Внутренняя неоднородность систем: различимость частей. Если заглянуть внутрь "черного ящика", то выяснится, что система не однородна, не монолитна: можно обнаружить, что разные качества в разных местах отличаются. Описание внутренней неоднородности системы сводится к обособлению относительно однородных участков, проведению границ между ними. Так появляется понятие о частях системы. При более детальном рассмотрении оказывается, что выделенные крупные части тоже не однородны, что требует выделять еще более мелкие части. В результате получается иерархический список частей системы, который мы будем называть моделью состава системы.

Информация о составе системы может использоваться для работы с системой. Цели взаимодействия с системами могут быть различными, в связи с чем могут различаться и модели состава одной и той же системы. Полезную, пригодную для работы модель создать непросто.

Трудности построения модели состава

На первый взгляд части системы различить нетрудно, они "бросаются в глаза". Некоторые системы дифференцируются на части самопроизвольно в процессе естественного роста и развития (организмы, социумы, планетные системы, молекулы, месторождения полезных ископаемых и т.д.). Искусственные системы заведомо собираются из ранее отдельных частей (механизмы, здания, тексты, мелодии и пр.). Есть и смешанные типы систем (заповедники, сельскохозяйственные системы, природоисследующие организации, тягловый транспорт).

С другой стороны, спросите, из каких частей состоит университет у ректора, студента, бухгалтера, хозяйственника, - и каждый выдаст свою, отличную от других модель состава. Так же по-разному определят состав самолета летчик, стюардесса, пассажир. Можно сказать, что тело состоит из правой и левой половинок, а можно - из верхней и нижней. Так из чего же оно состоит "на самом деле"?

Трудности построения модели состава, которые каждому приходится преодолевать, можно представить тремя положениями.

1. Целое можно делить на части по-разному

Целое можно делить на части по-разному (как разрезать булку хлеба на ломти разного размера и формы). А как именно надо? Ответ: так, как вам надо для достижения вашей цели. Например, со-став автомобиля по-разному представляют начинающим автолюбителям, будущим профессионалам-водителям, слесарям, готовящимся к работе в авторемонтных мастерских, продавцам в автомагазинах.

Тогда естественно вернуться к вопросу: а существуют ли части "на самом деле"? Обратите внимание на аккуратную формулировку рассматриваемого свойства: различимость частей, а не разделимость на части. Мы с еще одной стороны вышли на проблему целостности систем: можно различать нужные вам для вашей цели части системы и использовать доступную вам информацию о них, но не следует разделять их. Позднее мы углубим, разовьем это положение.

2. Количество частей в модели состава

Количество частей в модели состава зависит и от того, на каком уровне остановить дробление системы. Части на конечных ветвях получающегося иерархического дерева называются элементами. В различных обстоятельствах прекращение декомпозиции производится на разных уровнях. Например, при описании предстоящих работ приходится давать опытному работнику и новичку инструкции разной степени подробности. Таким образом, модель состава зависит от того, что считать элементарным, а поскольку это слово оценочное, то это не абсолютное, а относительное понятие. Однако встречаются случаи, когда элемент носит природный, абсолютный характер (клетка - простейший элемент живого организма; индивид - последний элемент общества, фонемы - мельчайшие части устной речи) либо определяется нашими возможностями (например, можно предполагать, что электрон тоже из чего-то состоит, но пока физики не смогли обнаружить его части с дробным зарядом).

3. Внешняя граница системы

Любая система является частью какой-то большей системы (а нередко частью сразу нескольких систем). А эту метасистему тоже можно делить на подсистемы по-разному. Это означает, что внешняя граница системы имеет относительный, условный характер. Даже "очевидная" граница системы (кожа человека, ограда предприятия и т.п.) при определенных условиях оказывается недостаточной для определения границы в этих условиях. Например, во время трапезы я беру вилкой с тарелки котлету, откусываю ее, пережевываю, глотаю, перевариваю. Где та граница, пересекая которую котлета становится моей частью? Другой пример с границей предприятия. Работник упал на лестнице и сломал ногу. После лечения при оплате бюллетеня возникает вопрос: какая это была травма - бытовая или производственная (они оплачиваются по-разному)? Нет сомнения, если это была лестница пред¬приятия. Но если это была лестница дома, где живет работник, то все зависит от того, как он шел домой. Если прямо с работы и еще не дошел до двери квартиры, травма считается производственной. Но если он по дороге зашел в магазин или кинотеатр - травма бытовая. Как видим, закон определяет пределы предприятия условно.

Условность границ системы опять возвращает нас к проблеме целостности, теперь уже целостности всего мира. Определение границы системы производится с учетом целей субъекта, который будет использовать модели системы.

Тарасенко Ф.П. Прикладной системный анализ (наука и искусство решения проблем): Учебник. - Томск; Издательство Томского университета, 2004. ISBN 5-7511-1838-3

§5. Тригонометрическая форма комплексного числа. Формула муавра. Извлечение корня

§6. Комплексные функции

Комплексные функции одного действительного переменного

Показательная функция zеz с комплексным показателем и ее свойства

Формулы Эйлера. Показательная форма комплексного числа

Глава 3 многочлены

§1. Кольцо многочленов

§2. Деление многочленов по убывающим степеням

§3. Взаимно простые и неприводимые многочлены. Теорема и алгоритм евклида

§4. Нули (корни) многочлена. Кратность нуля. Разложение многочлена в произведение неприводимых многочленов над полем с и r

Упражнения

Глава 4 векторные пространства

§1. Векторное пространство многочленов над полем p коэффициентов

§2. Векторные пространства р n над полем р

§3. Векторы в геометрическом пространстве

3.1. Типы векторов в геометрическом пространстве

Из подобия треугольников авс и ав"с" следует (как в случае   , так и в случае   ), что.

3.3. Задание свободных векторов при помощи декартовой системы координат и соответствие их с векторами из векторного пространства r3

3.4. Скалярное произведение двух свободных векторов

Упражнения

§4. Векторное подпространство

4.1. Подпространство, порожденное линейной комбинацией векторов

4.2. Линейная зависимость и независимость векторов

4.3. Теоремы о линейно зависимых и линейно независимых векторах

4.4. База и ранг системы векторов. Базис и размерность векторного подпространства, порожденного системой векторов

4.5. Базис и размерность подпространства, порожденного системой

§5. Базис и размерность векторного пространства

5.1. Построение базиса

5.2. Основные свойства базиса

5.3. Базис и размерность пространства свободных векторов

§6. Изоморфизм между n – мерными векторными пространствами к и р n над полем р

§8. Линейные отображения векторных пространств

8.1. Ранг линейного отображения

8.2. Координатная запись линейных отображений

Упражнения

Глава 5 матрицы

§1. Ранг матрицы. Элементарные преобразования матриц

§2. Алгебраичесие операции над матрицами.

Пусть даны матрицы

§3. Изоморфизм между векторным пространством

§4. Скалярное произведение двух векторов из пространства Rn

§5. Квадратные матрицы

5.1. Обратная матрица

5.2. Транспонированная квадратная матрица.

Упражнения

Глава 6 определители

§1. Определение и свойства определителя, вытекающие из определения

§2. Разложение определителя по элементам столбца (строки). Теорема о чужих дополнениях

§3. Геометрическое представление определителя

3.1. Векторное произведение двух свободных векторов

3.2. Смешанное произведение трех свободных векторов

§4. Применение определителей для нахождения ранга матриц

§5. Построение обратной матрицы

Упражнения

Глава 7 системы линейных уравнений

§1. Определения. Совместные и несовместные системы

§2. Метод гаусса

§3. Матричная и векторная формы записи линейных

3. Матрицу-столбец свободных членов размер матрицыk 1.

§4. Система крамера

§5. Однородная система линейных уравнений

§6. Неоднородная система линейных уравнений

Упражнения

Глава 8 приведение матриц

§1. Матрица перехода от одного базиса к другому

1.1. Матрица перехода, связанная с преобразованием

1.2. Ортогональные матрицы перехода

§2. Изменение матрицы линейного отображения при замене базисов

2.1. Собственные значения, собственные векторы

2.2. Приведение квадратной матрицы к диагональной форме

§3. Вещественные линейные и квадратичные формы

3.1. Приведение квадратичной формы к каноническому виду

3.2. Определенная квадратичная форма. Критерий Сильвестра

Упражнения

§6. Неоднородная система линейных уравнений

Если в системе линейных уравнений (7.1) хотя бы один из свободных членов в i отличен от нуля, то такая система называется неоднородной.

Пусть задана неоднородная система линейных уравнений, которую в векторной форме можно представить в виде

, i = 1,2,.. .,к , (7.13)

Рассмотрим соответствующую однородную систему

i = 1,2,... ,к . (7.14)

Пусть вектор
является решением неоднородной системы (7.13), а вектор
является решением однородной системы (7.14). Тогда, легко видеть, что вектор
также является решением неоднородной системы (7.13). Действительно

Теперь, используя формулу (7.12) общего решения однородного уравнения, имеем

где
любые числа изR , а
– фундаментальные решения однородной системы.

Таким образом, решение неоднородной системы есть совокупность ее частного решения и общего решения соответствующей однородной системы.

Решение (7.15) называется общим решением неоднородной системы линейных уравнений. Из (7.15) следует, что совместная неоднородная система линейных уравнений имеет единственное решение, если ранг r (A ) основной матрицы А совпадает с числом n неизвестных системы (система Крамера), если же r (A )  n , то система имеет бесчисленное множество решений и эта совокупность решений эквивалентна подпространству решений соответствующей однородной системы уравнений размерности n – r .

Примеры.

1. Пусть дана неоднородная система уравнений, в которой число уравнений к = 3, а число неизвестных n = 4.

х 1 – х 2 + х 3 –2х 4 = 1,

х 1 – х 2 + 2х 3 – х 4 = 2,

5х 1 – 5х 2 + 8х 3 – 7х 4 = 3.

Определим ранги основной матрицы А и расширенной А * данной системы. Поскольку А и А * не нулевые матрицы и к = 3  n , поэтому 1  r (A ), r * (А * )  3. Рассмотрим миноры второго порядка матриц А и А * :

Таким образом, среди миноров второго порядка матриц А и А * есть минор отличный от нуля, поэтому 2  r (A ), r * (A * )  3. Теперь рассмотрим миноры третьего порядка

, так как первый и второй столбец пропорциональны. Аналогично и для минора
.

И так все миноры третьего порядка основной матрицы А равны нулю, следовательно, r (A ) = 2. Для расширенной матрицы А * еще имеются миноры третьего порядка

Следовательно, среди миноров третьего порядка расширенной матрицы А * есть минор отличный от нуля, поэтому r * (A * ) = 3. Это означает, что r (A )  r * (A * ) и тогда, на основании теоремы Корнекера – Капелли, делаем вывод, что данная система несовместна.

2. Решить систему уравнений

3х 1 + 2х 2 + х 3 + х 4 = 1,

3х 1 + 2х 2 – х 3 – 2х 4 = 2.

Для данной системы
и поэтому 1 r (A ), r * (A * )  2. Рассмотрим для матриц A и A * миноры второго порядка

Таким образом, r (A ) = r * (A * ) = 2, и, следовательно, система совместна. В качестве базовых выберем любые две переменные, для которых минор второго порядка, составленный из коэффициентов у этих переменных не равен нулю. Такими переменными могут быть, например,

х 3 и х 4 , так как
Тогда имеем

х 3 + х 4 = 1 – 3х 1 – 2х 2 ,

– х 3 – 2х 4 = 2 – 3х 1 – 2х 2 .

Определим частное решение неоднородной системы. Для этого положимх 1 = х 2 = 0.

х 3 + х 4 = 1,

– х 3 – 2х 4 = 2.

Решение этой системы: х 3 = 4, х 4 = – 3, следовательно, = (0,0,4, –3).

Теперь определим общее решение соответствующего однородного уравнения

х 3 + х 4 = – 3х 1 – 2х 2 ,

–х 3 – 2х 4 = – 3х 1 – 2х 2 .

Положим: х 1 = 1, х 2 = 0

х 3 + х 4 = –3,

–х 3 – 2х 4 = –3.

Решение этой системы х 3 = –9, х 4 = 6.

Таким образом

Теперь положим х 1 = 0, х 2 = 1

х 3 + х 4 = –2,

–х 3 – 2х 4 = –2.

Решение: х 3 = – 6, х 4 = 4, и тогда

После того как определены частное решение , неоднородного уравнения и фундаментальные решения
исоответствующего однородного уравнения, записываем общее решение неоднородного уравнения.

где
любые числа изR .