Uhol medzi pretínajúcimi sa čiarami: definícia, príklady nájdenia. Najjednoduchšie problémy s priamkou v rovine

Ach-och-och-och-och ... no je to plechové, ako keby ste si tú vetu prečítali sami =) Vtedy však pomôže relax, hlavne, že dnes som si kúpila vhodné doplnky. Preto prejdime k prvej časti, dúfam, že do konca článku si zachovám veselú náladu.

Vzájomné usporiadanie dvoch priamych línií

Prípad, keď sála spieva v zbore. Môžu byť dva riadky:

1) zápas;

2) byť paralelné: ;

3) alebo sa pretínajú v jednom bode: .

Pomoc pre figuríny : zapamätajte si prosím matematické znamienko križovatky , vyskytuje sa veľmi často. Zadanie znamená, že čiara sa pretína s čiarou v bode.

Ako určiť vzájomnú polohu dvoch čiar?

Začnime prvým prípadom:

Dve čiary sa zhodujú vtedy a len vtedy, ak sú ich príslušné koeficienty proporcionálne, teda je tam také číslo "lambda", že tie rovnosti

Uvažujme rovné čiary a zo zodpovedajúcich koeficientov zostavme tri rovnice: . Z každej rovnice vyplýva, že tieto čiary sa teda zhodujú.

Vskutku, ak sú všetky koeficienty rovnice vynásobiť -1 (zmeniť znamienka) a všetky koeficienty rovnice znížiť o 2, dostanete rovnakú rovnicu: .

Druhý prípad, keď sú čiary rovnobežné:

Dve čiary sú rovnobežné vtedy a len vtedy, ak sú ich koeficienty v premenných proporcionálne: , ale.

Ako príklad zvážte dve priame čiary. Skontrolujeme proporcionalitu zodpovedajúcich koeficientov pre premenné:

Je však jasné, že .

A tretí prípad, keď sa čiary pretínajú:

Dve čiary sa pretínajú vtedy a len vtedy, ak ich koeficienty premenných NIE sú proporcionálne, to znamená, že NIE JE taká hodnota "lambda", aby boli splnené rovnosti

Takže pre priame čiary zostavíme systém:

Z prvej rovnice vyplýva, že a z druhej rovnice: , teda, systém je nekonzistentný(žiadne riešenia). Koeficienty premenných teda nie sú proporcionálne.

Záver: čiary sa pretínajú

V praktických problémoch možno použiť práve uvažovanú schému riešenia. Mimochodom, je to veľmi podobné algoritmu na kontrolu kolinearity vektorov, o ktorom sme uvažovali v lekcii. Pojem lineárnej (ne)závislosti vektorov. Vektorový základ. Existuje však civilizovanejší balík:

Príklad 1

Zistite relatívnu polohu čiar:

Riešenie založené na štúdiu smerových vektorov priamych čiar:

a) Z rovníc nájdeme smerové vektory priamok: .

, takže vektory nie sú kolineárne a čiary sa pretínajú.

Pre každý prípad dám na križovatku kameň s ukazovateľmi:

Zvyšok preskočí kameň a pokračuje priamo ku Kašcheiovi Smrťujúcemu =)

b) Nájdite smerové vektory čiar:

Čiary majú rovnaký smerový vektor, čo znamená, že sú buď rovnobežné, alebo rovnaké. Tu determinant nie je potrebný.

Je zrejmé, že koeficienty neznámych sú úmerné, zatiaľ čo .

Poďme zistiť, či je rovnosť pravdivá:

Touto cestou,

c) Nájdite smerové vektory čiar:

Vypočítajme determinant zložený zo súradníc týchto vektorov:
, preto sú smerové vektory kolineárne. Čiary sú buď rovnobežné, alebo sa zhodujú.

Faktor proporcionality "lambda" je ľahko viditeľný priamo z pomeru vektorov kolineárneho smeru. Dá sa to však zistiť aj prostredníctvom koeficientov samotných rovníc: .

Teraz poďme zistiť, či je rovnosť pravdivá. Oba voľné termíny sú nulové, takže:

Výsledná hodnota spĺňa túto rovnicu (vo všeobecnosti ju spĺňa akékoľvek číslo).

Čiary sa teda zhodujú.

Odpoveď:

Veľmi skoro sa naučíte (alebo dokonca ste sa už naučili) riešiť uvažovaný problém slovne doslova v priebehu niekoľkých sekúnd. V tomto ohľade nevidím dôvod ponúkať niečo pre nezávislé riešenie, je lepšie položiť do geometrického základu ešte jednu dôležitú tehlu:

Ako nakresliť čiaru rovnobežnú s danou?

Za neznalosť tejto najjednoduchšej úlohy slávik zbojník tvrdo trestá.

Príklad 2

Priamka je daná rovnicou . Napíšte rovnicu pre rovnobežku, ktorá prechádza bodom.

Riešenie: Neznámy riadok označte písmenom . Čo o tom hovorí podmienka? Čiara prechádza bodom. A ak sú priamky rovnobežné, tak je zrejmé, že smerový vektor priamky „ce“ je vhodný aj na zostrojenie priamky „te“.

Z rovnice vyberieme smerový vektor:

Odpoveď:

Geometria príkladu vyzerá jednoducho:

Analytické overenie pozostáva z nasledujúcich krokov:

1) Skontrolujeme, či priamky majú rovnaký smerový vektor (ak rovnica priamky nie je správne zjednodušená, vektory budú kolineárne).

2) Skontrolujte, či bod vyhovuje výslednej rovnici.

Analytické overenie je vo väčšine prípadov jednoduché vykonať ústne. Pozrite sa na dve rovnice a mnohí z vás rýchlo prídu na to, ako sú čiary rovnobežné bez akéhokoľvek kreslenia.

Príklady na samoriešenie dnes budú kreatívne. Pretože stále musíte súťažiť s Babou Yagou a ona, viete, je milovníčkou všetkých druhov hádaniek.

Príklad 3

Napíšte rovnicu pre priamku prechádzajúcu bodom rovnobežným s priamkou ak

Existuje racionálny a nie veľmi racionálny spôsob riešenia. Najkratšia cesta je na konci hodiny.

Trochu sme pracovali s paralelnými čiarami a vrátime sa k nim neskôr. Prípad zhodujúcich sa čiar je málo zaujímavý, preto zvážte problém, ktorý je vám dobre známy školské osnovy:

Ako nájsť priesečník dvoch čiar?

Ak rovno pretínajú v bode , potom sú riešením jeho súradnice sústavy lineárnych rovníc

Ako nájsť priesečník čiar? Vyriešte systém.

Tu je pre vás geometrický význam systému dvoch lineárne rovnice s dvoma neznámymi sú dve pretínajúce sa (najčastejšie) priamky v rovine.

Príklad 4

Nájdite priesečník čiar

Riešenie: Existujú dva spôsoby riešenia - grafický a analytický.

Grafický spôsob je jednoducho nakresliť dané čiary a zistiť priesečník priamo z výkresu:

Tu je naša pointa: . Pre kontrolu by ste mali nahradiť jej súradnice do každej rovnice priamky, mali by sa zmestiť tam aj tam. Inými slovami, súradnice bodu sú riešením systému . V skutočnosti sme zvažovali grafický spôsob riešenia sústavy lineárnych rovníc s dvoma rovnicami, dvoma neznámymi.

Grafická metóda, samozrejme, nie je zlá, ale existujú značné nevýhody. Nie, nejde o to, že siedmaci sa takto rozhodujú, ide o to, že správne a PRESNÁ kresbačas prejde. Navyše, niektoré čiary nie je také ľahké zostrojiť a samotný priesečník môže byť niekde v tridsiatom kráľovstve mimo listu zošita.

Preto je vhodnejšie hľadať priesečník analytickou metódou. Poďme vyriešiť systém:

Na riešenie systému bola použitá metóda termického sčítania rovníc. Ak chcete rozvíjať príslušné zručnosti, navštívte lekciu Ako vyriešiť sústavu rovníc?

Odpoveď:

Overenie je triviálne - súradnice priesečníka musia spĺňať každú rovnicu systému.

Príklad 5

Nájdite priesečník čiar, ak sa pretínajú.

Toto je príklad „urob si sám“. Úlohu možno pohodlne rozdeliť do niekoľkých etáp. Analýza stavu naznačuje, že je potrebné:
1) Napíšte rovnicu priamky.
2) Napíšte rovnicu priamky.
3) Zistite vzájomnú polohu čiar.
4) Ak sa čiary pretínajú, nájdite priesečník.

Vývoj akčného algoritmu je typický pre mnohé geometrické problémy a budem sa na to opakovane zameriavať.

Kompletné riešenie a odpoveď na konci lekcie:

Pár topánok ešte nebol opotrebovaný, pretože sme sa dostali k druhej časti lekcie:

Kolmé čiary. Vzdialenosť od bodu k čiare.
Uhol medzi čiarami

Začnime typickou a veľmi dôležitou úlohou. V prvej časti sme sa naučili postaviť priamku rovnobežnú s danou a teraz sa chatrč na kuracích stehnách otočí o 90 stupňov:

Ako nakresliť čiaru kolmú na danú?

Príklad 6

Priamka je daná rovnicou . Napíšte rovnicu pre kolmicu prechádzajúcu bodom.

Riešenie: Je známe, že . Bolo by pekné nájsť smerový vektor priamky. Keďže čiary sú kolmé, trik je jednoduchý:

Z rovnice „odstránime“ normálový vektor: , ktorý bude smerovacím vektorom priamky.

Zostavíme rovnicu priamky bodom a smerovacím vektorom:

Odpoveď:

Rozvinieme geometrický náčrt:

Hmmm... Oranžová obloha, oranžové more, oranžová ťava.

Analytické overenie riešenia:

1) Vytiahnite smerové vektory z rovníc a s pomocou bodový súčin vektorov dospejeme k záveru, že priamky sú skutočne kolmé: .

Mimochodom, môžete použiť normálne vektory, je to ešte jednoduchšie.

2) Skontrolujte, či bod vyhovuje výslednej rovnici .

Overenie je opäť jednoduché vykonať verbálne.

Príklad 7

Nájdite priesečník kolmých čiar, ak je rovnica známa a bodka.

Toto je príklad „urob si sám“. V úlohe je viacero akcií, preto je vhodné usporiadať riešenie bod po bode.

Naša vzrušujúca cesta pokračuje:

Vzdialenosť od bodu k čiare

Pred nami je rovný pás rieky a našou úlohou je dostať sa k nemu čo najkratšou cestou. Neexistujú žiadne prekážky a najoptimálnejšou trasou bude pohyb po kolmici. To znamená, že vzdialenosť od bodu k priamke je dĺžka kolmého segmentu.

Vzdialenosť v geometrii sa tradične označuje gréckym písmenom "ro", napríklad: - vzdialenosť od bodu "em" k priamke "de".

Vzdialenosť od bodu k čiare sa vyjadruje vzorcom

Príklad 8

Nájdite vzdialenosť od bodu k čiare

Riešenie: všetko, čo potrebujete, je starostlivo nahradiť čísla do vzorca a vykonať výpočty:

Odpoveď:

Vykonajte kreslenie:

Zistená vzdialenosť od bodu k čiare je presne dĺžka červeného segmentu. Ak kreslíte na kockovaný papier v mierke 1 jednotky. \u003d 1 cm (2 bunky), potom je možné vzdialenosť zmerať bežným pravítkom.

Zvážte ďalšiu úlohu podľa toho istého výkresu:

Úlohou je nájsť súradnice bodu, ktorý je symetrický k bodu vzhľadom na priamku . Navrhujem vykonať akcie sami, načrtnem však algoritmus riešenia s priebežnými výsledkami:

1) Nájdite priamku, ktorá je kolmá na priamku.

2) Nájdite priesečník čiar: .

Obe akcie sú podrobne diskutované v tejto lekcii.

3) Bod je stredom segmentu. Poznáme súradnice stredu a jedného z koncov. Autor: vzorce pre súradnice stredu segmentu Nájsť .

Nebude zbytočné kontrolovať, či sa vzdialenosť rovná aj 2,2 jednotkám.

Ťažkosti tu môžu nastať pri výpočtoch, ale vo veži veľmi pomáha mikrokalkulačka, ktorá vám umožní počítať bežné zlomky. Radil som mnohokrát a budem odporúčať znova.

Ako nájsť vzdialenosť medzi dvoma rovnobežnými čiarami?

Príklad 9

Nájdite vzdialenosť medzi dvoma rovnobežnými čiarami

Toto je ďalší príklad nezávislého riešenia. Malá nápoveda: spôsobov riešenia je nekonečne veľa. Zhrnutie na konci hodiny, ale radšej si to skúste uhádnuť sami, myslím, že sa vám podarilo dobre rozptýliť svoju vynaliezavosť.

Uhol medzi dvoma čiarami

Akýkoľvek roh, potom zárubňa:


V geometrii sa uhol medzi dvoma priamkami berie ako MENŠÍ uhol, z čoho automaticky vyplýva, že nemôže byť tupý. Na obrázku sa uhol označený červeným oblúkom nepovažuje za uhol medzi pretínajúcimi sa čiarami. A jeho “zelený” sused resp opačne orientované karmínový roh.

Ak sú čiary kolmé, potom ktorýkoľvek zo 4 uhlov možno považovať za uhol medzi nimi.

Ako sa líšia uhly? Orientácia. Po prvé, smer „rolovania“ rohu je zásadne dôležitý. Po druhé, negatívne orientovaný uhol sa zapíše so znamienkom mínus, napríklad ak .

Prečo som to povedal? Zdá sa, že si vystačíte s obvyklou koncepciou uhla. Faktom je, že vo vzorcoch, podľa ktorých nájdeme uhly, možno ľahko získať negatívny výsledok, čo by vás nemalo prekvapiť. Uhol so znamienkom mínus nie je o nič horší a má veľmi špecifický geometrický význam. Na výkrese pre záporný uhol je nevyhnutné označiť jeho orientáciu (v smere hodinových ručičiek) šípkou.

Ako nájsť uhol medzi dvoma čiarami? Existujú dva pracovné vzorce:

Príklad 10

Nájdite uhol medzi čiarami

Riešenie a Metóda jedna

Uvažujme dve priame čiary dané rovnicami v všeobecný pohľad:

Ak rovno nie kolmá, potom orientovaný uhol medzi nimi možno vypočítať pomocou vzorca:

Pozorne si všímajme menovateľa – presne taký je skalárny produkt smerové vektory priamych čiar:

Ak , potom menovateľ vzorca zmizne a vektory budú ortogonálne a čiary budú kolmé. Preto bola vznesená výhrada k nekolmosti čiar vo formulácii.

Na základe vyššie uvedeného je riešenie pohodlne formalizované v dvoch krokoch:

1) Vypočítajte skalárny súčin smerových vektorov priamych čiar:
takže čiary nie sú kolmé.

2) Uhol medzi čiarami nájdeme podľa vzorca:

Pomocou inverznej funkcie je ľahké nájsť samotný uhol. V tomto prípade použijeme nepárnosť arkus tangenty (pozri obr. Grafy a vlastnosti elementárnych funkcií):

Odpoveď:

V odpovedi uveďte presná hodnota, ako aj približnú hodnotu (najlepšie v stupňoch a radiánoch) vypočítanú pomocou kalkulačky.

No mínus, tak mínus, je to v poriadku. Tu je geometrická ilustrácia:

Nie je prekvapujúce, že sa ukázalo, že uhol má negatívnu orientáciu, pretože v stave problému je prvé číslo priamka a „krútenie“ uhla začalo presne od nej.

Ak naozaj chcete získať kladný uhol, musíte zameniť priame čiary, to znamená vziať koeficienty z druhej rovnice a zoberte koeficienty z prvej rovnice. Stručne povedané, musíte začať s priamym .

Nechajte čiary uvedené v priestore l a m. Cez nejaký bod A priestoru nakreslíme rovné čiary l 1 || l a m 1 || m(Obr. 138).

Všimnite si, že bod A môže byť zvolený ľubovoľne, najmä môže ležať na jednej z daných čiar. Ak rovno l a m pretínajú, potom A môže byť braný ako priesečník týchto čiar ( l 1 = l a m 1 = m).

Uhol medzi nerovnobežnými čiarami l a m je hodnota najmenšieho zo susedných uhlov vytvorených pretínajúcimi sa priamkami l 1 a m 1 (l 1 || l, m 1 || m). Predpokladá sa, že uhol medzi rovnobežnými čiarami je nulový.

Uhol medzi čiarami l a m označené \(\widehat((l;m)) \). Z definície vyplýva, že ak sa meria v stupňoch, potom 0 ° < \(\widehat((l;m)) \) < 90°, a ak v radiánoch, tak 0 < \(\widehat((l;m)) \) < π / 2 .

Úloha. Je daná kocka ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 (obr. 139).

Nájdite uhol medzi priamkami AB a DC 1 .

Priama križovatka AB a DC 1. Keďže priamka DC je rovnobežná s priamkou AB, uhol medzi priamkami AB a DC 1 sa podľa definície rovná \(\widehat(C_(1)DC)\).

Preto \(\widehat((AB;DC_1))\) = 45°.

Priamy l a m volal kolmý, ak \(\widehat((l;m)) \) = π / 2. Napríklad v kocke

Výpočet uhla medzi čiarami.

Problém výpočtu uhla medzi dvoma priamkami v priestore je riešený rovnakým spôsobom ako v rovine. Označme φ uhol medzi čiarami l 1 a l 2 a cez ψ - uhol medzi smerovými vektormi a a b tieto rovné čiary.

Potom ak

ψ <90° (рис. 206, а), то φ = ψ; если же ψ >90° (obr. 206.6), potom φ = 180° - ψ. Je zrejmé, že v oboch prípadoch platí rovnosť cos φ = |cos ψ|. Podľa vzorca (kosínus uhla medzi nenulovými vektormi a a b sa rovná skalárnemu súčinu týchto vektorov delenému súčinom ich dĺžok)

$$ cos\psi = cos\widehat((a; b)) = \frac(a\cdot b)(|a|\cdot |b|) $$

v dôsledku toho

$$ cos\phi = \frac(|a\cdot b|)(|a|\cdot |b|) $$

Nech sú čiary dané ich kanonickými rovnicami

$$ \frac(x-x_1)(a_1)=\frac(y-y_1)(a_2)=\frac(z-z_1)(a_3) \;\; a \;\; \frac(x-x_2)(b_1)=\frac(y-y_2)(b_2)=\frac(z-z_2)(b_3) $$

Potom sa pomocou vzorca určí uhol φ medzi čiarami

$$ cos\phi = \frac(|a_(1)b_1+a_(2)b_2+a_(3)b_3|)(\sqrt((a_1)^2+(a_2)^2+(a_3)^2 )\sqrt((b_1)^2+(b_2)^2+(b_3)^2)) (1)$$

Ak je jedna z čiar (alebo obe) daná nekanonickými rovnicami, potom na výpočet uhla musíte nájsť súradnice smerových vektorov týchto čiar a potom použiť vzorec (1).

Úloha 1. Vypočítajte uhol medzi čiarami

$$ \frac(x+3)(-\sqrt2)=\frac(y)(\sqrt2)=\frac(z-7)(-2) \;\;and\;\; \frac(x)(\sqrt3)=\frac(y+1)(\sqrt3)=\frac(z-1)(\sqrt6) $$

Smerové vektory priamych čiar majú súradnice:

a \u003d (-√2; √2; -2), b = (√3 ; √3 ; √6 ).

Podľa vzorca (1) nájdeme

$$ cos\phi = \frac(|-\sqrt6+\sqrt6-2\sqrt6|)(\sqrt(2+2+4)\sqrt(3+3+6))=\frac(2\sqrt6)( 2\sqrt2\cdot 2\sqrt3)=\frac(1)(2) $$

Preto je uhol medzi týmito čiarami 60°.

Úloha 2. Vypočítajte uhol medzi čiarami

$$ \začiatok(prípady)3x-12z+7=0\\x+y-3z-1=0\koniec (prípady) a \začiatok (prípady)4x-y+z=0\\y+z+1 =0\end(cases) $$

Za vodiacim vektorom a prvá priamka vezmeme vektorový súčin normálových vektorov n 1 = (3; 0; -12) a n 2 = (1; 1; -3) roviny definujúce túto čiaru. Podľa vzorca \(=\začiatok(vmatrix) i & j & k \\ x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \end(vmatrix) \) dostaneme

$$ a==\začiatok(vmatica) i & j & k \\ 3 & 0 & -12 \\ 1 & 1 & -3 \end(vmatica)=12i-3i+3k $$

Podobne nájdeme smerový vektor druhej priamky:

$$ b=\začiatok(vmatica) i & j & k \\ 4 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end(vmatica)=-2i-4i+4k $$

Ale vzorec (1) vypočíta kosínus požadovaného uhla:

$$ cos\phi = \frac(|12\cdot (-2)-3(-4)+3\cdot 4|)(\sqrt(12^2+3^2+3^2)\sqrt(2 ^2+4^2+4^2))=0 $$

Preto je uhol medzi týmito čiarami 90°.

Úloha 3. V trojuholníkovom ihlane MAVS sú okraje MA, MB a MC navzájom kolmé, (obr. 207);

ich dĺžky sú v tomto poradí rovné 4, 3, 6. Bod D je stred [MA]. Nájdite uhol φ medzi priamkami CA a DB.

Nech SA a DB sú smerové vektory priamok SA a DB.

Zoberme si bod M ako počiatok súradníc. Podmienkou úlohy máme A (4; 0; 0), B(0; 0; 3), C(0; 6; 0), D (2; 0; 0). Preto \(\overrightarrow(CA)\) = (4; - 6;0), \(\overrightarrow(DB)\)= (-2; 0; 3). Používame vzorec (1):

$$ cos\phi=\frac(|4\cdot (-2)+(-6)\cdot 0+0\cdot 3|)(\sqrt(16+36+0)\sqrt(4+0+9 )) $$

Podľa tabuľky kosínusov zistíme, že uhol medzi priamkami CA a DB je približne 72°.

Tento materiál je venovaný takej koncepcii, ako je uhol medzi dvoma pretínajúcimi sa priamkami. V prvom odseku si vysvetlíme, čo to je a ukážeme to na ilustráciách. Potom analyzujeme, ako môžete nájsť sínus, kosínus tohto uhla a samotný uhol (samostatne zvážime prípady s rovinou a trojrozmerným priestorom), dáme potrebné vzorce a na príkladoch ukážeme, ako presne sa používajú v praxi.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Aby sme pochopili, čo je uhol vytvorený priesečníkom dvoch čiar, musíme si spomenúť na samotnú definíciu uhla, kolmosti a priesečníka.

Definícia 1

Dve priamky, ktoré sa pretínajú, nazývame, ak majú jeden spoločný bod. Tento bod sa nazýva priesečník dvoch čiar.

Každá čiara je rozdelená priesečníkom na lúče. V tomto prípade obe čiary zvierajú 4 uhly, z ktorých dva sú vertikálne a dva susedia. Ak poznáme mieru jedného z nich, potom môžeme určiť ostatné zostávajúce.

Povedzme, že vieme, že jeden z uhlov sa rovná α. V takom prípade bude uhol, ktorý je k nej zvislý, tiež rovný α. Aby sme našli zostávajúce uhly, musíme vypočítať rozdiel 180 ° - α . Ak sa α rovná 90 stupňom, všetky uhly budú správne. Priamky pretínajúce sa v pravom uhle sa nazývajú kolmé (pojmu kolmosti je venovaný samostatný článok).

Pozrite sa na obrázok:

Poďme k formulácii hlavnej definície.

Definícia 2

Uhol tvorený dvoma pretínajúcimi sa čiarami je mierou menšieho zo 4 uhlov, ktoré tvoria tieto dve čiary.

Z definície treba vyvodiť dôležitý záver: veľkosť uhla v tomto prípade bude vyjadrená ľubovoľným reálnym číslom v intervale (0, 90] . Ak sú priamky kolmé, potom uhol medzi nimi bude v každom prípade rovných 90 stupňov.

Schopnosť nájsť mieru uhla medzi dvoma pretínajúcimi sa čiarami je užitočná pri riešení mnohých praktických problémov. Spôsob riešenia je možné vybrať z niekoľkých možností.

Na začiatok môžeme použiť geometrické metódy. Ak vieme niečo o ďalších uhloch, potom ich môžeme spojiť s uhlom, ktorý potrebujeme, pomocou vlastností rovnakých alebo podobných tvarov. Ak napríklad poznáme strany trojuholníka a potrebujeme vypočítať uhol medzi priamkami, na ktorých sa tieto strany nachádzajú, potom je na riešenie vhodná kosínusová veta. Ak máme v podmienke správny trojuholník, potom na výpočty budeme potrebovať aj znalosť sínusu, kosínusu a tangensu uhla.

Súradnicová metóda je tiež veľmi vhodná na riešenie problémov tohto typu. Poďme si vysvetliť, ako ho správne používať.

Máme pravouhlý (karteziánsky) súradnicový systém O x y s dvoma priamkami. Označme ich písmenami a a b. V tomto prípade môžu byť priame čiary opísané pomocou akýchkoľvek rovníc. Pôvodné čiary majú priesečník M . Ako určiť požadovaný uhol (označme ho α) medzi týmito čiarami?

Začnime formuláciou základného princípu hľadania uhla za daných podmienok.

Vieme, že také pojmy ako smerovanie a normálový vektor úzko súvisia s pojmom priamka. Ak máme rovnicu nejakej priamky, môžeme z nej prevziať súradnice týchto vektorov. Môžeme to urobiť pre dve pretínajúce sa čiary naraz.

Uhol tvorený dvoma pretínajúcimi sa čiarami možno nájsť pomocou:

• uhol medzi smerovými vektormi;
• uhol medzi normálovými vektormi;
• uhol medzi normálovým vektorom jednej priamky a smerovým vektorom druhej.

Teraz sa pozrime na každú metódu samostatne.

1. Predpokladajme, že máme priamku a so smerovým vektorom a → = (a x , a y) a priamku b so smerovým vektorom b → (b x , b y) . Teraz si odložme dva vektory a → a b → z priesečníka. Potom uvidíme, že každý bude umiestnený na svojej vlastnej linke. Potom máme štyri možnosti ich relatívnej polohy. Pozri ilustráciu:

Ak uhol medzi dvoma vektormi nie je tupý, potom to bude uhol, ktorý potrebujeme medzi pretínajúcimi sa čiarami a a b. Ak je tupý, potom sa požadovaný uhol bude rovnať uhlu susediacemu s uhlom a → , b → ^ . Teda α = a → , b → ^ , ak a → , b → ^ ≤ 90 ° , a α = 180 ° - a → , b → ^ ak a → , b → ^ > 90 ° .

Na základe skutočnosti, že kosínusy rovnakých uhlov sú rovnaké, môžeme výsledné rovnosti prepísať takto: cos α = cos a → , b → ^ ak a → , b → ^ ≤ 90 ° ; cos α = cos 180 ° - a → , b → ^ = - cos a → , b → ^ ak a → , b → ^ > 90 ° .

V druhom prípade boli použité redukčné vzorce. Touto cestou,

cos α cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^ ≥ 0 - cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^< 0 ⇔ cos α = cos a → , b → ^

Posledný vzorec napíšme slovami:

Definícia 3

Kosínus uhla vytvoreného dvoma pretínajúcimi sa priamkami sa bude rovnať modulu kosínusu uhla medzi jeho smerovými vektormi.

Všeobecná forma vzorca pre kosínus uhla medzi dvoma vektormi a → = (a x, a y) a b → = (b x, b y) vyzerá takto:

cos a → , b → ^ = a → , b → ^ a → b → = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

Z toho môžeme odvodiť vzorec pre kosínus uhla medzi dvoma danými priamkami:

cos α = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2 = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

Potom je možné nájsť samotný uhol pomocou nasledujúci vzorec:

α = a r c cos a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

Tu a → = (a x , a y) a b → = (b x , b y) sú smerové vektory daných čiar.

Uveďme príklad riešenia problému.

Príklad 1

V pravouhlom súradnicovom systéme sú v rovine dané dve pretínajúce sa priamky a a b. Možno ich opísať parametrickými rovnicami x = 1 + 4 · λ y = 2 + λ λ ∈ R a x 5 = y - 6 - 3 . Vypočítajte uhol medzi týmito čiarami.

Riešenie

V podmienke máme parametrickú rovnicu, čo znamená, že pre túto priamku si môžeme okamžite zapísať súradnice jej smerového vektora. Aby sme to dosiahli, musíme vziať hodnoty koeficientov v parametri, t.j. priamka x = 1 + 4 λ y = 2 + λ λ ∈ R bude mať smerový vektor a → = (4 , 1) .

Druhý riadok je opísaný pomocou kanonická rovnica x5 = y-6-3. Tu môžeme prevziať súradnice z menovateľov. Táto priamka má teda smerový vektor b → = (5 , - 3) .

Ďalej pokračujeme priamo k hľadaniu uhla. Ak to chcete urobiť, jednoducho dosaďte dostupné súradnice dvoch vektorov do vyššie uvedeného vzorca α = a r c cos a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2 . Získame nasledovné:

α = arc cos 4 5 + 1 (- 3) 4 2 + 1 2 5 2 + (- 3) 2 = a rc cos 17 17 34 = a rc cos 1 2 = 45°

Odpoveď: Tieto čiary zvierajú uhol 45 stupňov.

Podobný problém môžeme vyriešiť nájdením uhla medzi normálovými vektormi. Ak máme priamku a s normálnym vektorom n a → = (n a x , n a y) a priamku b s normálovým vektorom n b → = (n b x , n b y) , potom sa uhol medzi nimi bude rovnať uhlu medzi n a → a n b → alebo uhol, ktorý bude susediť s n a → , n b → ^ . Táto metóda je znázornená na obrázku:

Vzorce na výpočet kosínusu uhla medzi pretínajúcimi sa čiarami a samotným uhlom pomocou súradníc normálnych vektorov vyzerajú takto:

cos α = cos n a → , n b → ^ = n a x n b x + n a y + n b y n a x 2 + n a y 2 n b x 2 + n b y 2

Tu n a → a n b → označujú normálové vektory dvoch daných čiar.

Príklad 2

Dve priamky sú dané v pravouhlom súradnicovom systéme pomocou rovníc 3 x + 5 y - 30 = 0 a x + 4 y - 17 = 0 . Nájdite sínus, kosínus uhla medzi nimi a veľkosť samotného uhla.

Riešenie

Pôvodné priamky sú dané pomocou rovníc normálnej priamky v tvare A x + B y + C = 0 . Označme normálový vektor n → = (A , B) . Nájdite súradnice prvého normálového vektora pre jednu priamku a zapíšme si ich: n a → = (3 , 5) . Pre druhý riadok x + 4 y - 17 = 0 bude mať normálový vektor súradnice n b → = (1 , 4) . Teraz pridajte získané hodnoty do vzorca a vypočítajte súčet:

cos α = cos n a → , n b → ^ = 3 1 + 5 4 3 2 + 5 2 1 2 + 4 2 = 23 34 17 = 23 2 34

Ak poznáme kosínus uhla, potom môžeme vypočítať jeho sínus pomocou zákl trigonometrická identita. Pretože uhol α tvorený priamkami nie je tupý, potom sin α \u003d 1 - cos 2 α \u003d 1 - 23 2 34 2 \u003d 7 2 34.

V tomto prípade α = a rc cos 23 2 34 = a rc sin 7 2 34 .

Odpoveď: cos α = 23 2 34 , sin α = 7 2 34 , α = a r c cos 23 2 34 = a rc sin 7 2 34

Rozoberme si posledný prípad – nájdenie uhla medzi priamkami, ak poznáme súradnice smerového vektora jednej priamky a normálového vektora druhej.

Predpokladajme, že priamka a má smerový vektor a → = (ax, ay) a priamka b má normálový vektor nb → = (nbx, nb y) . Musíme tieto vektory odložiť z priesečníka a zvážiť všetky možnosti ich relatívnej polohy. Pozri obrázok:

Ak uhol medzi danými vektormi nie je väčší ako 90 stupňov, ukáže sa, že doplní uhol medzi a a b do pravého uhla.

a → , n b → ^ = 90 ° - α , ak a → , n b → ^ ≤ 90 ° .

Ak je menej ako 90 stupňov, dostaneme nasledovné:

a → , n b → ^ > 90 ° , potom a → , n b → ^ = 90 ° + α

Pomocou pravidla rovnosti kosínusov s rovnakými uhlami píšeme:

cos a → , n b → ^ = cos (90 ° - α) = sin α pre a → , n b → ^ ≤ 90 ° .

cos a → , n b → ^ = cos 90 ° + α = - sin α pri a → , n b → ^ > 90 ° .

Touto cestou,

sin α = cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ ≤ 90 ° - cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ > 90 ° ⇔ sin α = cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ > 0 - cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^< 0 ⇔ ⇔ sin α = cos a → , n b → ^

Sformulujme záver.

Definícia 4

Ak chcete nájsť sínus uhla medzi dvoma priamkami pretínajúcimi sa v rovine, musíte vypočítať modul kosínusu uhla medzi smerovým vektorom prvého riadku a normálovým vektorom druhého.

Zapíšme si potrebné vzorce. Nájdenie sínusu uhla:

sin α = cos a → , n b → ^ = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2

Nájdenie samotného rohu:

α = a r c sin = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2

Tu a → je smerový vektor prvého riadku a n b → je normálový vektor druhého.

Príklad 3

Dve pretínajúce sa priamky sú dané rovnicami x - 5 = y - 6 3 a x + 4 y - 17 = 0 . Nájdite uhol priesečníka.

Riešenie

Súradnice smerového a normálového vektora berieme z daných rovníc. Ukazuje sa a → = (- 5, 3) ​​an → b = (1, 4) . Zoberieme vzorec α \u003d a r c sin \u003d a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2 a zvážime:

α = a rc sin = - 5 1 + 3 4 (- 5) 2 + 3 2 1 2 + 4 2 = a rc sin 7 2 34

Všimnite si, že sme prevzali rovnice z predchádzajúceho problému a dostali sme presne rovnaký výsledok, ale iným spôsobom.

odpoveď:α = a rc sin 7 2 34

Tu je ďalší spôsob, ako nájsť požadovaný uhol pomocou koeficientov sklonu daných čiar.

Máme priamku a , ktorá je definovaná v pravouhlom súradnicovom systéme pomocou rovnice y = k 1 · x + b 1 , a priamku b , definovanú ako y = k 2 · x + b 2 . Sú to rovnice priamok so sklonom. Ak chcete nájsť uhol priesečníka, použite vzorec:

α = a r c cos k 1 k 2 + 1 k 1 2 + 1 k 2 2 + 1, kde k 1 a k 2 sú sklony daných čiar. Na získanie tohto záznamu boli použité vzorce na určenie uhla cez súradnice normálových vektorov.

Príklad 4

V rovine sa pretínajú dve priamky dané rovnicami y = - 3 5 x + 6 a y = - 1 4 x + 17 4 . Vypočítajte uhol priesečníka.

Riešenie

Sklony našich čiar sa rovnajú k 1 = - 3 5 ak 2 = - 1 4 . Pridajme ich do vzorca α = a r c cos k 1 k 2 + 1 k 1 2 + 1 k 2 2 + 1 a vypočítajme:

α = arc cos - 3 5 - 1 4 + 1 - 3 5 2 + 1 - 1 4 2 + 1 = a rc cos 23 20 34 24 17 16 = a rc cos 23 2 34

odpoveď:α = a rc cos 23 2 34

V záveroch tohto odseku treba poznamenať, že tu uvedené vzorce na nájdenie uhla sa netreba učiť naspamäť. K tomu stačí poznať súradnice vodítok a/alebo normálových vektorov daných čiar a vedieť ich určiť z odlišné typy rovnice. Ale vzorce na výpočet kosínusu uhla je lepšie si zapamätať alebo zapísať.

Ako vypočítať uhol medzi pretínajúcimi sa čiarami v priestore

Výpočet takéhoto uhla možno zredukovať na výpočet súradníc smerových vektorov a určenie veľkosti uhla, ktorý tieto vektory zvierajú. Pre takéto príklady používame rovnakú úvahu, ktorú sme uviedli predtým.

Povedzme, že máme pravouhlý súradnicový systém umiestnený v 3D priestore. Obsahuje dve priamky a a b s priesečníkom M . Na výpočet súradníc smerových vektorov potrebujeme poznať rovnice týchto priamok. Označme smerové vektory a → = (a x, a y, a z) a b → = (b x, b y, b z) . Na výpočet kosínusu uhla medzi nimi použijeme vzorec:

cos α = cos a → , b → ^ = a → , b → a → b → = a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2

Aby sme našli samotný uhol, potrebujeme tento vzorec:

α = a r c cos a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2

Príklad 5

Máme priamku definovanú v 3D priestore pomocou rovnice x 1 = y - 3 = z + 3 - 2 . Je známe, že sa pretína s osou O z. Vypočítajte uhol priesečníka a kosínus tohto uhla.

Riešenie

Označme uhol, ktorý sa má vypočítať, písmenom α. Zapíšme si súradnice smerového vektora pre prvú priamku - a → = (1 , - 3 , - 2) . Pre aplikačnú os môžeme ako vodítko použiť súradnicový vektor k → = (0 , 0 , 1). Dostali sme potrebné údaje a môžeme ich pridať do požadovaného vzorca:

cos α = cos a → , k → ^ = a → , k → a → k → = 1 0 - 3 0 - 2 1 1 2 + (- 3) 2 + (- 2) 2 0 2 + 0 2 + 1 2 = 2 8 = 1 2

V dôsledku toho sme dostali, že uhol, ktorý potrebujeme, sa bude rovnať a r c cos 1 2 = 45 °.

odpoveď: cos α = 1 2 , α = 45 ° .

Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter