Mikä on funktion pienin arvo. Kuinka löytää funktion pienin arvo
Kuinka löytää segmentin funktion suurimmat ja pienimmät arvot?
Tätä varten noudatamme tunnettua algoritmia:
1 . Löydämme ODZ-toiminnot.
2 . Funktion derivaatan löytäminen
3 . Yhdistä derivaatta nollaan
4 . Löydämme välit, joilla derivaatta säilyttää etumerkkinsä, ja määritämme niistä funktion kasvu- ja laskuvälit:
Jos välillä I funktion 0 derivaatta" title="(!LANG:f^(alkuluku)(x)>0">, то функция !} kasvaa tällä aikavälillä.
Jos välillä I funktion derivaatta, niin funktio pienenee tällä aikavälillä.
5 . Löydämme funktion maksimi- ja minimipisteet.
AT funktion maksimipiste, derivaatta muuttaa etumerkin "+":sta "-".
AT funktion minimipistejohdannainen muuttaa merkin "-" arvosta "+".
6 . Löydämme funktion arvon segmentin päistä,
- sitten vertaamme funktion arvoa janan päissä ja maksimipisteissä, ja Valitse niistä suurin, jos haluat löytää funktion suurimman arvon
- tai vertaamme funktion arvoa janan päissä ja minimipisteissä, ja valitse niistä pienin, jos haluat löytää pienin arvo toimintoja
Kuitenkin riippuen siitä, kuinka funktio käyttäytyy välissä, tätä algoritmia voidaan vähentää merkittävästi.
Harkitse toimintoa 
. Tämän funktion kaavio näyttää tältä:
Katsotaanpa joitain esimerkkejä ongelmien ratkaisemisesta avoin pankki toimeksiantoja varten
yksi . Tehtävä B15 (#26695)
Leikkauksessa.
1. Funktio on määritelty kaikille x:n todellisille arvoille
Ilmeisesti tällä yhtälöllä ei ole ratkaisuja, ja derivaatta on positiivinen kaikille x:n arvoille. Siksi funktio kasvaa ja saa suurimman arvon intervallin oikeassa päässä, eli kohdassa x=0.
Vastaus: 5.
2 . Tehtävä B15 (nro 26702)
Etsi funktion suurin arvo 
segmentillä.
1.ODZ-toiminto title="(!LANG:x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}
Derivaata on nolla kohdassa , mutta näissä kohdissa se ei muuta etumerkkiä:
Siksi title="(!LANG:3/(cos^2(x))>=3">, значит, title="3/(cos^2(x))-3>=0">, то есть производная при всех допустимых значених х неотрицательна, следовательно, функция !} kasvaa ja ottaa suurimman arvon intervallin oikeassa päässä, klo .
Tehdäksemme selväksi, miksi derivaatta ei muuta etumerkkiä, muunnamme derivaatan lausekkeen seuraavasti:
Title="(!LANG:y^(alkuluku)=3/(cos^2(x))-3=(3-3cos^2(x))/(cos^2(x))=(3sin^2 (x))/(cos^2(x))=3tg^2(x)>=0">!}
Vastaus: 5.
3. Tehtävä B15 (#26708)
Etsi funktion pienin arvo väliltä .
1. ODZ-funktiot: title="(!LANG:x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}
Laitetaan tämän yhtälön juuret trigonometriselle ympyrälle.
Väli sisältää kaksi numeroa: ja
Laitetaan merkit. Tätä varten määritetään derivaatan etumerkki pisteessä x=0: 
. Pisteiden läpi kulkiessaan derivaatta muuttaa etumerkkiä.
Kuvataan funktion derivaatan etumerkkien muutos koordinaattiviivalla:
Ilmeisesti piste on minimipiste (jossa derivaatta muuttaa merkin "-":sta "+":ksi), ja löytääksesi segmentin funktion pienimmän arvon, sinun on verrattava funktion arvoja minimipiste ja janan vasemmassa päässä, .
Tässä artikkelissa aion puhua algoritmi suurimman ja pienimmän arvon löytämiseksi funktio, minimi- ja maksimipisteet.
Teoriasta, me varmasti tarvitsemme johdannainen taulukko ja eriyttämissäännöt. Kaikki on tässä taulussa:
Algoritmi suurimman ja pienimmän arvojen löytämiseksi.
Minusta on helpompi selittää konkreettisella esimerkillä. Harkitse:
Esimerkki: Etsi janan [–4;0] funktion y=x^5+20x^3–65x suurin arvo.
Vaihe 1. Otamme johdannaisen.
Y" = (x^5+20x^3–65x)" = 5x^4 + 20*3x^2 - 65 = 5x^4 + 60x^2 - 65
Vaihe 2Ääripisteiden löytäminen.
ääripiste nimetään pisteet, joissa funktio saavuttaa maksimi- tai minimiarvonsa.
Ääripisteiden löytämiseksi on tarpeen rinnastaa funktion derivaatta nollaan (y "= 0)
5x^4 + 60x^2 - 65 = 0
Nyt ratkaisemme tämän bikvadraattisen yhtälön ja löydetyt juuret ovat ääripisteemme.
Ratkaisen tällaiset yhtälöt korvaamalla t = x^2, sitten 5t^2 + 60t - 65 = 0.
Pienennä yhtälöä 5:llä, saamme: t^2 + 12t - 13 = 0
D = 12^2 - 4*1*(-13) = 196
T_(1) = (-12 + sqrt(196))/2 = (-12 + 14)/2 = 1
T_(2) = (-12 - sqrt(196))/2 = (-12 - 14)/2 = -13
Teemme käänteisen substituution x^2 = t:
X_(1 ja 2) = ±sqrt(1) = ±1
x_(3 ja 4) = ±sqrt(-13) (suljemme pois, juuren alla ei voi olla negatiivisia lukuja(ellemme tietysti puhu kompleksiluvuista)
Yhteensä: x_(1) = 1 ja x_(2) = -1 - nämä ovat ääripisteemme.
Vaihe 3 Määritä suurin ja pienin arvo.
Korvausmenetelmä.
Ehdossa meille annettiin segmentti [b][–4;0]. Piste x=1 ei sisälly tähän segmenttiin. Joten emme ota sitä huomioon. Mutta pisteen x=-1 lisäksi meidän on otettava huomioon myös segmenttimme vasen ja oikea reuna, eli pisteet -4 ja 0. Tätä varten korvaamme kaikki nämä kolme pistettä alkuperäiseen funktioon. Huomaa, että alkuperäinen on ehdossa annettu (y=x^5+20x^3–65x), jotkut alkavat korvata johdannaista...
Y(-1) = (-1)^5 + 20*(-1)^3 - 65*(-1) = -1 - 20 + 65 = [b]44
y(0) = (0)^5 + 20*(0)^3 - 65*(0) = 0
y(-4) = (-4)^5 + 20*(-4)^3 - 65*(-4) = -1024-1280 + 260 = -2044
Tämä tarkoittaa, että funktion maksimiarvo on [b]44 ja se saavutetaan pisteissä [b]-1, jota kutsutaan funktion maksimipisteeksi janalla [-4; 0].
Päätimme ja saimme vastauksen, olemme mahtavia, voit rentoutua. Mutta lopeta! Eikö y(-4):n laskeminen ole jotenkin liian monimutkaista? Rajoitetun ajan olosuhteissa on parempi käyttää toista menetelmää, kutsun sitä näin:
Vakiovälien kautta.
Nämä välit löytyvät funktion derivaatalle eli bikvadraattiselle yhtälöllemme.
Teen sen seuraavalla tavalla. Piirrän suuntaviivan. Asetin pisteet: -4, -1, 0, 1. Huolimatta siitä, että 1 ei sisälly annettuun segmenttiin, se tulee silti huomioida, jotta pysyvyysvälit voidaan määrittää oikein. Otetaan jokin luku monta kertaa suurempi kuin 1, sanotaan 100, korvataan se mentaalisesti bikvadraattiseen yhtälöimme 5(100)^4 + 60(100)^2 - 65. Jopa ilman mitään laskemista käy ilmi, että pisteessä 100 funktiossa on plusmerkki. Tämä tarkoittaa, että välissä 1-100 sillä on plusmerkki. Kun kuljemme 1:n läpi (menemme oikealta vasemmalle), funktio muuttaa merkin miinukseksi. Kun funktio kulkee pisteen 0 läpi, se säilyttää etumerkkinsä, koska tämä on vain janan raja, ei yhtälön juuri. Kun funktio kulkee -1:n läpi, funktio vaihtaa merkin jälleen plussaksi.
Teoriasta tiedämme, että missä funktion derivaatta on (ja piirsimme tämän sille) vaihtaa merkki plussasta miinusmerkkiin (kohta -1 meidän tapauksessamme) toiminto saavuttaa sen paikallinen maksimi (y(-1)=44 aiemmin laskettuna) tällä segmentillä (tämä on loogisesti erittäin selvää, funktio on lakannut kasvamasta, koska se saavutti maksiminsa ja alkoi laskea).
Näin ollen missä funktion derivaatta muuttaa merkkiä miinuksesta plussaksi, saavutettu funktion paikallinen minimi. Kyllä, kyllä, löysimme myös paikallisen minimipisteen, joka on 1, ja y(1) on funktion minimiarvo väliltä, vaikkapa välillä -1 - +∞. Maksaa suurta huomiota että tämä on vain PAIKALLINEN MINIMI, eli tietyn segmentin minimi. Koska todellinen (globaali) minimifunktio saavuttaa jonnekin siellä, -∞.
Ensimmäinen menetelmä on mielestäni teoreettisesti yksinkertaisempi ja toinen aritmeettisten operaatioiden kannalta yksinkertaisempi, mutta teoriassa paljon vaikeampi. Joskus on nimittäin tapauksia, joissa funktio ei vaihda etumerkkiä yhtälön juuren läpi, ja todellakin voit hämmentyä näihin paikallisiin, globaaleihin maksimiin ja minimiin, vaikka sinun on joka tapauksessa hallittava tämä hyvin, jos suunnittelet päästä teknilliseen korkeakouluun (ja miksi muuten tehdä profiilikoe ja ratkaista tämä tehtävä). Mutta harjoittelu ja vain harjoitus opettaa sinulle kuinka ratkaista tällaiset ongelmat lopullisesti. Ja voit harjoitella verkkosivuillamme. täällä .
Jos sinulla on kysyttävää tai jokin on epäselvää, kysy. Vastaan sinulle mielelläni ja teen muutoksia, lisäyksiä artikkeliin. Muista, että teemme tämän sivuston yhdessä!
Käyttämällä tämä palvelu voi etsi funktion suurin ja pienin arvo yksi muuttuja f(x) ratkaisun suunnittelulla Wordissa. Jos funktio f(x,y) on annettu, on siksi löydettävä kahden muuttujan funktion ääriarvo. Löydät myös funktion lisäys- ja laskuvälit.
Toiminnon syöttösäännöt:
Tarvittava ehto yhden muuttujan funktion ääripäälle
Yhtälö f" 0 (x *) = 0 on välttämätön ehto yhden muuttujan funktion ääriarvo, ts. pisteessä x * funktion ensimmäisen derivaatan täytyy hävitä. Se valitsee kiinteät pisteet x c, joissa funktio ei kasva tai vähennä.Riittävä ehto yhden muuttujan funktion ääripäälle
Olkoon f 0 (x) kahdesti differentioituva joukkoon D kuuluvan x:n suhteen. Jos pisteessä x * ehto täyttyy:F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *) > 0
Tällöin piste x * on funktion paikallisen (globaalin) minimin piste.
Jos pisteessä x * ehto täyttyy:
F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *)< 0
Piste x * on paikallinen (globaali) maksimi.
Esimerkki #1. Etsi funktion suurin ja pienin arvo: segmentistä .
Ratkaisu. 
Kriittinen piste on yksi x 1 = 2 (f'(x)=0). Tämä piste kuuluu segmenttiin . (Piste x=0 ei ole kriittinen, koska 0∉).
Laskemme funktion arvot segmentin päissä ja kriittisessä pisteessä.
f(1)=9, f(2)=5/2, f(3)=38/81
Vastaus: f min = 5/2, kun x = 2; f max = 9 kohdassa x = 1
Esimerkki #2. Etsi käyttämällä korkeamman asteen derivaattoja funktion y=x-2sin(x) ääriarvo.
Ratkaisu.
Etsi funktion derivaatta: y’=1-2cos(x) . Etsitään kriittiset pisteet: 1-cos(x)=2, cos(x)=1, x=± π / 3 +2πk, k∈Z. Löydämme y''=2sin(x), laskemme , joten x= π / 3 +2πk, k∈Z ovat funktion minimipisteitä; 
, joten x=- π / 3 +2πk, k∈Z ovat funktion maksimipisteitä.
Esimerkki #3. Tutki pisteen x=0 läheisyydessä olevaa ääriarvofunktiota.
Ratkaisu. Tässä on löydettävä funktion ääripää. Jos äärisumma x=0 , niin selvitä sen tyyppi (minimi tai maksimi). Jos löydettyjen pisteiden joukossa ei ole x = 0, laske funktion arvo f(x=0).
On huomattava, että kun tietyn pisteen kummallakin puolella oleva derivaatta ei muuta etumerkkiään, mahdolliset tilanteet eivät ole käytetty edes differentioituvien funktioiden kohdalla: voi käydä niin, että mielivaltaisen pienelle naapurustolle pisteen toisella puolella x 0 tai molemmilla puolilla derivaatta muuttaa merkkiä. Näissä kohdissa täytyy soveltaa muita menetelmiä ääripään funktioiden tutkimiseen.
Tällaisen matemaattisen analyysin kohteen tutkiminen funktiona on erittäin tärkeää. merkitys ja muilla tieteenaloilla. Esimerkiksi taloudellisessa analyysissä käyttäytymistä on jatkuvasti arvioitava toimintoja voiton määrittämiseksi merkitys ja kehittää strategia sen saavuttamiseksi.
Ohje
Minkä tahansa käyttäytymisen tutkiminen tulisi aina aloittaa määritelmäalueen etsimisellä. Yleensä tietyn ongelman tilanteen mukaan on määritettävä suurin merkitys toimintoja joko koko tällä alueella tai sen tietyllä aikavälillä avoimilla tai suljetuilla rajoilla.
Perustuu, suurin on merkitys toimintoja y(x0), jonka alla mille tahansa määritelmäalueen pisteelle epäyhtälö y(x0) ≥ y(x) (х ≠ x0) täyttyy. Graafisesti tämä piste on korkein, jos järjestät argumentin arvot abskissa-akselia pitkin ja itse funktion ordinaatta-akselia pitkin.
Suurimman määrittämiseksi merkitys toimintoja, noudata kolmivaiheista algoritmia. Huomaa, että sinun on kyettävä työskentelemään yksipuolisten ja , sekä laskemaan derivaatta. Olkoon siis jokin funktio y(x) annettu ja sen on löydettävä sen suurin merkitys jollain aikavälillä raja-arvoilla A ja B.
Selvitä, kuuluuko tämä aikaväli soveltamisalaan toimintoja. Tätä varten sinun on löydettävä se ottaen huomioon kaikki mahdolliset rajoitukset: murto-osan läsnäolo lausekkeessa, neliöjuuri jne. Määritelmäalue on joukko argumenttiarvoja, joille funktiolla on järkeä. Selvitä, onko annettu intervalli sen osajoukko. Jos kyllä, siirry seuraavaan vaiheeseen.
Etsi johdannainen toimintoja ja ratkaise tuloksena oleva yhtälö rinnastamalla derivaatan nollaan. Siten saat niin kutsuttujen kiinteiden pisteiden arvot. Arvioi kuuluuko vähintään yksi niistä väliin A, B.
Harkitse näitä kohtia kolmannessa vaiheessa, korvaa niiden arvot funktioon. Suorita seuraavat lisävaiheet intervallityypistä riippuen. Jos on muotoa [A, B] oleva segmentti, rajapisteet sisällytetään väliin, tämä osoitetaan suluilla. Laske arvot toimintoja x = A ja x = B. Jos avoin väli on (A, B), raja-arvot puhkaistaan, ts. eivät sisälly siihen. Ratkaise x→A:n ja x→B:n yksipuoliset rajat. Yhdistetty intervalli muotoa [A, B) tai (A, B), jonka toinen raja kuuluu siihen, toinen ei. Etsi yksipuolinen raja, koska x pyrkii puhkaistuun arvoon, ja korvaa toinen Äärettömät kaksipuoliset välit (-∞, +∞) tai yksipuoliset äärettömät muodon: , (-∞, B) Reaalirajoilla A ja B toimi jo kuvattujen periaatteiden mukaisesti ja äärettömälle , etsi rajat arvoille x→-∞ ja x→+∞, vastaavasti.
Tehtävä tässä vaiheessa
Vakioalgoritmi tällaisten tehtävien ratkaisemiseksi sisältää funktion nollien löytämisen jälkeen derivaatan etumerkkien määrittämisen intervalleilla. Sitten arvojen laskeminen löydetyissä maksimi- (tai minimi-) pisteissä ja intervallin rajalla riippuen siitä, mikä kysymys on kunnossa.
Suosittelen sinua tekemään asiat hieman eri tavalla. Miksi? Kirjoitti siitä.
Ehdotan tällaisten tehtävien ratkaisemista seuraavasti:
1. Etsi derivaatta.
2. Etsi derivaatan nollat.
3. Selvitä, mitkä niistä kuuluvat annettuun väliin.
4. Laskemme funktion arvot kohdan 3 välin ja pisteiden rajoilla.
5. Teemme johtopäätöksen (vastaamme esitettyyn kysymykseen).
Esitettyjen esimerkkien ratkaisemisen aikana ratkaisua ei tarkasteltu yksityiskohtaisesti. toisen asteen yhtälöt, sinun pitäisi pystyä tekemään tämä. Heidänkin pitäisi tietää.
Harkitse esimerkkejä:
77422. Etsi funktion y=x suurin arvo 3 –3x+4 segmentillä [–2;0].
Etsitään derivaatan nollat:
Piste x = –1 kuuluu ehdossa määritettyyn väliin.
Laskemme funktioarvot pisteissä –2, –1 ja 0:
Funktion suurin arvo on 6.
Vastaus: 6
77425. Etsi janan funktion y \u003d x 3 - 3x 2 + 2 pienin arvo.
Etsi annetun funktion derivaatta:
Etsitään derivaatan nollat:
Piste x = 2 kuuluu ehdossa määritettyyn väliin.
Laskemme funktioarvot pisteissä 1, 2 ja 4:
Funktion pienin arvo on -2.
Vastaus: -2
77426. Etsi janan [-3; 3] funktion y \u003d x 3 - 6x 2 suurin arvo.
Etsi annetun funktion derivaatta:
Etsitään derivaatan nollat:
Piste x = 0 kuuluu ehdossa määritettyyn väliin.
Laskemme funktioarvot pisteissä –3, 0 ja 3:
Funktion pienin arvo on 0.
Vastaus: 0
77429. Etsi janan funktion y \u003d x 3 - 2x 2 + x + 3 pienin arvo.
Etsi annetun funktion derivaatta:
3x 2 - 4x + 1 = 0
Saamme juuret: x 1 \u003d 1 x 1 \u003d 1/3.
Vain x = 1 kuuluu ehdossa määritettyyn väliin.
Etsi funktioarvot kohdista 1 ja 4:
Huomasimme, että funktion pienin arvo on 3.
Vastaus: 3
77430. Etsi janan [- 4; -yksi].
Etsi annetun funktion derivaatta:
Etsi derivaatan nollat, ratkaise toisen asteen yhtälö:
3x 2 + 4x + 1 = 0
Otetaan juuret:
Juuri х = –1 kuuluu ehdossa määritettyyn väliin.
Etsi funktioarvot pisteistä –4, –1, –1/3 ja 1:
Huomasimme, että funktion suurin arvo on 3.
Vastaus: 3
77433. Etsi segmentin funktion y \u003d x 3 - x 2 - 40x +3 pienin arvo.
Etsi annetun funktion derivaatta:
Etsi derivaatan nollat, ratkaise toisen asteen yhtälö:
3x 2 - 2x - 40 = 0
Otetaan juuret:
Juuri x = 4 kuuluu ehdossa määritettyyn väliin.
Löydämme funktion arvot pisteistä 0 ja 4:
Huomasimme, että funktion pienin arvo on -109.
Vastaus: -109
Harkitse menetelmää funktioiden suurimman ja pienimmän arvon määrittämiseksi ilman derivaatta. Tätä lähestymistapaa voidaan käyttää, jos sinulla on johdannaisen määritelmä suuria ongelmia. Periaate on yksinkertainen - korvaamme kaikki kokonaislukuarvot intervallista funktioon (totuus on, että kaikissa tällaisissa prototyypeissä vastaus on kokonaisluku).
77437. Etsi janan [-2; 2] funktion y \u003d 7 + 12x - x 3 pienin arvo.
Korvaamme pisteet -2:sta 2:een: Näytä ratkaisu
77434. Etsi janan [-2; 0] funktion y \u003d x 3 + 2x 2 - 4x + 4 suurin arvo.
Siinä kaikki. Onnea sinulle!
Ystävällisin terveisin Alexander Krutitskikh.
P.S: Olisin kiitollinen, jos kertoisit sivustosta sosiaalisessa mediassa.
