Главная Прически

Рациональное или иррациональное число. Что значит иррациональное число

С отрезком единичной длины, знали уже древние математики: им была известна, например, несоизмеримость диагонали и стороны квадрата, что равносильно иррациональности числа .

Иррациональными являются:

Примеры доказательства иррациональности

Корень из 2

Допустим противное: рационален , то есть представляется в виде несократимой дроби , где и - целые числа . Возведём предполагаемое равенство в квадрат:

Отсюда следует, что чётно, значит, чётно и . Пускай , где целое. Тогда

Следовательно, чётно, значит, чётно и . Мы получили, что и чётны, что противоречит несократимости дроби . Значит, исходное предположение было неверным, и - иррациональное число.

Двоичный логарифм числа 3

Допустим противное: рационален , то есть представляется в виде дроби , где и - целые числа . Поскольку , и могут быть выбраны положительными. Тогда

Но чётно, а нечётно. Получаем противоречие.

e

История

Концепция иррациональных чисел была неявным образом воспринята индийскими математиками в VII веке до нашей эры, когда Манава (ок. 750 г. до н. э. - ок. 690 г. до н. э.) выяснил, что квадратные корни некоторых натуральных чисел, таких как 2 и 61, не могут быть явно выражены.

Первое доказательство существования иррациональных чисел обычно приписывается Гиппасу из Метапонта (ок. 500 гг. до н. э.), пифагорейцу , который нашёл это доказательство, изучая длины сторон пентаграммы. Во времена пифагорейцев считалось, что существует единая единица длины, достаточно малая и неделимая, которая целое число раз входит в любой отрезок. Однако Гиппас обосновал, что не существует единой единицы длины, поскольку предположение о её существовании приводит к противоречию. Он показал, что если гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника содержит целое число единичных отрезков, то это число должно быть одновременно и четным, и нечетным. Доказательство выглядело следующим образом:

Отношение длины гипотенузы к длине катета равнобедренного прямоугольного треугольника может быть выражено как a :b , где a и b выбраны наименьшими из возможных.
По теореме Пифагора: a ² = 2b ².
Так как a ² четное, a должно быть четным (так как квадрат нечетного числа был бы нечетным).
Поскольку a :b несократима, b обязано быть нечетным.
Так как a четное, обозначим a = 2y .
Тогда a ² = 4y ² = 2b ².
b ² = 2y ², следовательно b ² четное, тогда и b четно.
Однако было доказано, что b нечетное. Противоречие.

Греческие математики назвали это отношение несоизмеримых величин алогос (невыразимым), однако согласно легендам не воздали Гиппасу должного уважения. Существует легенда, что Гиппас совершил открытие, находясь в морском походе, и был выброшен за борт другими пифагорейцами «за создание элемента вселенной, который отрицает доктрину, что все сущности во вселенной могут быть сведены к целым числам и их отношениям». Открытие Гиппаса поставило перед пифагорейской математикой серьёзную проблему, разрушив лежавшее в основе всей теории предположение, что числа и геометрические объекты едины и неразделимы.

См. также

Примечания

Числовые системы
Счётные множества	Натуральные числа () Целые ()

Натуральные числа

Натуральные числа определение - это целые положительные числа. Натуральные числа используют для счета предметов и многих иных целей. Вот эти числа:

Это натуральный ряд чисел.
Ноль натуральное число? Нет, ноль не является натуральным числом.
Сколько натуральных чисел существует? Существует бесконечное множество натуральных чисел.
Каково наименьшее натуральное число? Единица - это наименьшее натуральное число.
Каково наибольшее натуральное число? Его невозможно указать, ведь существует бесконечное множество натуральных чисел.

Сумма натуральных чисел есть натуральное число. Итак, сложение натуральных чисел a и b:

Произведение натуральных чисел есть натуральное число. Итак, произведение натуральных чисел a и b:

с - это всегда натуральное число.

Разность натуральных чисел Не всегда есть натуральное число. Если уменьшаемое больше вычитаемого, то разность натуральных чисел есть натуральное число, иначе - нет.

Частное натуральных чисел Не всегда есть натуральное число. Если для натуральных чисел a и b

где с - натуральное число, то это значит, что a делится на b нацело. В этом примере a - делимое, b - делитель, c - частное.

Делитель натурального числа - это натуральное число, на которое первое число делится нацело.

Каждое натуральное число делится на единицу и на себя.

Простые натуральные числа делятся только на единицу и на себя. Здесь имеется ввиду делятся нацело. Пример, числа 2; 3; 5; 7 делятся только на единицу и на себя. Это простые натуральные числа.

Единицу не считают простым числом.

Числа, которые больше единицы и которые не являются простыми, называют составными. Примеры составных чисел:

Единицу не считают составным числом.

Множество натуральных чисел составляют единица, простые числа и составные числа.

Множество натуральных чисел обозначается латинской буквой N.

Свойства сложения и умножения натуральных чисел:

переместительное свойство сложения

сочетательное свойство сложения

(a + b) + c = a + (b + c);

переместительное свойство умножения

сочетательное свойство умножения

(ab) c = a (bc);

распределительное свойство умножения

A (b + c) = ab + ac;

Целые числа

Целые числа - это натуральные числа, ноль и числа, противоположные натуральным.

Числа, противоположные натуральным - это целые отрицательные числа, например:

1; -2; -3; -4;...

Множество целых чисел обозначается латинской буквой Z.

Рациональные числа

Рациональные числа - это целые числа и дроби.

Любое рациональное число может быть представлено в виде периодической дроби. Примеры:

1,(0); 3,(6); 0,(0);...

Из примеров видно, что любое целое число есть периодическая дробь с периодом ноль.

Любое рациональное число может быть представлено в виде дроби m/n, где m целое число,n натуральное число. Представим в виде такой дроби число 3,(6) из предыдущего примера.

Определение иррационального числа

Иррациональными называют такие числа, которые в десятичной записи представляют собой бесконечные непериодические десятичные дроби.

Так, например, числа, полученные путем извлечения квадратного корня из натуральных чисел, являются иррациональными и не являются квадратами натуральных чисел. Но не все иррациональные числа получают путем извлечения квадратных корней, ведь полученное методом деления, число «пи», также является иррациональным, и его вы вряд ли получите, пытаясь извлечь квадратный корень из натурального числа.

Свойства иррациональных чисел

В отличие от чисел, записанных бесконечной десятичной дробью, только иррациональные числа записываются непериодическими бесконечными десятичными дробями.
Сумма двух неотрицательных иррациональных чисел в итоге может быть рациональным числом.
Иррациональные числа определяют дедекиндовы сечения в множестве рациональных чисел, в нижнем классе у которых нет самого большого числа, а в верхнем нет меньшего.
Любое вещественное трансцендентное число является иррациональным.
Все иррациональные числа являются либо алгебраическими, либо трансцендентными.
Множество иррациональных чисел на прямой располагаются плотно, и между его любыми двумя числами обязательно найдется иррациональное число.
Множество иррациональных чисел бесконечно, несчетно и является множеством 2-й категории.
При выполнении любой арифметической операции с рациональными числами, кроме деления на 0, его результатом будет рациональное число.
При сложении рационального числа с иррациональным, в результате всегда получается иррациональное число.
При сложении иррациональных чисел в результате мы можем получить рациональное число.
Множество иррациональных чисел не есть четным.

Числа, не являются иррациональными

Иногда достаточно сложно ответить на вопрос, является ли число иррациональным, особенно в случаях, когда число имеет вид десятичной дроби или в виде числового выражения, корня или логарифма.

Поэтому не лишним будет знать, какие числа не относятся к иррациональным. Если следовать определения иррациональных чисел, то нам уже известно, что рациональные числа не могут быть иррациональными.

Иррациональными числами не являются:

Во-первых, все натуральные числа;
Во-вторых, целые числа;
В-третьих, обыкновенные дроби;
В-четвертых, разные смешанные числа;
В-пятых, это бесконечные периодические десятичные дроби.

Кроме всего перечисленного, иррациональным числом не может быть любая комбинация рациональных чисел, которая выполняется знаками арифметических операций, как +, -, , :, так как при этом итогом двух рациональных чисел будет также рациональное число.

А теперь посмотрим, какие же из чисел являются иррациональными:

А известно ли вам о существовании фан-клуба, где поклонники этого загадочного математического феномена ищут все новые сведения о Пи, пытаясь разгадать его тайну. Членом этого клуба может сталь любой человек, который знает наизусть определенное количество чисел Пи после запятой;

А знаете ли вы, что в Германии под охраной ЮНЕСКО находится дворец Кастадель Монте, благодаря пропорциям которого можно вычислить Пи. Целый дворец посвятил этому числу король Фридрих II.

Оказывается, число Пи пытались использовать при строительстве Вавилонской башни. Но к превеликому сожалению, это привело к краху проекта, так как на тот момент было недостаточно изучено точное исчисление значения Пи.

Певица Кейт Буш в своем новом диске записала песню под названием «Пи», в которой прозвучало сто двадцать четыре числа из знаменитого числового ряда 3, 141…..

Иррациональными являются:

Примеры доказательства иррациональности

Корень из 2

Отсюда следует, что чётно, значит, чётно и . Пускай , где целое. Тогда

Двоичный логарифм числа 3

Но чётно, а нечётно. Получаем противоречие.

e

История

Отношение длины гипотенузы к длине катета равнобедренного прямоугольного треугольника может быть выражено как a :b , где a и b выбраны наименьшими из возможных.
По теореме Пифагора: a ² = 2b ².
Так как a ² четное, a должно быть четным (так как квадрат нечетного числа был бы нечетным).
Поскольку a :b несократима, b обязано быть нечетным.
Так как a четное, обозначим a = 2y .
Тогда a ² = 4y ² = 2b ².
b ² = 2y ², следовательно b ² четное, тогда и b четно.
Однако было доказано, что b нечетное. Противоречие.

См. также

Примечания

Числовые системы
Счётные множества	Натуральные числа () Целые ()

От абстрактности математических понятий порой настолько веет и отстраненностью, что невольно возникает мысль: «Зачем это всё?». Но, несмотря на первое впечатление, все теоремы, арифметические операции, функции и т.п. – не более, чем желание удовлетворить насущные потребности. Особенно чётко это можно заметить на примере появления различных множеств.

Всё началось с появления натуральных чисел. И, хотя, вряд ли сейчас кто-то сможет ответить, как точно это было, но скорее всего, ноги у царицы наук растут откуда-то из пещеры. Здесь, анализируя количество шкур, камней и соплеменников, человек множество «чисел для счёта». И этого ему было достаточно. До какого-то момента, конечно же.

Дальше потребовалось шкуры и камни делить и отнимать. Так возникла потребность в арифметических операциях, а вместе с ними и рациональных , которые можно определить как дробь типа m/n, где, например, m - количество шкур, n – количество соплеменников.

Казалось бы, уже открытого математического аппарата вполне достаточно, чтобы радоваться жизнью. Но вскоре оказалось, что случаи, когда результат не то, что не целое число, но даже не дробь! И, действительно, квадратный корень из двух никак иначе не выразить с помощью числителя и знаменателя. Или, например, всем известное число Пи, открытое древнегреческим учёным Архимедом, так же не является рациональным. И таких открытий со временем стало настолько много, что все неподдающиеся «рационализации» числа объединили и назвали иррациональными.

Свойства

Рассмотренные ранее множества принадлежат набору фундаментальных понятий математики. Это означает, что их не получится определить через более простые математические объекты. Но это можно сделать с помощью категорий (с греч. «высказывания») или постулатов. В данном случае лучше всего было обозначить свойства данных множеств.

o Иррациональные числа определяют Дедекиндовы сечения в множестве рациональных чисел, у которых в нижнем нет наибольшего, а в верхнем нет наименьшего числа.

o Каждое трансцендентное число является иррациональным.

o Каждое иррациональное число является либо алгебраическим, либо трансцендентным.

o Множество чисел всюду плотно на числовой прямой: между любыми имеется иррациональное число.

o Множество несчётно, является множеством второй категории Бэра.

o Это множество упорядоченное, т. е. для каждых двух различных рациональных чисел a иb можно указать, какое из них меньше другого.
o Между каждыми двумя различными рациональными числами существует еще по крайней мере одно , а следовательно, и бесконечное множество рациональных чисел.

o Арифметические действия (сложение, умножение и деление) над любыми двумя рациональными числами всегда возможны и дают в результате определенное рациональное же число. Исключением является деление на нуль, которое невозможно.

o Каждое рациональное число может быть представлено в виде десятичной дроби (конечной или бесконечной периодической).