Карта карно для 2 переменных. Схемотехника

Другой способ получения простых импликант формул с малым числом переменных (и, значит, нахождения минимальной ДНФ) основан на использовании так называемых карт Карно.

Карта Карно - это специального вида таблица, которая позволяет упростить процесс поиска минимальных форм и успешно применяется, когда число переменных не превосходит шести. Карты Карно для функций, зависящих от n переменных, представляет собой прямоугольник, разделенный на 2 n клеток. Каждой клетке диаграммы ставится в соответствие двоичный n-мерный набор. Значения заданной функции f из вносятся в нужные квадраты, однако если клетке соответствует 0, то обычно она остается пустой.

В первой таблице показан пример разметки карты Карно для функции, зависящей от трех переменных. Нижние четыре клетки карты соответствуют двоичным наборам, в которых переменная x принимает значение 1, четыре верхние клетки соответствуют наборам, в которых переменная x принимает значение 0. Четырем клеткам составляющим правую половину карты, соответствуют наборы, в которых переменная y; принимает значение 1 и т.д. Во второй таблице приведена разметка карты Карно для n=4 переменных.

y z - x	0 0	0 1	1 1	1 0
0	000	001	011	010
1	100	101	111	110

z w -- xy	0 0	0 1	1 1	1 0
00	0000	0001	0011	0010
01	0100	0101	0011	0010
11	1100	1101	1111	1110
10	1000	1001	1011	1010

Для построения минимальной ДНФ производится процедура склеивания "1". Склеивающимся значениям "1" соответствуют соседние клетки, т.е. клетки отличающиеся лишь значением одной переменной (на графическом изображении разделенных вертикальной или горизонтальной линией с учетом соседства противоположных крайних клеток).

Процесс склеивания "1" сводится к объединению в группы единичных клеток карты Карно, при этом необходимо выполнять следующие правила:

1. Количество клеток, входящих в одну группу, должно выражаться числом кратным 2, т.е. 2 m где m=0,1,2,...

2. Каждая клетка, входящая в группу из 2 m клеток, должна иметь m соседних в группе.

3. Каждая клетка должна входить хотя бы в одну группу.

4. В каждую группу должно входить максимальное число клеток, т.е. ни одна группа не должна содержаться в другой группе.

5. Число групп должно быть минимальным.

Считывание функции f по группе склеивания производится следующим образом: переменные, которые сохраняют одинаковые значения в клетках группы склеивания, входят в конъюнкцию, причем значениям 1 соответствуют сами переменные, а значениям 0 их отрицания.

Приведем шаблоны, которые помогают строить покрытия 1 (переменные считаем теми же, но их писать не будем). Для упрощения записи мы не будем отмечать переменные, хотя сохраним их обозначения как и в вышеприведенных таблицах.

F=y&z&w
		1
		1

1

Сначала смотрим, есть ли покрытия_1 из 16 клеток покрывающих хотя бы одну непокрытую 1. Таких покрытий нет. Переходим к покрытиям из 8 клеток. Смотрим, есть ли покрытия 1 из 8 клеток покрывающих хотя бы одну непокрытую 1. Таких покрытий нет. Переходим к покрытиям из 4 клеток. Смотрим, есть ли покрытия 1 из 4 клеток покрывающих хотя бы одну непокрытую 1. Таких покрытий два. Переходим к покрытиям из 2 клеток. Такое покрытие одно. Таким образом, все 1 стали покрытыми. Далее, смотрим можно ли убрать некоторые покрытия, так чтобы все единицы остались покрытыми. В конце выписываем МДНФ: f=¬X¬ZvYWv¬YZ¬W.

Замечание. Для построения минимальной КНФ функции f, достаточно построить минимальную ДНФ для функции ¬f , а затем использовать f=¬¬f и законы де Моргана.

Логика работы цифрового устройства описывается таблицей истинности, в которой показывается, какие логические уровни будут присутствовать на выходе цифровой схемы при заданных логических уровнях на входе этой схемы. Для того чтобы синтезировать схему с заданной логикой работы необходимо составить булево уравнение (в случаи если у схемы предполагается один выход) или систему уравнений (в случаи если выходов у схемы больше одного). Рассмотрим два способа составления уравнений из таблицы истинности: прямым и методом карт Карно.

Способ первый: составление уравнений из таблицы истинности прямым способом.

При составлении булевых уравнений прямым способом нужно учитывать, что получившиеся уравнения могут быть не минимально возможными.

Выделим алгоритм составления уравнения по таблице истинности:

• 1. Выделим те строки, в которых функция принимает истинное значение;
• 2. Составим для этих строк минтермы операндов;
• 3. Соединим минтермы при помощи операции дизъюнкции.

Рассмотрим пример.

Составим уравнение для устройства, имеющего один выход y, три входа x 0 , x 1 , x 2 . Логика работы устройства описана в таблицы 8.

Таблица 8 - Описание работы устройства

Составим функцию для строки три. В этой строке x 0 и x 2 принимают ложные значения, x 1 принимает истинное значение. Соединим эти операнды при помощи конъюнкции (элемент И):

Такая функции (принимающая истинное значения), в которую входит конъюнкция переменных или их отрицания называется минтермом.

Составим минтерм для строки пять:

Так как имеется два минтерма, соединим их при помощи дизъюнкции (элемент ИЛИ):

Что и будет уравнением устройства описанной таблицей истинности 8.

Выделим алгоритм составления системы уравнений по таблице истинности:

• 1. Определим количество выходов, следовательно, и количество уравнений в системе;
• 2. Для каждого из выходов составим уравнение:
• 2.1 Выделяем те строки, в которых функция принимает истинное значение;
• 2.2 Составлим для этих строк минтермы операндов;
• 2.3 Если минтермов больше одного, то соединим минтермы при помощи операции дизъюнкции.
• 3. Объединим полученные уравнения в систему.

Рассмотрим пример.

Пусть заданно устройство, логика работы которого описана в таблице 10. У устройства имеется два входа x 0 и x 1 , и два выхода y 1 , y 0 . Так как задано два выхода уравнения для каждого из выходов будут составляться отдельно. Составим систему уравнений, состоящую из двух уравнений.

Таблица 10 - Описание работы устройства

Выделим строки, в которых y 0 принимает истинные значения. y 0 принимает истинное значение только в одной строке, а именно в четвертой строке. Составим уравнение для y 0:

Выделим строки, в которых y 1 принимает истинные значения. Здесь имеется две строки: вторая и пятая. Для второй строки минтерм будет иметь вид. Для пятой. Объединим их с помощью операции ИЛИ, тем самым составив уравнение для y 1:

Остается составить систему уравнений, описывающую заданное устройство:

Способ второй: составление уравнений из таблицы истинности методом карт Карно.

Карты Карно представляет собой видоизмененную таблицу истинности, который позволяет минимизировать булевы функции. Это значит, что по сравнению с составлением булевых уравнений из не видоизмененной таблицы истинности, уравнения, полученные методом минимизации карт Карно, будут содержать меньше операций над операндами. Отметим, что последние утверждение не всегда верно, так как булева функция, полученная напрямую из таблицы истинности, может иметь минимально возможную форму.

Здесь не будет приводиться подробный алгоритм составления карт Карно для разного числа операндов, ограничимся рассмотрением примеров составления уравнений посредствам карт Карно для таблиц истинности, содержащих два, три, четыре операнда.

Перед тем как привести примеры, отметим основные положения, которыми будем руководствоваться при объединении областей (групп):

• 1. Область, которая подвергается объединению, должна состоять из логических единиц, при этом объединению подлежат только прямоугольные области, содержащие число логических единиц 2 n (т.е. 2 клетки, 4 клетки и т.д.).
• 2. Клетки, находящиеся на границе карты, граничат между собой, и могут быть объединены.
• 3. Все единицы должны быть объединены в какую-либо область, причем количество областей должно быть минимальным.
• 4. Одна ячейка может быть включена в разные области.

Названные положения касаются только случая объединения областей, состоящих из логических единиц.

Уравнение составляется следующим образом: в конъюнкцию области входит только те операнды, которые не меняют свои состояния на противоположные в пределах области. В случае если областей больше одного, между конъюнкциями областей ставятся дизъюнкции.

Система уравнений строится по тем же принципам, но карты Карно должны быть построены для каждого из выходов по отдельности.

Пример 1. Составим уравнение содержащих два операнда (или их инверсию) по таблице истинности 11 посредствам карт Карно.

Таблица 11 - Карта Карно для двух операндов

Составим карту Карно, для этого преобразуем таблицу истинности к виду, показанному на рисунке 18.

Рис. 18.

Здесь, горизонтальная часть отводится операнду x 1 , которое принимает значение 0 и 1 (). Вертикальной части таблицы аналогично соответствует x 0 .

Выделим те строки таблицы истинности 11, где y принимает значение логической единицы: строки два и три. Заметим, что во второй строке x 0 и x 1 принимает значение 00 (), в третьей строке x 0 и x 1 принимает значение 10 ().

Проставим в карте Карно 18 на пересечениях x 0 x 1 единицы в тех местах, где и (рис. 19).

Рис. 19.

Выделим область согласно положениям объединения областей (Рис. 20).

Рис. 20.

Получена одна область, составим уравнение. Операнд меняет в области свое значение на инверсию. Неинвертированный операнд x 1 не входит в область. Единственный операнд, который не меняет своего значения в полученной области - . Тогда уравнение примет вид:

Заметим, что если составлять уравнение из таблицы 10 прямым способом, то получилось бы не минимизированное уравнение:

которое можно преобразовать к минимально возможной форме путем применения аксиом и свойств алгебры логики.

Пример 2. Составим уравнение содержащих три операнда (или их инверсию) по таблице истинности 12 посредствам карт Карно.

Таблица 12 - Карта Карно для трёх операндов

Составим карту Карно дл трех операндов (рис. 21).

Рис. 21.

Для трех операндов горизонтальная часть соответствует операндам x 1 x 2 , которые принимают значение 00, 01, 11, 10. Важно отметить, что порядок 00, 01, 11, 10 должен соблюдаться в точности, изменения его на другой порядок не допускается. Вертикальной части таблицы соответствует операнд x 0 , принимающей значение 1 и 0).

Заполним карту Карно. Аналогично предыдущему примеру: выделим строки в таблице истинности 12, где y принимает истинное значение (вторая, третья, четвертая, седьмая строки). Проставим единицы в те ячейки карты Карно, которые соответствуют значениям операндов в этих строках (рис. 22).

Рис. 22.

Выделим области согласно положениям объединения областей (Рис. 23).

Рис. 23.

Выделено две области. В первой области полностью находится операнды и, объединим их конъюнкцией. Во второй области не меняют своего значения операнды, объединим их в конъюнкцию. Так как есть две области, объединим конъюнкции областей операцией дизъюнкции, тем самым составив конечное уравнение:

Пример 4. Составим уравнение содержащих четыре операнда (или их инверсию) по таблице истинности 13 посредствам карт Карно.

Таблица 13 - Карта Карно для четырех операндов

) по так называемым картам Карно.

Карты Карно — это другое графическое представление таблиц истинности. Структура таких карт для функции двух, трех и четырех переменных имеет вид:

Каждая клетка такой таблицы содержит значение логической функции x при фиксированном значении всех ее аргументов a 3 , a 2 , a 1 , a 0 т.е. Изображает одну из строчек таблицы истинности. Соответствующий аргумент считается истинным для данной клетки, если эта клетка входит в строки или столбцы, помеченные сбоку или снизу символом этого аргумента, в противном случае аргумент для данной клетки считается ложным. Сокращенную ДНФ записывают по прямоугольным группам смежных клеток карты содержащих единицу. Допустимое число клеток в группе равно 2 n , n=1,2,3,…

Правило записи сокращенной ДНФ аналогичны правилам записи ДСНФ и отличаются только тем, что в элементарных произведениях не указываются те аргументы, которые истинны лишь для половины клеток соответствующей группы.

Запишем, для примера, ДНФ в последующей карте Карно:

Сокращенная ДНФ для данного случая имеет вид:

При выделении прямоугольных групп клеток следует иметь в виду, что:

1. выделение групп часто неоднозначно, а, следовательно, неоднозначно и решение задачи синтеза;

2. группы должны быть как можно больше, а число групп как можно меньше;

3. группы могут пересекаться, т.е. иметь общие клетки

4. с точки зрения формирования прямоугольных групп, карты трех и четырех переменных следует считать трехмерными. Карму функции с тремя переменными следует рассматривать как цилиндр со склеенными правым и левым краями. Поэтому на плоском рисунке карты прямоугольные группы смежных клеток могут оказаться разорванными. Например:

В прямоугольной группе смежных клеток на нашем рисунке сокращенной ДНФ соответствует слагаемое.

Карту функций с четырьмя аргументами следует рассматривать как поверхность тора. Поэтому здесь следует считать склеенными не только правый и левый, но и верхний и нижний края карты. В этих условиях на карте функции четырех переменных тоже могут оказаться разорванные группы смежных клеток. Примеры таких разрывов иллюстрируют рисунки:

По карте Карно можно записать также и сокращенную КНФ . Она записывается по прямоугольным группам смежных клеток содержащих нули. Прямоугольные группы выделяются также как и при записи ДНФ . Правило записи сокращенной КНФ аналогичны правилам записи КСНФ и отличаются только тем, что в элементарных суммах не учитываются те аргументы, которые истинны лишь для половины клеток соответствующей группы.

Метод карт Карно широко используется в инженерной практике при решении задач с числом аргументов не более четырех.

Минтерм - это полное произведение всех входных переменных, соответствующее одной строке таблицы истинности, в которой значение выходной переменной (значение функции) равно логической 1 . Переменная входит в минтерм с инверсией, если ее значение в данной строке таблицы равно 0, и без инверсии, если ее значение в данной строке таблицы равно 1.

Каноническая сумма минтермов - это логическая сумма всех минтермов, которая представляет собой максимальное логическое выражение, соответствующее таблице истинности .Она составляется в следующей последовательности:

Для примера, представленного на рис. 1.6 , каноническая сумма минтермов будет выглядеть так:

(2.1)

Из сравнения (1.1) и (2.1) видно, что одной и той же таблице истинности (рис. 1.6 ,б) соответствуют два разных логических выражения, причем (1.1) записывается более компактно, но возможности минимизации для него еще есть. Следовательно, есть возможность минимизировать и логическую схему, представленную на рис. 1.6, a .

Минимизация логических выражений может осуществляться с помощью различных методов на основе правил булевой алгебры, в частности, диаграммы Вейча , диаграммы Венна и табличным методом, но наиболее простым и наглядным является графический способ минимизации с помощью карт Карно , опубликованный в 1953 г. Морисом Карно.

Минимизация с помощью карт Карно

Карта Карно - графическое представление таблицы истинности. Каждой клетке карты Карно соответствует строка таблицы истинности . По осям карты расставляются сочетания переменных, а внутри карты - значения функции.

Назначение карты Карно - найти логические суммы прямого и инверсного значения переменных. Для любой переменной, например, , такая сумма равна при любом значении : при это будет , при это . Поэтому при вынесении за скобки в выражении:

Сумму можно отбросить, при этом результат выражения не изменится. В этом и заключается минимизация логических выражений с помощью карт Карно . Для достижения поставленной цели минимизации нужно соблюдать правила разметки осей карты :

1. Вертикальная ось размечается независимо от горизонтальной.
2. Начинать разметку можно с любого сочетания переменных.
3. Все сочетания переменных должны быть перечислены.
4. Для соседних клеток карты сочетание переменных должно отличаться не более чем одним знаком, причем соседними являются крайние клетки строки (столбца).

Для функции двух переменных карта Карно - это квадрат 2x2 клетки. В этих клетках размещаются 4 значения функции из последнего столбца таблицы истинности (рис. 2.2).

Рис. 2.2.

Для функции трех переменных карта Карно - это прямоугольник 2x4 или 4x2 клетки. В этих клетках размещаются 8 значений функции из последнего столбца таблицы истинности (рис. 2.3). При разметке большей из осей нужно четко придерживаться последнего, четвертого правила разметки и следить за тем, чтобы соседними не оказались сочетания и , либо и , в которых одновременно меняются обе переменные.

Для функции четырех переменных карта Карно - это квадрат 4x4 клетки. В этих клетках размещаются 16 значений функции из последнего столбца таблицы истинности (рис. 2.4). При разметке обеих осей нужно также четко придерживаться последнего, четвертого правила разметки и следить за тем, чтобы по одной оси соседними не оказались сочетания и , либо и , в которых одновременно меняются обе переменные.

Для функции пяти переменных карта Карно представляет собой уже объемную фигуру - куб 4x4x4 клетки, поэтому для минимизации логических выражений она не применяется.

В конкретных случаях вместо значений функций в общем виде в клетки карты проставляются конкретные значения (логические 0 и 1) из соответствующих строк таблицы истинности. Затем рассматриваются только те клетки, которые заполнены единицами . Все эти единицы должны быть обведены контурами по следующим правилам составления контуров :

После обведения контуров нужно записать минимальное выражение как логическую сумму логических произведений . Каждому произведению соответствует один контур карты Карно. В произведение входят только те переменные, которые остаются в данном контуре неизменными .При этом переменная входит в произведение с инверсией, если ее значение в данном контуре равно 0, и без инверсии, если ее значение равно 1.

Пример 1 рис. 2.5 ,а и нарисовать по нему логическую схему.

При одном варианте разметки осей (рис. 2.5 ,б) первый контур, состоящий из четырех единиц, получается разорванным. Если же принять разметку, показанную на рис. 2.5 ,в, то контур будет иметь нормальные очертания, а выражение, ему соответствующее, останется без изменений. Учитывая, что при данном горизонтальном начертании карты Карно крайние столбцы являются соседними, ее можно представить себе как цилиндр, развернутый на плоскости. На рис. 2.5 ,б представлена развертка такого цилиндра, "разрезанная" между комбинациями , равными и . А на рис. 2.5 ,в представлена развертка этого же цилиндра, "разрезанная" между произведениями , равными и .

Первый контур охватывает четыре единицы, ему соответствует сумма минтермов : , в которой не изменяется только переменная . Второй контур охватывает две единицы. Ему соответствует сумма минтермов , в которой переменная принимает оба возможных значения, а произведение остается неизменным. Таким образом, получаем минимальное выражение:

(2.2)

Ему соответствует логическая схема на рис. 2.5 ,г.

Рис. 2.5.

Для сравнения запишем максимальное выражение:

(2.3)

Разница между (2.2) и (2.3) очевидна и в комментариях не нуждается, за исключением того, что схема, реализованная по (2.3), будет на порядок сложнее и, соответственно, менее надежна, чем схема, показанная на рис. 2.5 ,г.

Пример 2 . Написать минимальное выражение для таблицы истинности, представленной на рис. 2.6 ,а, и нарисовать по нему логическую схему.

Минимизация логических функций является одной из типовых задач в процессе обучения схемотехнике. Посему считаю, что такая статья имеет место быть, надеюсь Вам понравится.

Зачем это нужно?

Сложность логической функции, а отсюда сложность и стоимость реализующей ее схемы (цепи), пропорциональны числу логических операций и числу вхождений переменных или их отрицаний. В принципе любая логическая функция может быть упрощена непосредственно с помощью аксиом и теорем логики, но, как правило, такие преобразования требуют громоздких выкладок.

К тому же процесс упрощения булевых выражений не является алгоритмическим. Поэтому более целесообразно использовать специальные алгоритмические методы минимизации, позволяющие проводить упрощение функции более просто, быстро и безошибочно. К таким методам относятся, например, метод Квайна, метод карт Карно, метод испытания импликант, метод импликантных матриц, метод Квайна-Мак-Класки и др. Эти методы наиболее пригодны для обычной практики, особенно минимизация логической функции с использованием карт Карно. Метод карт Карно сохраняет наглядность при числе переменных не более шести. В тех случаях, когда число аргументов больше шести, обычно используют метод Квайна-Мак-Класки.

В процессе минимизации той или иной логической функции, обычно учитывается, в каком базисе эффективнее будет реализовать ее минимальную форму при помощи электронных схем.

Минимизация логических функций при помощи карт Карно

Карта Карно - графический способ минимизации переключательных (булевых) функций, обеспечивающий относительную простоту работы с большими выражениями и устранение потенциальных гонок. Представляет собой операции попарного неполного склеивания и элементарного поглощения. Карты Карно рассматриваются как перестроенная соответствующим образом таблица истинности функции. Карты Карно можно рассматривать как определенную плоскую развертку n-мерного булева куба.

Карты Карно были изобретены в 1952 Эдвардом В. Вейчем и усовершенствованы в 1953 Морисом Карно, физиком из «Bell Labs», и были призваны помочь упростить цифровые электронные схемы.

В карту Карно булевы переменные передаются из таблицы истинности и упорядочиваются с помощью кода Грея, в котором каждое следующее число отличается от предыдущего только одним разрядом.

Основным методом минимизации логических функций, представленных в виде СДНФ или СКНФ является операция попарного неполного склеивания и элементарного поглощения. Операция попарного склеивания осуществляется между двумя термами (членами), содержащими одинаковые переменные, вхождения которых (прямые и инверсные) совпадают для всех переменных, кроме одной. В этом случае все переменные, кроме одной, можно вынести за скобки, а оставшиеся в скобках прямое и инверсное вхождение одной переменной подвергнуть склейке. Например:

Возможность поглощения следует из очевидных равенств

Таким образом, главной задачей при минимизации СДНФ и СКНФ является поиск термов, пригодных к склейке с последующим поглощением, что для больших форм может оказаться достаточно сложной задачей. Карты Карно предоставляют наглядный способ отыскания таких термов.

Как известно, булевы функции N переменных, представленные в виде СДНФ или СКНФ могут иметь в своём составе 2N различных термов. Все эти члены составляют некоторую структуру, топологически эквивалентную N–мерному кубу, причём любые два терма, соединённые ребром, пригодны для склейки и поглощения.

На рисунке изображена простая таблица истинности для функции из двух переменных, соответствующий этой таблице 2-мерный куб (квадрат), а также 2-мерный куб с обозначением членов СДНФ и эквивалентная таблица для группировки термов:

В случае функции трёх переменных приходится иметь дело с трёхмерным кубом. Это сложнее и менее наглядно, но технически возможно. На рисунке в качестве примера показана таблица истинности для булевой функции трёх переменных и соответствующий ей куб.

Как видно из рисунка, для трёхмерного случая возможны более сложные конфигурации термов. Например, четыре терма, принадлежащие одной грани куба, объединяются в один терм с поглощением двух переменных:

В общем случае можно сказать, что 2K термов, принадлежащие одной K–мерной грани гиперкуба, склеиваются в один терм, при этом поглощаются K переменных.

Для упрощения работы с булевыми функциями большого числа переменных был предложен следующий удобный приём. Куб, представляющий собой структуру термов, разворачивается на плоскость как показано на рисунке. Таким образом появляется возможность представлять булевы функции с числом переменных больше двух в виде плоской таблицы. При этом следует помнить, что порядок кодов термов в таблице (00 01 11 10) не соответствует порядку следования двоичных чисел, а клетки, находящиеся в крайних столбцах таблицы, соседствуют между собой.

Аналогичным образом можно работать с функциями четырёх, пяти и более переменных. Примеры таблиц для N=4 и N=5 приведены на рисунке. Для этих таблиц следует помнить, что соседними являются клетки, находящиеся в соответственных клетках крайних столбцов и соответственных клетках верхней и нижней строки. Для таблиц 5 и более переменных нужно учитывать также, что квадраты 4х4 виртуально находятся друг над другом в третьем измерении, поэтому соответственные клетки двух соседних квадратов 4х4 являются сосоедними, и соответствующие им термы можно склеивать.

Карта Карно может быть составлена для любого количества переменных, однако удобно работать при количестве переменных не более пяти. По сути Карта Карно - это таблица истинности составленная в 2-х мерном виде. Благодаря использованию кода Грея в ней верхняя строка является соседней с нижней, а правый столбец соседний с левым, т.о. вся Карта Карно сворачивается в фигуру тор (бублик). На пересечении строки и столбца проставляется соответствующее значение из таблицы истинности. После того как Карта заполнена, можно приступать к минимизации.

Если необходимо получить минимальную ДНФ, то в Карте рассматриваем только те клетки которые содержат единицы, если нужна КНФ, то рассматриваем те клетки которые содержат нули. Сама минимизация производится по следующим правилам (на примере ДНФ):

Далее берём первую область и смотрим какие переменные не меняются в пределах этой области, выписываем конъюнкцию этих переменных, если неменяющаяся переменная нулевая, проставляем над ней инверсию. Берём следующую область, выполняем то же самое что и для первой, и т. д. для всех областей. Конъюнкции областей объединяем дизъюнкцией.
Например(для Карт на 2-ве переменные):

Для КНФ всё то же самое, только рассматриваем клетки с нулями, не меняющиеся переменные в пределах одной области объединяем в дизъюнкции (инверсии проставляем над единичными переменными), а дизъюнкции областей объединяем в конъюнкцию. На этом минимизация считается законченной. Так для Карты Карно на рис.1 выражение в формате ДНФ будет иметь вид:

В формате КНФ: