Príklad modelu stochastického procesu. Stochastický procesný model

Stochastický model popisuje situáciu, keď existuje neistota. Inými slovami, proces je charakterizovaný určitým stupňom náhodnosti. Samotné prídavné meno „stochastický“ pochádza z gréckeho slova „hádať“. Keďže neistota je kľúčovou charakteristikou každodenného života, takýto model môže opísať čokoľvek.

Vždy, keď ho však nanesieme, výsledok bude iný. Preto sa častejšie používajú deterministické modely. Aj keď sa čo najviac nepribližujú skutočnému stavu vecí, vždy dávajú rovnaký výsledok a uľahčujú pochopenie situácie, zjednodušujú ju zavedením súboru matematických rovníc.

Hlavné rysy

Stochastický model vždy obsahuje jednu alebo viac náhodných premenných. Snaží sa odrážať skutočný život vo všetkých jeho prejavoch. Na rozdiel od stochastickej si nekladie za cieľ všetko zjednodušiť a zredukovať na známe hodnoty. Preto je neistota jej kľúčovou charakteristikou. Stochastické modely sú vhodné na popis čohokoľvek, ale všetky majú tieto spoločné črty:

• Každý stochastický model odráža všetky aspekty problému, pre ktorý bol vytvorený.
• Výsledok každého z javov je neistý. Preto model zahŕňa pravdepodobnosti. Správnosť celkových výsledkov závisí od presnosti ich výpočtu.
• Tieto pravdepodobnosti možno použiť na predpovedanie alebo popis samotných procesov.

Deterministické a stochastické modely

Pre niektorých sa zdá, že život je pre iných následnosťou – procesmi, v ktorých príčina určuje následok. V skutočnosti sa vyznačuje neistotou, ale nie vždy a nie vo všetkom. Preto je niekedy ťažké nájsť jasné rozdiely medzi stochastickými a deterministickými modelmi. Pravdepodobnosti sú dosť subjektívne.

Predstavte si napríklad situáciu hodu mincou. Na prvý pohľad to vyzerá, že je 50% šanca dostať chvosty. Preto je potrebné použiť deterministický model. V skutočnosti sa však ukazuje, že veľa závisí od šikovnosti rúk hráčov a dokonalosti vyváženia mince. To znamená, že sa musí použiť stochastický model. Vždy sú parametre, ktoré nepoznáme. V reálnom živote príčina vždy určuje následok, no je tu aj určitá miera neistoty. Voľba medzi použitím deterministických a stochastických modelov závisí od toho, čoho sme ochotní sa vzdať – jednoduchosti analýzy alebo realizmu.

V teórii chaosu

V poslednej dobe sa pojem, ktorý model sa nazýva stochastický, ešte viac zahmlil. Je to spôsobené vývojom takzvanej teórie chaosu. Popisuje deterministické modely, ktoré môžu poskytnúť rôzne výsledky s miernou zmenou počiatočných parametrov. Je to ako úvod do výpočtu neistoty. Mnohí vedci dokonca priznali, že ide už o stochastický model.

Lothar Breuer všetko elegantne vysvetlil pomocou poetických obrazov. Napísal: „Horský potok, tlčúce srdce, epidémia kiahní, stĺp stúpajúceho dymu – to všetko je príkladom dynamického javu, ktorý, ako sa zdá, niekedy charakterizuje náhoda. V skutočnosti takéto procesy vždy podliehajú určitému poriadku, ktorému vedci a inžinieri ešte len začínajú rozumieť. Toto je takzvaný deterministický chaos." Nová teória znie veľmi vierohodne, a preto sú jej zástancami mnohí moderní vedci. Stále však zostáva málo rozvinutý a je dosť ťažké ho aplikovať v štatistických výpočtoch. Preto sa často používajú stochastické alebo deterministické modely.

Budovanie

Stochastic začína výberom priestoru elementárnych výsledkov. Takže v štatistike nazývajú zoznam možných výsledkov skúmaného procesu alebo udalosti. Výskumník potom určí pravdepodobnosť každého zo základných výsledkov. Zvyčajne sa to robí na základe určitej techniky.

Pravdepodobnosti sú však stále dosť subjektívnym parametrom. Výskumník potom určí, ktoré udalosti sú pre riešenie problému najzaujímavejšie. Potom už len určí ich pravdepodobnosť.

Príklad

Zvážte proces vytvárania najjednoduchšieho stochastického modelu. Predpokladajme, že hodíme kockou. Ak vypadne „šesť“ alebo „jedna“, naša výhra bude desať dolárov. Proces vytvárania stochastického modelu v tomto prípade bude vyzerať takto:

• Definujme priestor elementárnych výsledkov. Kocka má šesť strán, takže môže prísť jedna, dve, tri, štyri, päť a šesť.
• Pravdepodobnosť každého z výsledkov sa bude rovnať 1/6, bez ohľadu na to, koľko hodíme kockou.
• Teraz musíme určiť výsledky, ktoré nás zaujímajú. Ide o stratu tváre s číslom „šesť“ alebo „jedna“.
• Nakoniec môžeme určiť pravdepodobnosť udalosti, ktorá nás zaujíma. Je to 1/3. Zhrnieme pravdepodobnosti oboch elementárnych udalostí, ktoré nás zaujímajú: 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3.

Koncept a výsledok

V hazardných hrách sa často používa stochastická simulácia. Ale je tiež nepostrádateľný v ekonomických prognózach, pretože umožňuje pochopiť situáciu hlbšie ako deterministické. Stochastické modely v ekonómii sa často používajú pri rozhodovaní o investíciách. Umožňujú vám robiť predpoklady o ziskovosti investícií do určitých aktív alebo ich skupín.

Modelovanie zefektívňuje finančné plánovanie. S jeho pomocou investori a obchodníci optimalizujú rozloženie svojich aktív. Používanie stochastického modelovania má z dlhodobého hľadiska vždy výhody. V niektorých odvetviach môže odmietnutie alebo neschopnosť uplatniť ho dokonca viesť k bankrotu podniku. Je to spôsobené tým, že v reálnom živote sa denne objavujú nové dôležité parametre a ak nie, môže to mať katastrofálne následky.

Odoslanie dobrej práce do databázy znalostí je jednoduché. Použite nižšie uvedený formulár

Študenti, postgraduálni študenti, mladí vedci, ktorí pri štúdiu a práci využívajú vedomostnú základňu, vám budú veľmi vďační.

Hostené na http://www.allbest.ru/

1. Príklad vytvorenia modelu stochastického procesu

V priebehu fungovania banky je veľmi často potrebné riešiť problém výberu vektora aktív, t.j. investičného portfólia banky a neisté parametre, ktoré je potrebné pri tejto úlohe zohľadniť, súvisia predovšetkým s neistotou cien aktív (cenné papiere, reálne investície a pod.). Ako ilustráciu môžeme uviesť príklad s tvorbou portfólia vládnych krátkodobých záväzkov.

Pre problémy tejto triedy je základnou otázkou konštrukcia modelu stochastického procesu zmien cien, keďže operačný výskumník má, samozrejme, len konečný rad pozorovaní realizácií náhodných premenných – cien. Ďalej je predstavený jeden z prístupov k riešeniu tohto problému, ktorý sa vyvíja vo Výpočtovom centre Ruskej akadémie vied v súvislosti s riešením úloh riadenia pre stochastické Markovove procesy.

Zvažujú sa M druhy cenných papierov, i=1,… , M, ktoré sa obchodujú na špeciálnych burzách. Cenné papiere sú charakterizované hodnotami - vyjadrenými ako percento výnosov počas aktuálnej relácie. Ak sa papier typu na konci relácie kúpi za cenu a predá sa na konci relácie za cenu, potom.

Výťažky sú náhodné premenné tvorené nasledovne. Predpokladá sa existencia základných výnosov - náhodných premenných, ktoré tvoria Markovov proces a sú určené nasledujúcim vzorcom:

Tu sú konštanty a sú to štandardné normálne rozdelené náhodné premenné (t. j. s nulovým matematickým očakávaním a jednotkovým rozptylom).

kde je určitý mierkový faktor rovný () a je náhodná premenná, ktorá má význam odchýlky od základnej hodnoty a je určená podobne:

kde sú aj štandardné normálne rozdelené náhodné premenné.

Predpokladá sa, že niektorá prevádzková strana, ďalej len prevádzkovateľ, po určitú dobu spravuje svoj kapitál investovaný do cenných papierov (v každom momente na papieri presne jedného druhu), pričom ich na konci aktuálnej relácie predá a okamžite nakúpi ďalšie cenné papiere. s výnosmi. Správa, výber nakupovaných cenných papierov prebieha podľa algoritmu, ktorý závisí od informovanosti prevádzkovateľa o procese, ktorý tvorí výnos cenných papierov. Budeme zvažovať rôzne hypotézy o tomto uvedomení a podľa toho aj rôzne riadiace algoritmy. Budeme predpokladať, že riešiteľ operácie vyvinie a optimalizuje riadiaci algoritmus pomocou dostupných sérií pozorovaní procesu, t. j. s využitím informácií o uzatváracích cenách na burzách a prípadne aj o hodnotách v určitom časovom intervale. zodpovedajúce reláciám s číslami. Účelom experimentov je porovnať odhady očakávanej účinnosti rôznych riadiacich algoritmov s ich teoretickým matematickým očakávaním v podmienkach, keď sú algoritmy ladené a vyhodnocované na rovnakej sérii pozorovaní. Na odhad teoretického matematického očakávania sa používa metóda Monte Carlo „vymetením“ kontroly nad dostatočne veľkým vygenerovaným radom, t.j. maticou rozmerov, kde stĺpce zodpovedajú realizáciám hodnôt a reláciám a počet je určený výpočtovými schopnosťami, ale za predpokladu, že prvky matice sú aspoň 10 000. Je potrebné, aby bol „polygón“ rovnaké vo všetkých experimentoch. Dostupná séria pozorovaní simuluje vygenerovanú maticu dimenzií, kde hodnoty v bunkách majú rovnaký význam ako vyššie. Počet a hodnoty v tejto matici sa budú v budúcnosti meniť. Matice oboch typov sa tvoria pomocou procedúry generovania náhodných čísel, simulácie implementácie náhodných premenných a výpočtu požadovaných prvkov matíc pomocou týchto implementácií a vzorcov (1) - (3).

Hodnotenie účinnosti regulácie na sérii pozorovaní sa uskutočňuje podľa vzorca

kde je index poslednej relácie v sérii pozorovaní a je počet väzieb zvolených algoritmom v kroku, t.j. typ dlhopisov, v ktorých sa podľa algoritmu bude nachádzať kapitál operátora počas relácie. Okrem toho vypočítame aj mesačnú efektivitu. Číslo 22 zhruba zodpovedá počtu obchodných relácií za mesiac.

Výpočtové experimenty a analýza výsledkov

Hypotézy

Presné znalosti operátora o budúcich výnosoch.

Index sa volí ako. Táto možnosť poskytuje horný odhad pre všetky možné riadiace algoritmy, aj keď nám dodatočné informácie (berúc do úvahy niektoré ďalšie faktory) umožňujú spresniť model cenovej predpovede.

Náhodné ovládanie.

Operátor nepozná zákon cenotvorby a operácie robí náhodným výberom. Teoreticky je v tomto modeli matematické očakávanie výsledku operácií rovnaké, ako keby operátor investoval nie do jedného papiera, ale rovnako do všetkých. Pri nulových matematických očakávaniach hodnôt sa matematické očakávanie hodnoty rovná 1. Výpočty podľa tejto hypotézy sú užitočné len v tom zmysle, že umožňujú do určitej miery kontrolovať správnosť napísaných programov a vygenerovanej matice hodnôt. .

Manažment s presnou znalosťou modelu ziskovosti, všetkých jeho parametrov a sledovanej hodnoty .

V tomto prípade operátor na konci relácie, ktorý pozná hodnoty pre obe relácie, a v našich výpočtoch pomocou riadkov a matíc, vypočíta podľa vzorcov (1) - (3) matematické hodnoty.

kde podľa (2) . (6)

Kontrola so znalosťou štruktúry výnosového modelu a sledovanej hodnoty , ale neznáme koeficienty .

Budeme predpokladať, že výskumník operácie nielenže nepozná hodnoty koeficientov, ale nepozná ani počet hodnôt ovplyvňujúcich tvorbu, ktoré predchádzajú hodnotám týchto parametrov (hĺbka pamäte Markovove procesy). Taktiež nevie, či sú koeficienty pre rôzne hodnoty rovnaké alebo rôzne. Uvažujme rôzne varianty konania výskumníka - 4.1, 4.2 a 4.3, kde druhý index označuje predpoklad výskumníka o hĺbke pamäte procesov (rovnaké pre a). Napríklad v prípade 4.3 výskumník predpokladá, že je vytvorený podľa rovnice

Tu pre úplnosť pribudol voľný termín. Tento pojem však možno vylúčiť buď zo zmysluplných dôvodov, alebo štatistickými metódami. Pre zjednodušenie výpočtov preto pri nastavovaní parametrov ďalej vylučujeme voľné výrazy z úvahy a vzorec (7) má tvar:

V závislosti od toho, či výskumník predpokladá rovnaké alebo rôzne koeficienty pre rôzne hodnoty, budeme uvažovať podprípady 4.m. 1 - 4 hod. 2, m = 1 - 3. V prípadoch 4.m. 1 koeficienty budú upravené podľa pozorovaných hodnôt pre všetky cenné papiere spolu. V prípadoch 4.m. 2 koeficienty sú upravené pre každý cenný papier zvlášť, pričom výskumník pracuje s hypotézou, že koeficienty sú rôzne pre rôzne a napríklad v prípade 4.2.2. hodnoty sú určené upraveným vzorcom (3)

Prvý spôsob nastavenia- klasická metóda najmenších štvorcov. Uvažujme to na príklade nastavenia koeficientov v možnosti 4.3.

Podľa vzorca (8),

Je potrebné nájsť také hodnoty koeficientov, aby sa minimalizovala odchýlka vzorky pre implementácie na známej sérii pozorovaní, pole, za predpokladu, že matematické očakávanie hodnôt je určené vzorcom (9).

Tu a ďalej znamienko "" označuje realizáciu náhodnej premennej.

Minimum kvadratického tvaru (10) je dosiahnuté v jedinom bode, kde sú všetky parciálne derivácie rovné nule. Odtiaľ dostaneme systém troch algebraických lineárnych rovníc:

ktorého riešenie dáva požadované hodnoty koeficientov.

Po overení koeficientov sa výber kontrol vykoná rovnakým spôsobom ako v prípade 3.

Komentujte. Pre uľahčenie práce na programoch je akceptované napísať postup výberu kontroly popísaný pre hypotézu 3, pričom sa nezameriava na vzorec (5), ale na jeho upravenú verziu vo forme

V tomto prípade sú vo výpočtoch pre prípady 4.1.m a 4.2.m, m = 1, 2, dodatočné koeficienty nastavené na nulu.

Druhý spôsob nastavenia spočíva vo výbere hodnôt parametrov tak, aby sa maximalizoval odhad zo vzorca (4). Táto úloha je analyticky a výpočtovo beznádejne náročná. Preto tu môžeme hovoriť len o metódach určitého zlepšenia hodnoty kritéria vzhľadom na východiskový bod. Počiatočný bod je možné vziať z hodnôt najmenších štvorcov a potom vypočítať okolo týchto hodnôt na mriežke. V tomto prípade je postupnosť akcií nasledovná. Najprv sa mriežka vypočíta podľa parametrov (štvorec alebo kocka), pričom zostávajúce parametre sú pevné. Potom pre prípady 4.m. 1 je sieť vypočítaná na parametre a pre prípady 4.m. 2 na parametroch, pričom ostatné parametre sú pevné. V prípade 4.m. Optimalizované sú aj 2 ďalšie parametre. Keď sa týmto procesom vyčerpajú všetky parametre, proces sa opakuje. Opakovania sa vykonávajú, kým nový cyklus nezlepší hodnoty kritéria v porovnaní s predchádzajúcim. Aby počet iterácií nebol príliš veľký, použijeme nasledujúci trik. Vo vnútri každého bloku výpočtov v 2- alebo 3-rozmernom priestore parametrov sa najprv vyberie pomerne hrubá mriežka, potom, ak je najlepší bod na okraji mriežky, potom sa študovaný štvorec (kocka) posunie a výpočet sa opakuje, ale ak je najlepší bod interný, potom sa okolo tohto bodu vytvorí nová mriežka s menším krokom, ale s rovnakým celkovým počtom bodov, atď.

Vedenie pod nepozorovane a bez zohľadnenia závislosti medzi výnosmi rôznych cenných papierov.

To znamená, že výskumník operácie nevníma vzťah medzi rôznymi cennými papiermi, nevie nič o existencii a snaží sa predpovedať správanie každého cenného papiera zvlášť. Zvážte, ako obvykle, tri prípady, keď výskumník modeluje proces generovania výnosov ako Markovov proces s hĺbkami 1, 2 a 3:

Koeficienty na predpovedanie očakávaného výnosu nie sú dôležité a koeficienty sa upravujú dvoma spôsobmi, ktoré sú popísané v odseku 4. Ovládacie prvky sa vyberajú rovnakým spôsobom ako vyššie.

Poznámka: Rovnako ako pre výber kontroly, pre metódu najmenších štvorcov má zmysel napísať jednu procedúru s maximálnym počtom premenných - 3. Ak sú premenné nastaviteľné, povedzme, potom z riešenia lineárneho systému vzorec je vypísaný, ktorý obsahuje iba konštanty, je určený cez , a cez a. V prípadoch, keď sú menej ako tri premenné, hodnoty ďalších premenných sú nastavené na nulu.

Aj keď sa výpočty v rôznych variantoch vykonávajú podobným spôsobom, počet variantov je pomerne veľký. Keď sa príprava nástrojov na výpočty vo všetkých vyššie uvedených možnostiach ukáže ako zložitá, otázka zníženia ich počtu sa zvažuje na úrovni odborníkov.

Vedenie pod nepozorovane berúc do úvahy závislosť medzi výnosmi rôznych cenných papierov.

Táto séria experimentov napodobňuje manipulácie, ktoré boli vykonané v probléme GKO. Predpokladáme, že výskumník nevie prakticky nič o mechanizme tvorby výnosov. Má len sériu pozorovaní, matricu. Z vecných úvah vychádza z predpokladu o vzájomnej závislosti aktuálnych výnosov rôznych cenných papierov, zoskupených okolo určitého základného výnosu, určeného stavom trhu ako celku. Berúc do úvahy grafy výnosov cenných papierov medzi jednotlivými schôdzami, vychádza z predpokladu, že v každom časovom okamihu sú body, ktorých súradnicami sú čísla cenných papierov a výnosy (v skutočnosti išlo o splatnosti cenných papierov a ich ceny), zoskupené blízko určitej krivky (v prípade GKO - paraboly).

Tu - priesečník teoretickej čiary s osou y (návrat základne) a - jej sklon (ktorý by sa mal rovnať 0,05).

Konštrukciou teoretických línií týmto spôsobom môže výskumník operácie vypočítať hodnoty - odchýlky hodnôt od ich teoretických hodnôt.

(Všimnite si, že tu majú trochu iný význam ako vo vzorci (2). Neexistuje žiadny rozmerový koeficient a odchýlky sa neberú do úvahy od základnej hodnoty, ale od teoretickej priamky.)

Ďalšou úlohou je predpovedať hodnoty z aktuálne známych hodnôt, . Pretože

na predpovedanie hodnôt musí výskumník zaviesť hypotézu o formovaní hodnôt a. Pomocou matice môže výskumník stanoviť významnú koreláciu medzi hodnotami a. Môžete prijať hypotézu lineárneho vzťahu medzi veličinami z: . Zo zmysluplných úvah sa koeficient okamžite považuje za rovný nule a hľadá sa metóda najmenších štvorcov v tvare:

Ďalej, ako je uvedené vyššie, a sú modelované pomocou Markovovho procesu a sú opísané vzorcami podobnými (1) a (3) s rôznym počtom premenných v závislosti od hĺbky pamäte Markovovho procesu v uvažovanej verzii. (tu sa neurčuje podľa vzorca (2), ale podľa vzorca (16))

Nakoniec, ako je uvedené vyššie, sú implementované dva spôsoby ladenia parametrov metódou najmenších štvorcov a odhady sa robia priamou maximalizáciou kritéria.

Experimenty

Pre všetky opísané možnosti boli skóre kritérií vypočítané pre rôzne matice. (pre každú možnosť dimenzie boli implementované matice s počtom riadkov 1003, 503, 103 a asi sto matíc). Podľa výsledkov výpočtov pre každú dimenziu bolo pre každú z pripravených možností odhadnuté matematické očakávanie a rozptyl hodnôt a ich odchýlka od hodnôt.

Ako ukázala prvá séria výpočtových experimentov s malým počtom nastaviteľných parametrov (asi 4), výber spôsobu ladenia výrazne neovplyvňuje hodnotu kritéria v úlohe.

2. Klasifikácia modelovacích nástrojov

stochastický simulačný bankový algoritmus

Klasifikácia metód a modelov modelovania sa môže vykonávať podľa stupňa podrobnosti modelov, podľa charakteru vlastností, podľa rozsahu použitia atď.

Zoberme si jednu z najbežnejších klasifikácií modelov podľa modelovacích nástrojov, tento aspekt je najdôležitejší pri analýze rôznych javov a systémov.

materiál v prípade, že sa štúdia uskutočňuje na modeloch, ktorých spojenie so skúmaným objektom objektívne existuje, má materiálny charakter. Modely v tomto prípade stavia výskumník alebo ich vyberá z okolitého sveta.

Pomocou modelovania sa metódy modelovania delia do dvoch skupín: metódy materiálového modelovania a metódy ideálneho modelovania Modelovanie je tzv. materiál v prípade, že sa štúdia uskutočňuje na modeloch, ktorých spojenie so skúmaným objektom objektívne existuje, má materiálny charakter. Modely v tomto prípade stavia výskumník alebo ich vyberá z okolitého sveta. V materiálovom modelovaní je zase možné rozlíšiť: priestorové, fyzikálne a analógové modelovanie.

V priestorovom modelovaní používajú sa modely, ktoré sú určené na reprodukciu alebo zobrazenie priestorových vlastností skúmaného objektu. Modely sú v tomto prípade geometricky podobné predmetom štúdia (akékoľvek rozloženie).

Modely používané v fyzické modelovanie navrhnuté tak, aby reprodukovali dynamiku procesov prebiehajúcich v skúmanom objekte. Okrem toho, zhoda procesov v objekte štúdia a modeli je založená na podobnosti ich fyzikálnej povahy. Táto metóda modelovania je široko používaná v strojárstve pri navrhovaní technických systémov rôznych typov. Napríklad štúdium lietadiel na základe experimentov vo veternom tuneli.

analógový modelovanie je spojené s používaním materiálových modelov, ktoré majú odlišnú fyzikálnu povahu, ale sú opísané rovnakými matematickými vzťahmi ako skúmaný objekt. Je založená na analógii v matematickom popise modelu a objektu (štúdium mechanických vibrácií pomocou elektrického systému opísaného rovnakými diferenciálnymi rovnicami, ale vhodnejšieho na experimenty).

Vo všetkých prípadoch materiálového modelovania je model hmotným odrazom pôvodného objektu a štúdia spočíva v hmotnom dopade na model, teda v experimente s modelom. Materiálové modelovanie je svojou povahou experimentálna metóda a v ekonomickom výskume sa nepoužíva.

Zásadne sa líši od materiálového modelovania dokonalé modelovanie, založený na ideálnom, mysliteľnom spojení medzi objektom a modelom. Ideálne metódy modelovania sú široko používané v ekonomickom výskume. Možno ich podmienečne rozdeliť do dvoch skupín: formalizované a neformalizované.

AT formalizované Pri modelovaní slúžia ako model systémy znakov alebo obrazov, spolu s ktorými sa stanovujú pravidlá ich transformácie a interpretácie. Ak sa systémy znakov používajú ako modely, potom sa nazýva modelovanie ikonický(výkresy, grafy, schémy, vzorce).

Dôležitým typom modelovania znaku je matematické modelovanie, založený na skutočnosti, že rôzne študované objekty a javy môžu mať rovnaký matematický popis vo forme súboru vzorcov, rovníc, ktorých transformácia sa uskutočňuje na základe pravidiel logiky a matematiky.

Ďalšou formou formalizovaného modelovania je obrazný, v ktorej sú modely postavené na vizuálnych prvkoch (elastické guličky, prúdenie tekutín, trajektórie telies). Analýza figuratívnych modelov sa vykonáva mentálne, takže ich možno pripísať formalizovanému modelovaniu, keď sú pravidlá interakcie objektov použitých v modeli jasne stanovené (napríklad v ideálnom plyne sa uvažuje o zrážke dvoch molekúl ako zrážku loptičiek a výsledok zrážky si každý predstavuje rovnako). Modely tohto typu sú vo fyzike široko používané, nazývajú sa „myšlienkové experimenty“.

Neformalizované modelovanie. Môže zahŕňať takú analýzu problémov rôzneho typu, kedy sa model netvorí, ale namiesto neho sa používa nejaká presne nefixovaná mentálna reprezentácia reality, ktorá slúži ako základ pre uvažovanie a rozhodovanie. Za neformalizované modelovanie teda možno považovať každé uvažovanie, ktoré nepoužíva formálny model, kedy má mysliaci jedinec nejaký obraz o predmete skúmania, ktorý možno interpretovať ako neformalizovaný model reality.

Štúdium ekonomických objektov sa dlho uskutočňovalo iba na základe takýchto neistých predstáv. V súčasnosti zostáva analýza neformalizovaných modelov najbežnejším prostriedkom ekonomického modelovania, konkrétne každý človek, ktorý robí ekonomické rozhodnutie bez použitia matematických modelov, je nútený riadiť sa jedným alebo druhým popisom situácie na základe skúseností. a intuíciou.

Hlavnou nevýhodou tohto prístupu je, že riešenia sa môžu ukázať ako neúčinné alebo chybné. Tieto metódy zrejme ešte dlho zostanú hlavným prostriedkom rozhodovania nielen vo väčšine každodenných situácií, ale aj pri rozhodovaní v ekonomike.

Hostené na Allbest.ru

...

Podobné dokumenty

Princípy a fázy budovania autoregresného modelu, jeho hlavné výhody. Spektrum autoregresného procesu, vzorec na jeho nájdenie. Parametre charakterizujúce spektrálny odhad náhodného procesu. Charakteristická rovnica autoregresného modelu.

test, pridaný 10.11.2010


Koncept a typy modelov. Etapy tvorby matematického modelu. Základy matematického modelovania vzťahu ekonomických premenných. Stanovenie parametrov lineárnej jednofaktorovej regresnej rovnice. Optimalizačné metódy matematiky v ekonómii.

abstrakt, pridaný 2.11.2011


Štúdium znakov vývoja a konštrukcie modelu sociálno-ekonomického systému. Charakterizácia hlavných fáz simulačného procesu. Experimentovanie pomocou simulačného modelu. Organizačné aspekty simulačného modelovania.

abstrakt, pridaný 15.06.2015


Pojem simulačné modelovanie, jeho aplikácia v ekonomike. Etapy procesu konštrukcie matematického modelu komplexného systému, kritériá jeho primeranosti. Modelovanie diskrétnych udalostí. Metóda Monte Carlo je druh simulačného modelovania.

test, pridaný 23.12.2013


Metodologické základy ekonometrie. Problémy konštrukcie ekonometrických modelov. Ciele ekonometrického výskumu. Hlavné etapy ekonometrického modelovania. Ekonometrické modely párovej lineárnej regresie a metódy odhadu ich parametrov.

kontrolné práce, doplnené 17.10.2014


Etapy stavebného rozhodovania stromov: štiepacie pravidlo, zastavovanie a orezávanie. Vyjadrenie problému viackrokového stochastického výberu v predmetnej oblasti. Vyhodnotenie pravdepodobnosti realizácie úspešných a neúspešných činností v úlohe, jej optimálna cesta.

abstrakt, pridaný 23.05.2015


Definícia, ciele a zámery ekonometrie. Etapy zostavovania modelu. Dátové typy v modelovaní ekonomických procesov. Príklady, formy a vzory. Endogénne a exogénne premenné. Konštrukcia špecifikácie neoklasickej produkčnej funkcie.

prezentácia, pridané 18.03.2014


Hlavná téza formalizácie. Modelovanie dynamických procesov a simulácia zložitých biologických, technických, sociálnych systémov. Analýza objektového modelovania a extrakcia všetkých jeho známych vlastností. Voľba formy znázornenia modelu.

abstrakt, pridaný 09.09.2010


Hlavné fázy matematického modelovania, klasifikácia modelov. Modelovanie ekonomických procesov, hlavné etapy ich štúdia. Systémové predpoklady pre vytvorenie modelu systému riadenia marketingových aktivít podniku služieb.

abstrakt, pridaný 21.06.2010


Všeobecná schéma procesu navrhovania. Formalizácia konštrukcie matematického modelu pri optimalizácii. Príklady použitia metód jednorozmerného vyhľadávania. Viacrozmerné optimalizačné metódy nultého rádu. Genetické a prirodzené algoritmy.

Ako už názov napovedá, tento typ modelu je zameraný na popis systémov, ktoré vykazujú štatisticky pravidelné náhodné správanie a čas v nich možno považovať za diskrétnu hodnotu. Podstata časovej diskretizácie je rovnaká ako v diskrétno-deterministických modeloch. Modely systémov tohto druhu môžu byť zostavené na základe dvoch formalizovaných popisných schém. Po prvé, sú to rovnice konečných rozdielov, medzi ktorých premennými patria funkcie, ktoré definujú náhodné procesy. Po druhé, používajú pravdepodobnostné automaty.

Príklad konštrukcie diskrétneho stochastického systému. Nech existuje nejaký výrobný systém, ktorého štruktúra je znázornená na obr. 3.8. V rámci tohto systému sa pohybuje homogénny materiálový tok fázami skladovania a výroby.

Nech sa napríklad tok surovín skladá z kovových ingotov, ktoré sú uložené vo vstupnom sklade. Potom idú tieto kotúče do výroby, kde sa z nich vyrobí nejaký produkt. Hotové výrobky sa skladujú na výstupnom sklade, odkiaľ sa odoberajú na ďalšie úkony s nimi (presúvajú sa do ďalších fáz výroby alebo na predaj). Vo všeobecnosti takýto výrobný systém premieňa materiálové toky surovín, materiálov a polotovarov na tok hotových výrobkov.

Nech je časový krok v tomto produkčnom systéme rovný jednej (D? = 1). Zmenu fungovania tohto systému budeme brať ako jednotku. Predpokladáme, že výrobný proces produktu trvá jeden krok.

Ryža. 3.8, Schéma výrobného systému

Výrobný proces je kontrolovaný špeciálnym regulačným orgánom, ktorému je daný plán uvoľňovania výrobkov vo forme direktívnej intenzity výkonu (počet výrobkov, ktoré sa musia vyrobiť za jednotku času, v tomto prípade za zmenu ). Túto intenzitu označujeme d t. V skutočnosti ide o mieru produkcie. Nechaj d t \u003d a + bt, je lineárna funkcia. To znamená, že s každou ďalšou smenou sa plán zvyšuje o bt.

Keďže máme do činenia s homogénnym materiálovým tokom, domnievame sa, že v priemere objem surovín vstupujúcich do systému za jednotku času, objem výroby za jednotku času, objem hotových výrobkov opúšťajúcich systém za jednotku času čas by sa mal rovnať d t.

Vstupné a výstupné toky pre regulačný orgán sú nekontrolovateľné, ich intenzita (resp. rýchlosť – počet prírezov, resp. produktov za jednotku času, vstupujúcich do systému a výstupných zo systému) sa musí rovnať d t. Disky sa však môžu počas prepravy stratiť, niektoré z nich budú nekvalitné, alebo z nejakého dôvodu príde viac, ako je potrebné, atď. Preto predpokladáme, že vstupný tok má intenzitu:

x t v \u003d d t +ξ t in,

kde ξ 1 in je rovnomerne rozložená náhodná premenná od -15 do +15.

Pri výstupnom toku sa môžu vyskytnúť približne rovnaké procesy. Výstupný tok má teda nasledujúcu intenzitu:

x t v s x \u003d d t + t von,

kde ξ t out je normálne rozložená náhodná premenná s nulovým matematickým očakávaním a rozptylom rovným 15.

Budeme predpokladať, že vo výrobnom procese dochádza k úrazom spojeným s absenciou pracovníkov na prácu, poruchami strojov a pod. Tieto náhodnosti sú opísané normálne rozloženou náhodnou premennou s nulovým matematickým očakávaním a rozptylom rovným 15. Označme ju ξ t/ Výrobný proces trvá jednotku času, počas ktorej x t suroviny, potom sa tieto suroviny spracujú a presunú do výstupného skladu v rovnakej časovej jednotke. Dozorný orgán dostáva informácie o prevádzke systému tromi možnými spôsobmi (na obr. 3.8 sú označené číslami 1, 2, 3). Domnievame sa, že tieto spôsoby získavania informácií sa v systéme z nejakého dôvodu navzájom vylučujú.

Metóda 1. Regulačný orgán dostáva len informácie o stave vstupného skladu (napríklad o zmene stavu zásob na sklade alebo o odchýlke objemu zásob od ich štandardnej úrovne) a z toho posudzuje rýchlosť výrobného procesu ( o rýchlosti odberu surovín zo skladu):

1) ( u t v - u t-1 in )- zmena objemu zásob na sklade (u t in - objem surovín na vstupnom sklade v danom čase t);

2) (ù- u t in) - odchýlka objemu surovín na vstupnom sklade od kurzu zásob.

spôsob 2. Regulátor dostáva informácie priamo z výroby (x t - skutočná intenzita výroby) a porovnáva ju so smernou intenzitou (dt-xt).

Metóda 3. Regulačný orgán dostáva informácie ako v spôsobe 1, ale z výstupného skladu vo formulári ( u t von - u t-1 von )- alebo (u -u t von). Výrobný proces posudzuje aj na základe nepriamych údajov – nárast alebo pokles zásob hotových výrobkov.

Na udržanie danej výrobnej rýchlosti d t, rozhoduje regulačný orgán y t ,(alebo (r t - r t - 1)), zamerané na zmenu skutočnej výstupnej intenzity x t. Regulačný orgán ako rozhodnutie informuje výrobu o hodnotách intenzity, s ktorými sa má pracovať, t.j. xt = yt. Druhá verzia ovládacieho riešenia - (yt-yt-1), tie. regulátor hovorí výrobe, o koľko má zvýšiť alebo znížiť intenzitu výroby (xt-xt-1).

V závislosti od spôsobu získavania informácií a typu premennej, ktorá popisuje činnosť riadenia, môžu rozhodovanie ovplyvniť nasledujúce veličiny.

1. Rozhodovacia základňa (hodnota, ktorá by sa mala rovnať skutočnej intenzite výroby, ak by neboli odchýlky):

smernú výstupnú intenzitu v súčasnosti t(dt);

miera zmeny direktívnej intenzity výstupu v súčasnosti t(dt-dt-1).

2. Výška odchýlky:

odchýlka skutočného výkonu od smernice (dt-xt);

odchýlka skutočného objemu produkcie od plánovaného objemu

Σ d τ - Σ x τ

zmena úrovne zásob na vstupe ( ( u t v - u t-1 in) alebo výstup

(si mimo - u t-1 von) sklady;

odchýlka stavu zásob na vstupe (ù- u t vstup) alebo výstupe ( u -u t out) sklady zo štandardnej úrovne.

Vo všeobecnosti sa manažérske rozhodnutie prijaté regulačným orgánom skladá z týchto zložiek:

Príklady riešení:

yt = dt+y(dt-1-xt-1);

yt = dt -y(ú -u t von)

Rôznymi formálnymi rozhodnutiami sa regulačný orgán snaží dosiahnuť hlavný cieľ – priblížiť skutočnú výkonovú intenzitu k direktívnej. Nedá sa však vždy pri rozhodovaní priamo riadiť mierou dosiahnutia tohto cieľa. (dt - xt). Konečné výsledky možno vyjadriť dosiahnutím lokálnych cieľov - stabilizácia stavu zásob na vstupnom alebo výstupnom sklade ( a t dnu von) - a t-1 in (out)) alebo v približovaní úrovne zásob na sklade k štandardu (a-a dnu von)). V závislosti od cieľa, ktorý sa má dosiahnuť, rozhodnutie o kontrole určuje typ znamienka (+ alebo -) pred zlomkom nesúladu použitým na reguláciu.

Nech v našom prípade dostane regulačný orgán informáciu o stave vstupného skladu (zmena stavu zásob). Je známe, že v každom riadiacom systéme dochádza k oneskoreniam vo vývoji a implementácii riešenia. V tomto príklade sa informácie o stave vstupného skladu dostávajú do regulačného orgánu s oneskorením jedného časového kroku. Takéto oneskorenie sa nazýva oneskorenie rozhodnutia a znamená, že v čase, keď regulačný orgán dostane informáciu, skutočný stav zásob na vstupnom sklade už bude iný. Keď regulátor prijme rozhodnutie na t bude tiež trvať nejaký čas (v našom príklade to bude jednotka času), kým prinesie riešenie interpretovi. To znamená, že skutočná intenzita výroby nie je y t , ale k rozhodnutiu, ktoré riadiaci orgán urobil pred jednotkou času. Ide o oneskorenie implementácie riešenia.

Na opis nášho výrobného systému máme nasledujúce rovnice:

x tbx=dt+ξ t in

x t VÝCHOD =dt +ξ t out;

y t = dt + y(u -u t-2 palce)

x t = y t-1 + ξt

u t in - u t-1 v = x t v - x t

Tento systém rovníc umožňuje zostaviť model výrobného systému, v ktorom budú vstupné premenné d t,ξ t in, ξ t out, ξ t ,a

deň voľna - x t. Je to pravda, pretože externý pozorovateľ vníma našu produkciu ako systém, ktorý dostáva suroviny v určitej miere dt a intenzívne vyrábať produkty x t, podlieha náhodnosti ξ t in, ξ t out, ξ t . Po vykonaní všetkých substitúcií vo výslednom systéme rovníc sa dostaneme k jednej rovnici dynamiky, ktorá charakterizuje správanie x t záležiac ​​na d t,ξ t in, ξ t out, ξ t .

Vyššie uvažovaný model neobsahoval obmedzenia objemu skladov a výrobných kapacít. Ak predpokladáme, že kapacita vstupného skladu je Vx, kapacita výstupného skladu je V BX a výrobná kapacita je M, potom bude nový systém rovníc pre takýto nelineárny produkčný systém takýto:

x tBX=min((d t+ ξ t in), (V in - u t in)) - do vstupného skladu nie je možné vložiť viac, ako priestor dovolí;

X VÝCHOD =min((d t+ ξ t out),(V out - u t out)) - nemôžete odobrať viac produktov z výstupného skladu, ako je;

y t = d t + y (u t in -u t-1 in)

x tBX = min(( u t in, ( y t-1+ ξ t in), M,(V von - u t out)) - nie je možné vyrobiť viac produktov ako je objednané, limitujúcimi faktormi sú počet dostupných prírezov a dostupnosť voľného miesta vo výstupnom sklade;

u t in -u t-1 v = x tBX-x t

Konštrukcia stochastického modelu zahŕňa vývoj, hodnotenie kvality a štúdium správania systému pomocou rovníc, ktoré popisujú skúmaný proces.

Na tento účel sa získajú počiatočné informácie vykonaním špeciálneho experimentu so skutočným systémom. V tomto prípade sa využívajú metódy plánovania experimentov, spracovania výsledkov, ako aj kritérií hodnotenia získaných modelov, založené na takých úsekoch matematickej štatistiky, ako je disperzia, korelácia, regresná analýza atď.

Metódy konštrukcie štatistického modelu popisujúceho technologický proces (obr. 6.1) vychádzajú z konceptu „čiernej skrinky“. Je možné vykonať viacero meraní vstupných faktorov: x 1 , x 2 ,…, x k a výstupné parametre: y 1 ,y 2 ,…,y str, podľa výsledkov ktorých sa zisťujú závislosti:

Pri štatistickom modelovaní sa po formulácii problému (1) z veľkého množstva vstupných premenných, ktoré ovplyvňujú priebeh procesu, odkryjú najmenej dôležité faktory (2). Vstupné premenné vybrané pre ďalší výskum tvoria zoznam faktorov x 1 , x 2 ,…, x k v (6.1), pomocou ktorého je možné ovládať výstupné parametre y n. Počet výstupov modelu by sa mal tiež čo najviac znížiť, aby sa znížili náklady na experimentovanie a spracovanie údajov.

Pri vývoji štatistického modelu sa jeho štruktúra (3) zvyčajne nastavuje ľubovoľne vo forme ľahko použiteľných funkcií aproximujúcich experimentálne údaje a následne sa spresňuje na základe posúdenia primeranosti modelu.

Najčastejšie sa používa polynomická forma modelu. Takže pre kvadratickú funkciu:

(6.2)

kde b 0, b i, b ij, b ii sú regresné koeficienty.

Zvyčajne sa najprv obmedzíme na najjednoduchší lineárny model, pre ktorý v (6.2) bii=0, bij=0. V prípade jeho neadekvátnosti je model komplikovaný zavedením pojmov, ktoré zohľadňujú interakciu faktorov x i, x j a (alebo) kvadratické členy .

S cieľom maximalizovať extrakciu informácií z prebiehajúcich experimentov a znížiť ich počet sú plánované experimenty (4) t.j. výber počtu a podmienok na vykonávanie experimentov potrebných a postačujúcich na vyriešenie problému s danou presnosťou.

Na zostavenie štatistických modelov sa používajú dva typy experimentov: pasívne a aktívne. Pasívny experiment Uskutočňuje sa formou dlhodobého pozorovania priebehu nekontrolovaného procesu, čo umožňuje zhromaždiť širokú škálu údajov pre štatistickú analýzu. AT aktívny experiment je možné kontrolovať podmienky experimentov. Keď sa vykonáva, najefektívnejšia je súčasná zmena veľkosti všetkých faktorov podľa určitého plánu, čo umožňuje identifikovať interakciu faktorov a znížiť počet experimentov.

Na základe výsledkov experimentov (5) sa vypočítajú regresné koeficienty (6.2) a odhadne sa ich štatistická významnosť, čím sa dokončí konštrukcia modelu (6). Mierou primeranosti modelu (7) je rozptyl, t.j. smerodajná odchýlka vypočítaných hodnôt od experimentálnych. Získaný rozptyl sa porovnáva s prípustným rozptylom s dosiahnutou presnosťou experimentov.

4. Schéma konštrukcie stochastických modelov

Konštrukcia stochastického modelu zahŕňa vývoj, hodnotenie kvality a štúdium správania systému pomocou rovníc, ktoré popisujú skúmaný proces. Na tento účel sa získajú počiatočné informácie vykonaním špeciálneho experimentu so skutočným systémom. V tomto prípade sa využívajú metódy plánovania experimentov, spracovania výsledkov, ako aj kritérií hodnotenia získaných modelov, založené na takých úsekoch matematickej štatistiky, ako je disperzia, korelácia, regresná analýza atď.

Etapy vývoja stochastického modelu:

formulácia problému

výber faktorov a parametrov

výber typu modelu

plánovanie experimentu

realizácia experimentu podľa plánu

vytvorenie štatistického modelu

overenie modelu (týka sa 8, 9, 2, 3, 4)

úprava modelu

proces prieskumu s modelom (prepojené s 11)

definícia optimalizačných parametrov a obmedzení

optimalizácia procesov pomocou modelu (prepojené s 10 a 13)

experimentálne informácie o automatizačných zariadeniach

riadenie procesov pomocou modelu (prepojené s 12)

Spojenie krokov 1 až 9 nám poskytne informačný model, kroky 1 až 11 optimalizačný model a spojenie všetkých položiek nám poskytne model riadenia.

5. Nástroje na spracovanie modelov

Pomocou systémov CAE môžete vykonávať nasledujúce postupy spracovania modelov:

prekrytie siete konečných prvkov na 3D modeli,

problémy s tepelným stresom; problémy s dynamikou tekutín;

problémy s prenosom tepla a hmoty;

kontaktné úlohy;

kinematické a dynamické výpočty atď.

simulačné modelovanie zložitých výrobných systémov založených na modeloch radenia a Petriho sietí

Moduly CAE zvyčajne poskytujú možnosť vyfarbovať obrázky a obrázky v odtieňoch šedej, prekrývať pôvodné a deformované časti, vizualizovať toky kvapalín a plynov.

Príklady systémov na modelovanie polí fyzikálnych veličín v súlade s MKP: Nastran, Ansys, Cosmos, Nisa, Moldflow.

Príklady systémov na modelovanie dynamických procesov na makroúrovni: Adams a Dyna - v mechanických systémoch, Spice - v elektronických obvodoch, PA9 - pre viacrozmerné modelovanie, t.j. pre modelovanie systémov, ktorých princípy sú založené na vzájomnom ovplyvňovaní fyzikálnych procesov rôzneho charakteru.

6. Matematické modelovanie. Analytické a simulačné modely

Matematický model - množina matematických objektov (čísla, premenné, množiny a pod.) a vzťahy medzi nimi, ktorá adekvátne odráža niektoré (podstatné) vlastnosti navrhovaného technického objektu. Matematické modely môžu byť geometrické, topologické, dynamické, logické atď.

- primeranosť znázornenia simulovaných objektov;

Oblasť primeranosti je oblasť v priestore parametrov, v rámci ktorej zostávajú chyby modelu v prijateľných medziach.

- hospodárnosť (výpočtová efektívnosť)- určuje sa podľa nákladov na zdroje,
potrebné na implementáciu modelu (počítačový čas, použitá pamäť atď.);

- presnosť - určuje mieru zhody vypočítaných a pravdivých výsledkov (mieru zhody medzi odhadmi rovnomenných vlastností objektu a modelu).

Matematické modelovanie- proces vytvárania matematických modelov. Zahŕňa nasledujúce kroky: nastavenie úlohy; zostavenie modelu a jeho analýza; vývoj metód na získanie konštrukčných riešení na modeli; experimentálne overenie a korekcia modelu a metód.

Kvalita vytvorených matematických modelov do značnej miery závisí od správnej formulácie problému. Je potrebné určiť technické a ekonomické ciele riešeného problému, zhromaždiť a analyzovať všetky počiatočné informácie, určiť technické obmedzenia. V procese budovania modelov by sa mali používať metódy systémovej analýzy.

Proces modelovania má spravidla iteratívny charakter, čo umožňuje spresnenie predchádzajúcich rozhodnutí urobených v predchádzajúcich fázach vývoja modelu v každom kroku iterácie.

Analytické modely - numerické matematické modely, ktoré môžu byť reprezentované ako explicitné závislosti výstupných parametrov na interných a externých parametroch. Simulačné modely - numerické algoritmické modely, ktoré zobrazujú procesy v systéme za prítomnosti vonkajších vplyvov na systém. Algoritmické modely - modely, v ktorých je implicitne špecifikovaný vzťah výstupu, vnútorných a vonkajších parametrov vo forme modelovacieho algoritmu. Simulačné modely sa často používajú na úrovni návrhu systému. Simulačné modelovanie sa vykonáva reprodukovaním udalostí, ktoré sa vyskytujú súčasne alebo postupne v modelovom čase. Za príklad simulačného modelu možno považovať použitie Petriho siete na simuláciu systému radenia.

7. Základné princípy konštrukcie matematických modelov

Klasický (induktívny) prístup. Reálny objekt, ktorý sa má modelovať, je rozdelený na samostatné podsystémy, t.j. vyberú sa počiatočné údaje pre modelovanie a stanovia sa ciele, ktoré odrážajú určité aspekty procesu modelovania. Na základe samostatného súboru počiatočných údajov je cieľom modelovať samostatný aspekt fungovania systému, na základe tohto cieľa sa formuje určitá zložka budúceho modelu. Sada komponentov je spojená do modelu.

Takýmto klasickým prístupom možno vytvárať pomerne jednoduché modely, v ktorých je možné oddelenie a vzájomne nezávislé zvažovanie jednotlivých aspektov fungovania reálneho objektu. Realizuje pohyb od konkrétneho k všeobecnému.

Systémový prístup. Na základe prvotných údajov, ktoré sú známe z analýzy externého systému, tých obmedzení, ktoré sú na systém kladené zhora alebo na základe možností jeho implementácie, a na základe účelu fungovania, prvotných požiadaviek na sú formulované modely systému. Na základe týchto požiadaviek sa vytvorí približne niekoľko subsystémov a prvkov a uskutoční sa najťažšia fáza syntézy - výber komponentov systému, pre ktoré sa používajú špeciálne výberové kritériá. Zo systémového prístupu vyplýva aj určitá postupnosť vývoja modelu, ktorá spočíva v rozlíšení dvoch hlavných etáp návrhu: makro-dizajn a mikro-dizajn.

Etapa makro návrhu– na základe údajov o reálnom systéme a vonkajšom prostredí sa zostavuje model vonkajšieho prostredia, identifikujú sa zdroje a obmedzenia pre budovanie modelu systému, vyberá sa model systému a kritériá na posúdenie primeranosti reálneho systému Model. Po zostavení modelu systému a modelu vonkajšieho prostredia na základe kritéria efektívnosti fungovania systému sa v procese modelovania zvolí optimálna stratégia riadenia, ktorá umožňuje realizovať možnosť modelu reprodukovať určité aspekty fungovania reálneho systému.

Fáza mikrodizajnu do značnej miery závisí od konkrétneho typu zvoleného modelu. V prípade simulačného modelu je potrebné zabezpečiť tvorbu informačných, matematických, technických a softvérových modelovacích systémov. V tejto fáze je možné stanoviť hlavné charakteristiky vytvoreného modelu, vyhodnotiť čas práce s ním a náklady na zdroje na získanie danej kvality korešpondencie medzi modelom a procesom fungovania systému bez ohľadu na typ použitý model
pri jej budovaní je potrebné riadiť sa niekoľkými zásadami systematického prístupu:

proporcionálne po sebe idúci postup cez fázy a smery tvorby modelu;

koordinácia informácií, zdrojov, spoľahlivosti a iných charakteristík;

správny pomer jednotlivých úrovní hierarchie v systéme modelovania;

celistvosť jednotlivých izolovaných etáp budovania modelu.

Analýza metód používaných v matematickom modelovaní

V matematickom modelovaní sa riešenie diferenciálnych alebo integro-diferenciálnych rovníc s parciálnymi deriváciami vykonáva numerickými metódami. Tieto metódy sú založené na diskretizácii nezávislých premenných - ich reprezentácii konečnou množinou hodnôt vo vybraných uzlových bodoch skúmaného priestoru. Tieto body sa považujú za uzly nejakej siete.

Spomedzi mriežkových metód sa najviac používajú dve metódy: metóda konečných rozdielov (FDM) a metóda konečných prvkov (FEM). Zvyčajne sa vykonáva diskretizácia priestorovo nezávislých premenných, t.j. pomocou priestorovej siete. V tomto prípade diskretizácia vedie k systému obyčajných diferenciálnych rovníc, ktoré sa potom pomocou okrajových podmienok redukujú na systém algebraických rovníc.

Nech je potrebné vyriešiť rovnicu LV(z) = f(z)

s danými okrajovými podmienkami MV(z) = .(z),

kde L a M- diferenciálne operátory, V(z) - fázová premenná, z= (X 1, X 2, X 3, t) - vektor nezávislých premenných, f(z) a ψ.( z) sú dané funkcie nezávislých premenných.

AT MKR algebraizácia derivácií vzhľadom na priestorové súradnice je založená na aproximácii derivácií výrazmi konečných rozdielov. Pri použití metódy musíte vybrať kroky mriežky pre každú súradnicu a typ šablóny. Šablóna sa chápe ako množina uzlových bodov, ktorých hodnoty premenných sa používajú na aproximáciu derivácie v jednom konkrétnom bode.

FEM je založená na aproximácii nie derivátov, ale samotného riešenia V(z). Ale keďže to nie je známe, aproximácia sa vykonáva pomocou výrazov s nedefinovanými koeficientmi.

V tomto prípade hovoríme o aproximáciách riešenia v rámci konečných prvkov a pri zohľadnení ich malých rozmerov môžeme hovoriť o použití relatívne jednoduchých aproximačných výrazov (napríklad nízkostupňových polynómov). V dôsledku substitúcie takéto polynómy do pôvodnej diferenciálnej rovnice a vykonaním diferenciačných operácií sa v daných bodoch získajú hodnoty fázových premenných.

Polynomická aproximácia. Použitie metód je spojené s možnosťou aproximácie hladkej funkcie polynómom a následne pomocou aproximačného polynómu odhadnúť súradnicu optimálneho bodu. Nevyhnutné podmienky pre efektívnu implementáciu tohto prístupu sú unimodalita a kontinuita skúmaná funkcia. Podľa Weierstrassovej aproximačnej vety, ak je funkcia spojitá v určitom intervale, potom ju možno aproximovať s ľubovoľným stupňom presnosti polynómom dostatočne vysokého rádu. Podľa Weierstrassovej vety je možné kvalitu odhadov optimálnych bodových súradníc získaných pomocou aproximačného polynómu zlepšiť dvoma spôsobmi: použitím polynómu vyššieho rádu a znížením aproximačného intervalu. Najjednoduchšou verziou polynomiálnej interpolácie je kvadratická aproximácia, ktorá je založená na skutočnosti, že funkcia, ktorá má minimálnu hodnotu vo vnútornom bode intervalu, musí byť aspoň kvadratická.

Disciplína "Modely a metódy analýzy konštrukčných riešení" (Kazakov Yu.M.)

Klasifikácia matematických modelov.

Úrovne abstrakcie matematických modelov.

Požiadavky na matematické modely.

Schéma konštrukcie stochastických modelov.

Nástroje na spracovanie modelov.

Matematické modelovanie. Analytické a simulačné modely.

Základné princípy konštrukcie matematických modelov.

Analýza aplikovaných metód v matematickom modelovaní.

1. Klasifikácia matematických modelov

Matematický model (MM) technického objektu je súbor matematických objektov (čísla, premenné, matice, množiny atď.) a vzťahov medzi nimi, ktorý primerane odráža vlastnosti technického objektu, ktoré sú zaujímavé pre inžiniera vyvíjajúceho tento objekt.

Podľa povahy zobrazenia vlastností objektu:

Funkčné - určené na zobrazenie fyzických alebo informačných procesov vyskytujúcich sa v technických systémoch počas ich prevádzky. Typický funkčný model je systém rovníc popisujúcich buď elektrické, tepelné, mechanické procesy alebo procesy transformácie informácií.

Štrukturálne - zobrazenie konštrukčných vlastností objektu (topologické, geometrické). . Štrukturálne modely sú najčastejšie reprezentované ako grafy.

Tým, že patríte do hierarchickej úrovne:

Modely mikroúrovne - zobrazenie fyzikálnych procesov v spojitom priestore a čase. Na modelovanie sa používa aparát rovníc matematickej fyziky. Príkladmi takýchto rovníc sú parciálne diferenciálne rovnice.

modely na makroúrovni. Zásadne sa využíva zväčšenie, detailovanie priestoru. Funkčné modely na makroúrovni sú sústavy algebraických alebo obyčajných diferenciálnych rovníc, na ich odvodenie a riešenie sa používajú vhodné numerické metódy.

Metolevel modely. Zväčšený popis uvažovaných objektov. Matematické modely na metaúrovni - systémy obyčajných diferenciálnych rovníc, systémy logických rovníc, simulačné modely systémov radenia.

Ako získať model:

Teoretické – sú postavené na základe študovania vzorov. Na rozdiel od empirických modelov sú teoretické modely vo väčšine prípadov univerzálnejšie a použiteľné na širší okruh problémov. Teoretické modely sú lineárne a nelineárne, spojité a diskrétne, dynamické a štatistické.

empirický

Hlavné požiadavky na matematické modely v CAD:

primeranosť znázornenia simulovaných objektov;

Primeranosť nastáva, ak model odráža dané vlastnosti objektu s prijateľnou presnosťou a je hodnotený zoznamom odrazených vlastností a oblastí primeranosti. Oblasť primeranosti je oblasť v priestore parametrov, v rámci ktorej zostávajú chyby modelu v prijateľných medziach.

hospodárnosť (výpočtová efektívnosť)– je určená nákladmi na zdroje potrebné na implementáciu modelu (počítačový čas, použitá pamäť atď.);

presnosť- určuje mieru zhody vypočítaných a pravdivých výsledkov (mieru zhody medzi odhadmi rovnomenných vlastností objektu a modelu).

Na matematické modely sa kladie aj množstvo ďalších požiadaviek:

Vypočítateľnosť, t.j. možnosť manuálneho alebo pomocou počítača študovať kvalitatívne a kvantitatívne zákonitosti fungovania objektu (systému).

Modularita, t.j. korešpondencia modelových konštrukcií s konštrukčnými zložkami objektu (systému).

Algoritmizovateľnosť, t.j. možnosť vývoja vhodného algoritmu a programu, ktorý implementuje matematický model na počítači.

viditeľnosť, t.j. pohodlné vizuálne vnímanie modelu.

Tabuľka. Klasifikácia matematických modelov

Klasifikačné vlastnosti	Typy matematických modelov
1. Príslušnosť k hierarchickej úrovni	Modely na mikroúrovni Modely na makro úrovni Modely na úrovni meta
2. Charakter zobrazovaných vlastností objektu	Štrukturálne Funkčné
3. Spôsob reprezentácie vlastností objektu	Analytický Algoritmické simulácia
4. Ako získať model	Teoretické empirický
5. Vlastnosti správania objektu	deterministický Pravdepodobný

Matematické modely na mikroúrovni výrobného procesu odrážajú fyzikálne procesy, ktoré sa vyskytujú napríklad pri rezaní kovov. Opisujú procesy na úrovni prechodu.

Matematické modely na makroúrovni výrobný proces popisujú technologické procesy.

Matematické modely na metaúrovni výrobného procesu popisujú technologické systémy (sekcie, dielne, podnik ako celok).

Štrukturálne matematické modely určené na zobrazenie štrukturálnych vlastností objektov. Napríklad v CAD TP sa používajú štruktúrno-logické modely na znázornenie štruktúry technologického procesu, balenia produktu.

Funkčné matematické modely určené na zobrazovanie informácií, fyzikálnych, časových procesov prebiehajúcich v prevádzkových zariadeniach, v priebehu technologických procesov a pod.

Teoretické matematické modely vznikajú ako výsledok štúdia objektov (procesov) na teoretickej úrovni.

Empirické matematické modely vznikajú ako výsledok experimentov (štúdium vonkajších prejavov vlastností objektu meraním jeho parametrov na vstupe a výstupe) a spracovanie ich výsledkov pomocou metód matematickej štatistiky.

Deterministické matematické modely opísať správanie objektu z hľadiska úplnej istoty v prítomnosti a budúcnosti. Príklady takýchto modelov: vzorce fyzikálnych zákonov, technologické procesy spracovania dielov atď.

Pravdepodobnostné matematické modely brať do úvahy vplyv náhodných faktorov na správanie objektu, t.j. posúdiť jeho budúcnosť z hľadiska pravdepodobnosti určitých udalostí.

Analytické modely - numerické matematické modely, ktoré môžu byť reprezentované ako explicitné závislosti výstupných parametrov na interných a externých parametroch.

Algoritmické matematické modely vyjadriť vzťah medzi výstupnými parametrami a vstupnými a vnútornými parametrami vo forme algoritmu.

Simulačné matematické modely- ide o algoritmické modely, ktoré odrážajú vývoj procesu (správanie sa skúmaného objektu) v čase, keď sú špecifikované vonkajšie vplyvy na proces (objekt). Ide napríklad o modely čakacích systémov v algoritmickej forme.