alkutekijät, jotka sisältyvät ainakin yhteen numerolaajennuksista. a, b, ja otetaan suurin tämän tekijän kahdesta eksponentista.

Esimerkki:

Useiden lukujen pienimmän yhteisen kerrannaisen laskeminen voidaan vähentää useisiin peräkkäisiin kahden luvun LCM:n laskelmiin:

Sääntö. Jotta voit löytää lukusarjan LCM:n, tarvitset:

- hajottaa luvut alkutekijöiksi;

- alkutekijöiden tuloksena saatava tulo on annettujen lukujen LCM.

Luvun 28 alkutekijöitä (2, 2, 7) täydennettiin kertoimella 3 (luku 21), jolloin tulokseksi saadaan pienin luku, joka on jaollinen 21:llä ja 28:lla.

Luvut 2,3,11,37 ovat alkulukuja, joten niiden LCM on yhtä suuri kuin annettujen lukujen tulo.

sääntö. Alkulukujen LCM:n laskemiseksi sinun on kerrottava kaikki nämä luvut yhdessä.

Toinen vaihtoehto:

Tarvitset useiden lukujen pienimmän yhteiskerran (LCM) löytämiseen:

1) edustaa jokaista lukua sen alkutekijöiden tulona, esimerkiksi:

504 \u003d 2 2 2 3 3 7,

2) kirjoita ylös kaikkien alkutekijöiden potenssit:

504 \u003d 2 2 2 3 3 7 \u003d 2 3 3 2 7 1,

3) kirjoita muistiin jokaisen näiden luvun alkujakajat (kertoimet);

4) valitse kustakin niistä suurin aste, joka löytyy näiden lukujen kaikista laajennuksista;

5) kerro nämä tehot.

Esimerkki. Etsi lukujen LCM: 168, 180 ja 3024.

Ratkaisu. 168 \u003d 2 2 2 3 7 \u003d 2 3 3 1 7 1,

180 \u003d 2 2 3 3 5 \u003d 2 2 3 2 5 1,

3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1 .

Kirjoitamme kaikkien alkujakajien suurimmat potenssit ja kerromme ne:

LCM = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120.

Harkitse kolmea tapaa löytää pienin yhteinen monikerta.

Löytö Factoringin avulla

Ensimmäinen tapa on löytää pienin yhteinen kerrannainen laskemalla annetut luvut alkutekijöiksi.

Oletetaan, että meidän on löydettävä lukujen LCM: 99, 30 ja 28. Tätä varten jaamme kaikki nämä luvut alkutekijöiksi:

Jotta haluttu luku olisi jaollinen luvuilla 99, 30 ja 28, on välttämätöntä ja riittävää, että se sisältää kaikki näiden jakajien alkutekijät. Tätä varten meidän on otettava kaikki näiden lukujen alkutekijät suurimpaan esiintyvään potenssiin ja kerrottava ne yhteen:

2 2 3 2 5 7 11 = 13 860

Joten LCM (99, 30, 28) = 13 860. Mikään muu luku, joka on pienempi kuin 13 860, ei ole tasan jaollinen luvulla 99, 30 tai 28.

Löytääksesi annettujen lukujen pienimmän yhteisen kerrannaisen, sinun on laskettava ne alkutekijöiksi, otettava sitten jokainen alkutekijä suurimmalla eksponentilla, jolla se esiintyy, ja kerrottava nämä tekijät yhteen.

Koska koalkiluvuilla ei ole yhteisiä alkutekijöitä, niiden pienin yhteinen kerrannainen on yhtä suuri kuin näiden lukujen tulo. Esimerkiksi kolme numeroa: 20, 49 ja 33 ovat koprime. Siksi

LCM (20, 49, 33) = 20 49 33 = 32 340.

Sama tulee tehdä, kun etsitään eri alkulukujen pienintä yhteiskertaa. Esimerkiksi LCM (3, 7, 11) = 3 7 11 = 231.

Haku valinnalla

Toinen tapa on löytää pienin yhteinen kerrannainen sovittamalla.

Esimerkki 1. Kun suurin annetuista luvuista on tasan jaollinen muilla annetuilla luvuilla, niin näiden lukujen LCM on yhtä suuri kuin niistä suurempi. Esimerkiksi annettu neljä numeroa: 60, 30, 10 ja 6. Jokainen niistä on jaollinen 60:llä, joten:

NOC(60; 30; 10; 6) = 60

Muissa tapauksissa pienimmän yhteisen kerrannaisen löytämiseksi käytetään seuraavaa menettelyä:

Määritä suurin luku annetuista luvuista.
Seuraavaksi etsitään luvut, jotka ovat suurimman luvun kerrannaisia, kerrotaan se luonnollisilla luvuilla nousevassa järjestyksessä ja tarkistetaan, ovatko jäljelle jääneet annetut luvut jaettavissa saadulla tulolla.

Esimerkki 2. Annettu kolme numeroa 24, 3 ja 18. Määritä niistä suurin - tämä on luku 24. Etsi seuraavaksi luvun 24 kerrannaiset ja tarkista, onko jokainen niistä jaollinen luvulla 18 ja 3:lla:

24 1 = 24 on jaollinen 3:lla, mutta ei jaollinen 18:lla.

24 2 = 48 - jaollinen 3:lla, mutta ei jaollinen 18:lla.

24 3 \u003d 72 - jaollinen 3:lla ja 18:lla.

Joten LCM(24; 3; 18) = 72.

Etsiminen peräkkäisellä etsinnällä LCM

Kolmas tapa on löytää pienin yhteinen kerrannainen etsimällä peräkkäin LCM.

Kahden annetun luvun LCM on yhtä suuri kuin näiden lukujen tulo jaettuna niiden suurimmalla yhteisellä jakajalla.

Esimerkki 1. Etsi kahden annetun luvun LCM:t: 12 ja 8. Määritä niiden suurin yhteinen jakaja: GCD (12, 8) = 4. Kerro nämä luvut:

Jaamme tuotteen niiden GCD:hen:

Joten LCM(12; 8) = 24.

Kolmen tai useamman luvun LCM:n löytämiseksi käytetään seuraavaa menettelyä:

Ensin löydetään minkä tahansa kahden annetuista numeroista LCM.
Sitten löydetyn pienimmän yhteiskerran ja kolmannen annetun luvun LCM.
Sitten tuloksena olevan pienimmän yhteiskerran ja neljännen luvun LCM ja niin edelleen.
Siten LCM-haku jatkuu niin kauan kuin numeroita on.

Esimerkki 2. Etsitään kolmen annetun luvun LCM:t: 12, 8 ja 9. Olemme jo löytäneet edellisessä esimerkissä numeroiden 12 ja 8 LCM:n (tämä on luku 24). Vielä on löydettävä luvun 24 pienin yhteinen kerrannainen ja kolmas annettu luku - 9. Määritä niiden suurin yhteinen jakaja: gcd (24, 9) = 3. Kerro LCM luvulla 9:

Jaamme tuotteen niiden GCD:hen:

Joten LCM(12; 8; 9) = 72.