Prikývnutie a nok dvoch čísel, Euklidovský algoritmus. Nod a nok čísel - najväčší spoločný deliteľ a najmenší spoločný násobok viacerých čísel

Zvážte riešenie nasledujúceho problému. Chlapčenský krok má 75 cm, dievčenský 60 cm.Je potrebné nájsť najmenšiu vzdialenosť, na ktorú obaja urobia celočíselný počet krokov.

Riešenie. Celá cesta, ktorou chalani prejdú, musí byť bezo zvyšku deliteľná 60 a 70, pretože každý musí urobiť celočíselný počet krokov. Inými slovami, odpoveď musí byť násobkom 75 aj 60.

Najprv vypíšeme všetky násobky pre číslo 75. Dostaneme:

• 75, 150, 225, 300, 375, 450, 525, 600, 675, … .

Teraz si vypíšme čísla, ktoré budú násobkom 60. Dostaneme:

• 60, 120, 180, 240, 300, 360, 420, 480, 540, 600, 660, … .

Teraz nájdeme čísla, ktoré sú v oboch riadkoch.

• Spoločné násobky čísel budú čísla, 300, 600 atď.

Najmenším z nich je číslo 300. V tomto prípade sa bude volať najmenší spoločný násobok čísel 75 a 60.

Ak sa vrátime k problému, najmenšia vzdialenosť, na ktorú chlapci urobia celý počet krokov, bude 300 cm. Chlapec prejde touto cestou v 4 krokoch a dievča bude musieť urobiť 5 krokov.

Hľadanie najmenšieho spoločného násobku

• Najmenší spoločný násobok dvoch prirodzených čísel aab je najmenšie prirodzené číslo, ktoré je násobkom oboch prirodzených čísel a a b.

Aby sme našli najmenší spoločný násobok dvoch čísel, nie je potrebné zapisovať všetky násobky týchto čísel za sebou.

Môžete použiť nasledujúcu metódu.

Ako nájsť najmenší spoločný násobok

Najprv musíte tieto čísla rozložiť na hlavné faktory.

• 60 = 2*2*3*5,
• 75=3*5*5.

Teraz si zapíšme všetky faktory, ktoré sú v expanzii prvého čísla (2,2,3,5) a pripočítajme k tomu všetky chýbajúce faktory z rozšírenia druhého čísla (5).

Výsledkom je séria prvočísel: 2,2,3,5,5. Súčin týchto čísel bude pre tieto čísla najmenej spoločným faktorom. 2*2*3*5*5 = 300.

Všeobecná schéma na nájdenie najmenšieho spoločného násobku

• 1. Rozložte čísla na prvočísla.
• 2. Napíšte hlavné faktory, ktoré sú súčasťou jedného z nich.
• 3. Pridajte k týmto faktorom všetky, ktoré sú v rozklade zvyšku, ale nie vo vybranom.
• 4. Nájdite súčin všetkých vypísaných faktorov.

Táto metóda je univerzálna. Dá sa použiť na nájdenie najmenšieho spoločného násobku ľubovoľného počtu prirodzených čísel.

Ale mnohí celé čísla sú rovnomerne deliteľné inými prirodzenými číslami.

Napríklad:

Číslo 12 je deliteľné 1, 2, 3, 4, 6, 12;

Číslo 36 je deliteľné 1, 2, 3, 4, 6, 12, 18, 36.

Čísla, ktorými je číslo deliteľné (pre 12 je to 1, 2, 3, 4, 6 a 12), sa nazývajú deliteľmi čísel. Deliteľ prirodzeného čísla a je prirodzené číslo, ktoré delí dané číslo a bez stopy. Prirodzené číslo, ktoré má viac ako dva faktory, sa nazýva zložený .

Všimnite si, že čísla 12 a 36 majú spoločných deliteľov. Sú to čísla: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Najväčší deliteľ týchto čísel je 12. Spoločný deliteľ týchto dvoch čísel a A b je číslo, ktorým sú obe dané čísla bezo zvyšku deliteľné a A b.

spoločný násobok niekoľko čísel sa nazýva číslo, ktoré je deliteľné každým z týchto čísel. Napríklad, čísla 9, 18 a 45 majú spoločný násobok 180. Ale aj 90 a 360 sú ich spoločné násobky. Spomedzi všetkých jcommon násobkov je vždy ten najmenší, v tomto prípade je to 90. Toto číslo je tzv. najmenejspoločný násobok (LCM).

LCM je vždy prirodzené číslo, ktoré musí byť väčšie ako najväčšie z čísel, pre ktoré je definované.

Najmenší spoločný násobok (LCM). Vlastnosti.

Komutatívnosť:

Asociativita:

Konkrétne, ak a sú prvočísla , potom:

Najmenší spoločný násobok dvoch celých čísel m A n je deliteľom všetkých ostatných spoločných násobkov m A n. Navyše množina spoločných násobkov m,n sa zhoduje s množinou násobkov pre LCM( m,n).

Asymptotiku for možno vyjadriť pomocou niektorých číselných teoretických funkcií.

takže, Čebyševova funkcia. a:

Vyplýva to z definície a vlastností Landauovej funkcie g(n).

Čo vyplýva zo zákona o rozdelení prvočísel.

Hľadanie najmenšieho spoločného násobku (LCM).

NOC( a, b) možno vypočítať niekoľkými spôsobmi:

1. Ak je známy najväčší spoločný deliteľ, môžete použiť jeho vzťah s LCM:

2. Nech je známy kanonický rozklad oboch čísel na prvočiniteľa:

Kde p 1 ,...,p k sú rôzne prvočísla a d 1,...,d k A e 1 ,...,ek sú nezáporné celé čísla (môžu byť nulové, ak príslušné prvočíslo nie je v rozklade).

Potom LCM ( a,b) sa vypočíta podľa vzorca:

Inými slovami, rozšírenie LCM obsahuje všetky hlavné faktory, ktoré sú zahrnuté aspoň v jednom z rozšírenia čísel a, b a vezme sa najväčší z dvoch exponentov tohto faktora.

Príklad:

Výpočet najmenšieho spoločného násobku niekoľkých čísel možno zredukovať na niekoľko po sebe idúcich výpočtov LCM dvoch čísel:

Pravidlo. Ak chcete nájsť LCM série čísel, potrebujete:

- rozložiť čísla na prvočísla;

- preniesť najväčšie rozšírenie na faktory požadovaného súčinu (súčin faktorov najväčšieho počtu z daných) a potom pridať faktory z rozšírenia ďalších čísel, ktoré sa v prvom čísle nevyskytujú alebo sú v ňom menší počet krát;

- výsledným súčinom prvočiniteľov bude LCM daných čísel.

Akékoľvek dve alebo viac prirodzených čísel má svoj vlastný LCM. Ak čísla nie sú navzájom násobkami alebo nemajú rovnaké faktory v expanzii, potom sa ich LCM rovná súčinu týchto čísel.

Prvočísla čísla 28 (2, 2, 7) boli doplnené koeficientom 3 (číslo 21), výsledný súčin (84) bude najmenšie číslo, ktoré je deliteľné 21 a 28.

Prvočísla najväčšieho čísla 30 boli doplnené o faktor 5 čísla 25, výsledný súčin 150 je väčší ako najväčšie číslo 30 a je deliteľný všetkými danými číslami bezo zvyšku. Toto je najmenší možný súčin (150, 250, 300...), ktorého všetky zadané čísla sú násobkami.

Čísla 2,3,11,37 sú prvočísla, takže ich LCM sa rovná súčinu daných čísel.

pravidlo. Ak chcete vypočítať LCM prvočísel, musíte všetky tieto čísla vynásobiť.

Ďalšia možnosť:

Ak chcete nájsť najmenší spoločný násobok (LCM) niekoľkých čísel, potrebujete:

1) predstavujú každé číslo ako súčin jeho prvočísel, napríklad:

504 \u003d 2 2 2 3 3 7,

2) napíšte mocniny všetkých prvočiniteľov:

504 \u003d 2 2 2 3 3 7 \u003d 2 3 3 2 7 1,

3) zapíšte si všetkých prvočíselníkov (násobiteľov) každého z týchto čísel;

4) vyberte najväčší stupeň každého z nich, ktorý sa nachádza vo všetkých rozšíreniach týchto čísel;

5) znásobte tieto právomoci.

Príklad. Nájdite LCM čísel: 168, 180 a 3024.

Riešenie. 168 \u003d 2 2 2 3 7 \u003d 2 3 3 1 7 1,

180 \u003d 2 2 3 3 5 \u003d 2 2 3 2 5 1,

3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1 .

Vypíšeme najväčšie mocniny všetkých prvočíselných deliteľov a vynásobíme ich:

LCM = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120.

Študenti dostávajú veľa matematických úloh. Medzi nimi sú veľmi často úlohy s nasledujúcou formuláciou: existujú dve hodnoty. Ako nájsť najmenší spoločný násobok daných čísel? Takéto úlohy je potrebné vedieť vykonávať, keďže nadobudnuté zručnosti sa využívajú na prácu so zlomkami, keď rôznych menovateľov. V článku rozoberieme, ako nájsť LCM a základné pojmy.

Pred nájdením odpovede na otázku, ako nájsť LCM, musíte definovať pojem násobok. Najčastejšie je formulácia tohto pojmu nasledovná: násobok nejakej hodnoty A je prirodzené číslo, ktoré bude bezo zvyšku deliteľné číslom A. Takže pre 4, 8, 12, 16, 20 atď. požadovaný limit.

V tomto prípade môže byť počet deliteľov pre určitú hodnotu obmedzený a násobkov je nekonečne veľa. Rovnakú hodnotu majú aj prírodné hodnoty. Toto je ukazovateľ, ktorý sa nimi bezo zvyšku delí. Keď sme sa zaoberali konceptom najmenšej hodnoty pre určité ukazovatele, prejdime k tomu, ako ju nájsť.

Nájdenie NOC

Najmenší násobok dvoch alebo viacerých exponentov je najmenšie prirodzené číslo, ktoré je plne deliteľné všetkými danými číslami.

Existuje niekoľko spôsobov, ako nájsť takúto hodnotu. Uvažujme o nasledujúcich metódach:

1. Ak sú čísla malé, napíšte do riadku všetky ním deliteľné. Pokračujte v tom, kým medzi nimi nenájdete niečo spoločné. V zázname sú označené písmenom K. Napríklad pre 4 a 3 je najmenší násobok 12.
2. Ak sú veľké alebo potrebujete nájsť násobok pre 3 alebo viac hodnôt, potom by ste mali použiť inú techniku, ktorá zahŕňa rozklad čísel na prvočísla. Najprv rozložte najväčšie z uvedených a potom všetky ostatné. Každý z nich má svoj vlastný počet násobiteľov. Ako príklad si rozložme 20 (2*2*5) a 50 (5*5*2). Pri menšom z nich podčiarknite faktory a pridajte k najväčšiemu. Výsledkom bude 100, čo bude najmenší spoločný násobok vyššie uvedených čísel.
3. Pri hľadaní 3 čísel (16, 24 a 36) sú princípy rovnaké ako pri ostatných dvoch. Rozviňme každý z nich: 16 = 2*2*2*2, 24=2*2*2*3, 36=2*2*3*3. Do rozšírenia najväčšieho neboli zahrnuté len dve dvojky z rozkladu čísla 16. Sčítame ich a dostaneme 144, čo je najmenší výsledok pre predtým uvedené číselné hodnoty.

Teraz vieme, aká je všeobecná technika na nájdenie najmenšej hodnoty pre dve, tri alebo viac hodnôt. Existujú však aj súkromné ​​metódy, pomoc pri hľadaní NOC, ak predchádzajúce nepomáhajú.

Ako nájsť GCD a NOC.

Súkromné ​​spôsoby hľadania

Ako pri každej matematickej sekcii, existujú špeciálne prípady nájdenia LCM, ktoré pomáhajú v špecifických situáciách:

• ak je jedno z čísel deliteľné ostatnými bezo zvyšku, potom sa mu rovná najnižší násobok týchto čísel (NOC 60 a 15 sa rovná 15);
• Prvočísla nemajú spoločných prvočíselných deliteľov. Ich najmenšia hodnota sa rovná súčinu týchto čísel. Takže pre čísla 7 a 8 to bude 56;
• rovnaké pravidlo platí aj pre iné prípady, vrátane špeciálnych, o ktorých sa možno dočítať v odbornej literatúre. To by malo zahŕňať aj prípady rozkladu zložených čísel, ktoré sú predmetom samostatných článkov a dokonca aj dizertačných prác.

Špeciálne prípady sú menej časté ako štandardné príklady. Ale vďaka nim sa môžete naučiť pracovať so zlomkami rôznej miereťažkosti. To platí najmä pre zlomky., kde sú rôzni menovatelia.

Niekoľko príkladov

Pozrime sa na niekoľko príkladov, vďaka ktorým pochopíte princíp hľadania najmenšieho násobku:

1. Nájdeme LCM (35; 40). Najprv rozložíme 35 = 5*7, potom 40 = 5*8. K najmenšiemu číslu pridáme 8 a dostaneme NOC 280.
2. NOC (45; 54). Každý z nich rozložíme: 45 = 3*3*5 a 54 = 3*3*6. Pripočítame číslo 6 k 45. Dostaneme NOC rovné 270.
3. No a posledný príklad. Existuje 5 a 4. Neexistujú pre ne jednoduché násobky, takže najmenší spoločný násobok bude v tomto prípade ich súčin rovný 20.

Vďaka príkladom môžete pochopiť, ako sa NOC nachádza, aké sú nuansy a aký je význam takýchto manipulácií.

Nájsť NOC je oveľa jednoduchšie, ako by sa na prvý pohľad mohlo zdať. Na tento účel sa používa jednoduchá expanzia aj násobenie jednoduchých hodnôt navzájom.. Schopnosť pracovať s týmto úsekom matematiky pomáha pri ďalšom štúdiu matematické témy, najmä zlomky rôzneho stupňa zložitosti.

Nezabudnite pravidelne riešiť príklady rôznymi metódami, rozvíja sa tým logický aparát a umožňuje vám zapamätať si množstvo výrazov. Naučte sa metódy na nájdenie takéhoto ukazovateľa a budete vedieť dobre pracovať so zvyškom matematických častí. Šťastné učenie matematiky!

Video

Toto video vám pomôže pochopiť a zapamätať si, ako nájsť najmenší spoločný násobok.

Ale mnohé prirodzené čísla sú rovnomerne deliteľné inými prirodzenými číslami.

Napríklad:

Číslo 12 je deliteľné 1, 2, 3, 4, 6, 12;

Číslo 36 je deliteľné 1, 2, 3, 4, 6, 12, 18, 36.

Čísla, ktorými je číslo deliteľné (pre 12 je to 1, 2, 3, 4, 6 a 12), sa nazývajú deliteľmi čísel. Deliteľ prirodzeného čísla a je prirodzené číslo, ktoré delí dané číslo a bez stopy. Prirodzené číslo, ktoré má viac ako dva faktory, sa nazýva zložený .

Všimnite si, že čísla 12 a 36 majú spoločných deliteľov. Sú to čísla: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Najväčší deliteľ týchto čísel je 12. Spoločný deliteľ týchto dvoch čísel a A b je číslo, ktorým sú obe dané čísla bezo zvyšku deliteľné a A b.

spoločný násobok niekoľko čísel sa nazýva číslo, ktoré je deliteľné každým z týchto čísel. Napríklad, čísla 9, 18 a 45 majú spoločný násobok 180. Ale aj 90 a 360 sú ich spoločné násobky. Spomedzi všetkých jcommon násobkov je vždy ten najmenší, v tomto prípade je to 90. Toto číslo je tzv. najmenejspoločný násobok (LCM).

LCM je vždy prirodzené číslo, ktoré musí byť väčšie ako najväčšie z čísel, pre ktoré je definované.

Najmenší spoločný násobok (LCM). Vlastnosti.

Komutatívnosť:

Asociativita:

Konkrétne, ak a sú prvočísla , potom:

Najmenší spoločný násobok dvoch celých čísel m A n je deliteľom všetkých ostatných spoločných násobkov m A n. Navyše množina spoločných násobkov m,n sa zhoduje s množinou násobkov pre LCM( m,n).

Asymptotiku for možno vyjadriť pomocou niektorých číselných teoretických funkcií.

takže, Čebyševova funkcia. a:

Vyplýva to z definície a vlastností Landauovej funkcie g(n).

Čo vyplýva zo zákona o rozdelení prvočísel.

Hľadanie najmenšieho spoločného násobku (LCM).

NOC( a, b) možno vypočítať niekoľkými spôsobmi:

1. Ak je známy najväčší spoločný deliteľ, môžete použiť jeho vzťah s LCM:

2. Nech je známy kanonický rozklad oboch čísel na prvočiniteľa:

Kde p 1 ,...,p k sú rôzne prvočísla a d 1,...,d k A e 1 ,...,ek sú nezáporné celé čísla (môžu byť nulové, ak príslušné prvočíslo nie je v rozklade).

Potom LCM ( a,b) sa vypočíta podľa vzorca:

Inými slovami, rozšírenie LCM obsahuje všetky hlavné faktory, ktoré sú zahrnuté aspoň v jednom z rozšírenia čísel a, b a vezme sa najväčší z dvoch exponentov tohto faktora.

Príklad:

Výpočet najmenšieho spoločného násobku niekoľkých čísel možno zredukovať na niekoľko po sebe idúcich výpočtov LCM dvoch čísel:

Pravidlo. Ak chcete nájsť LCM série čísel, potrebujete:

- rozložiť čísla na prvočísla;

- preniesť najväčšie rozšírenie na faktory požadovaného súčinu (súčin faktorov najväčšieho počtu z daných) a potom pridať faktory z rozšírenia ďalších čísel, ktoré sa v prvom čísle nevyskytujú alebo sú v ňom menší počet krát;

- výsledným súčinom prvočiniteľov bude LCM daných čísel.

Akékoľvek dve alebo viac prirodzených čísel má svoj vlastný LCM. Ak čísla nie sú navzájom násobkami alebo nemajú rovnaké faktory v expanzii, potom sa ich LCM rovná súčinu týchto čísel.

Prvočísla čísla 28 (2, 2, 7) boli doplnené koeficientom 3 (číslo 21), výsledný súčin (84) bude najmenšie číslo, ktoré je deliteľné 21 a 28.

Prvočísla najväčšieho čísla 30 boli doplnené o faktor 5 čísla 25, výsledný súčin 150 je väčší ako najväčšie číslo 30 a je deliteľný všetkými danými číslami bezo zvyšku. Toto je najmenší možný súčin (150, 250, 300...), ktorého všetky zadané čísla sú násobkami.

Čísla 2,3,11,37 sú prvočísla, takže ich LCM sa rovná súčinu daných čísel.

pravidlo. Ak chcete vypočítať LCM prvočísel, musíte všetky tieto čísla vynásobiť.

Ďalšia možnosť:

Ak chcete nájsť najmenší spoločný násobok (LCM) niekoľkých čísel, potrebujete:

1) predstavujú každé číslo ako súčin jeho prvočísel, napríklad:

504 \u003d 2 2 2 3 3 7,

2) napíšte mocniny všetkých prvočiniteľov:

504 \u003d 2 2 2 3 3 7 \u003d 2 3 3 2 7 1,

3) zapíšte si všetkých prvočíselníkov (násobiteľov) každého z týchto čísel;

4) vyberte najväčší stupeň každého z nich, ktorý sa nachádza vo všetkých rozšíreniach týchto čísel;

5) znásobte tieto právomoci.

Príklad. Nájdite LCM čísel: 168, 180 a 3024.

Riešenie. 168 \u003d 2 2 2 3 7 \u003d 2 3 3 1 7 1,

180 \u003d 2 2 3 3 5 \u003d 2 2 3 2 5 1,

3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1 .

Vypíšeme najväčšie mocniny všetkých prvočíselných deliteľov a vynásobíme ich:

LCM = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120.

Zvážte tri spôsoby, ako nájsť najmenší spoločný násobok.

Hľadanie faktoringom

Prvým spôsobom je nájsť najmenší spoločný násobok rozdelením daných čísel na prvočísla.

Predpokladajme, že potrebujeme nájsť LCM čísel: 99, 30 a 28. Aby sme to dosiahli, rozložíme každé z týchto čísel na prvočísla:

Aby bolo požadované číslo deliteľné 99, 30 a 28, je potrebné a postačujúce, aby zahŕňalo všetky prvočísla týchto deliteľov. Aby sme to dosiahli, musíme zobrať všetky prvočísla týchto čísel na najvyššiu vyskytujúcu sa mocninu a vynásobiť ich:

2 2 3 2 5 7 11 = 13 860

Takže LCM (99, 30, 28) = 13 860. Žiadne iné číslo menšie ako 13 860 nie je rovnomerne deliteľné 99, 30 alebo 28.

Ak chcete nájsť najmenší spoločný násobok daných čísel, musíte ich rozdeliť do prvočiniteľov, potom vziať každý prvočiniteľ s najväčším exponentom, s ktorým sa vyskytuje, a tieto faktory vynásobiť.

Keďže prvočísla nemajú žiadne spoločné prvočísla, ich najmenší spoločný násobok sa rovná súčinu týchto čísel. Napríklad tri čísla: 20, 49 a 33 sú koprimé. Preto

LCM (20, 49, 33) = 204933 = 32,340.

To isté treba urobiť pri hľadaní najmenšieho spoločného násobku rôznych prvočísel. Napríklad LCM (3, 7, 11) = 3 7 11 = 231.

Hľadanie výberom

Druhým spôsobom je nájsť najmenší spoločný násobok preložením.

Príklad 1. Keď je najväčšie z daných čísel rovnomerne deliteľné inými danými číslami, potom sa LCM týchto čísel rovná väčšiemu z nich. Napríklad zadané štyri čísla: 60, 30, 10 a 6. Každé z nich je deliteľné 60, preto:

NOC(60; 30; 10; 6) = 60

V ostatných prípadoch sa na nájdenie najmenšieho spoločného násobku používa nasledujúci postup:

1. Určte najväčšie číslo z daných čísel.
2. Ďalej nájdeme čísla, ktoré sú násobkami najväčšieho čísla, vynásobíme ho prirodzenými číslami vo vzostupnom poradí a skontrolujeme, či zostávajúce dané čísla sú deliteľné výsledným súčinom.

Príklad 2. Dané tri čísla 24, 3 a 18. Určte najväčšie z nich – toto je číslo 24. Ďalej nájdite násobky 24 a skontrolujte, či je každé z nich deliteľné 18 a 3:

24 1 = 24 je deliteľné 3, ale nie je deliteľné 18.

24 2 = 48 - deliteľné 3, ale nie deliteľné 18.

24 3 \u003d 72 - deliteľné 3 a 18.

Takže LCM(24; 3; 18) = 72.

Hľadanie pomocou postupného hľadania LCM

Tretím spôsobom je nájsť najmenší spoločný násobok postupným hľadaním LCM.

LCM dvoch daných čísel sa rovná súčinu týchto čísel vydelenému ich najväčším spoločným deliteľom.

Príklad 1. Nájdite LCM dvoch daných čísel: 12 a 8. Určte ich najväčšieho spoločného deliteľa: GCD (12, 8) = 4. Vynásobte tieto čísla:

Produkt delíme na ich GCD:

Takže LCM(12; 8) = 24.

Na nájdenie LCM troch alebo viacerých čísel sa používa nasledujúci postup:

1. Najprv sa nájde LCM ľubovoľných dvoch z daných čísel.
2. Potom LCM nájdeného najmenšieho spoločného násobku a tretieho daného čísla.
3. Potom LCM výsledného najmenšieho spoločného násobku a štvrtého čísla atď.
4. Vyhľadávanie LCM teda pokračuje, pokiaľ existujú čísla.

Príklad 2. Nájdite LCM troch daných čísel: 12, 8 a 9. LCM čísel 12 a 8 sme už našli v predchádzajúcom príklade (toto je číslo 24). Zostáva nájsť najmenší spoločný násobok 24 a tretie dané číslo - 9. Určte ich najväčšieho spoločného deliteľa: gcd (24, 9) = 3. LCM vynásobte číslom 9:

Produkt delíme na ich GCD:

Takže LCM(12; 8; 9) = 72.