5 sa zaokrúhľuje nahor. Zaokrúhlenie čísla na požadované desatinné miesto

Pri zaokrúhľovaní sa nechajú len správne znaky, ostatné sa vyhodia.

Pravidlo 1. Zaokrúhľovanie sa dosiahne jednoduchým vyradením číslic, ak je prvá z vyradených číslic menšia ako 5.

Pravidlo 2. Ak je prvá z vyradených číslic väčšia ako 5, potom sa posledná číslica zvýši o jednu. Posledná číslica sa tiež zvýši, keď prvá z vyradených číslic je 5, po ktorej nasleduje jedna alebo viacero nenulových číslic. Napríklad rôzne zaokrúhlenia čísla 35,856 by boli 35,86; 35,9; 36.

Pravidlo 3. Ak je vyradená číslica 5 a po nej nie je žiadna významné postavy, potom sa vykoná zaokrúhlenie na najbližšie párne číslo, t.j. posledná uložená číslica zostane nezmenená, ak je párna, a zvýši sa o jednu, ak je nepárna. Napríklad 0,435 je zaokrúhlené na 0,44; 0,465 sa zaokrúhľuje na 0,46 nahor.

8. PRÍKLAD SPRACOVANIA VÝSLEDKOV MERANIA

Stanovenie hustoty pevných látok. Predpokladajme pevný má tvar valca. Potom možno hustotu ρ určiť podľa vzorca:

kde D je priemer valca, h je jeho výška, m je hmotnosť.

Nech sa ako výsledok meraní m, D a h získajú nasledujúce údaje:

č. p / p	m, g	Am, g	D, mm	ΔD, mm	h, mm	Δh, mm	, g/cm3	A, g/cm3
	51,2	0,1	12,68	0,07	80,3	0,15	5,11	0,07	0,013
	12,63	80,2
	12,52	80,3
	12,59	80,2
	12,61	80,1
priemer			12,61		80,2		5,11

Definujme strednú hodnotu D:

Nájdite chyby jednotlivých meraní a ich druhé mocniny

Určme odmocninu zo série meraní:

Nastavíme hodnotu spoľahlivosti α = 0,95 a z tabuľky zistíme Studentov koeficient t α. n = 2,8 (pre n = 5). Určíme hranice intervalu spoľahlivosti:

Keďže vypočítaná hodnota ΔD = 0,07 mm výrazne presahuje absolútnu chybu mikrometra rovnajúcu sa 0,01 mm (merané mikrometrom), výsledná hodnota môže slúžiť ako odhad hranice intervalu spoľahlivosti:

D = D̃ ± Δ D; D= (12,61 ± 0,07) mm.

Definujme hodnotu h̃:

V dôsledku toho:

Pre α = 0,95 an = 5 Studentov koeficient t α je n = 2,8.

Určenie hraníc intervalu spoľahlivosti

Pretože získaná hodnota Δh = 0,11 mm je rovnakého rádu ako chyba posuvného meradla rovná 0,1 mm (h sa meria posuvným meradlom), hranice intervalu spoľahlivosti by sa mali určiť podľa vzorca:

V dôsledku toho:

Vypočítajme priemernú hodnotu hustoty ρ:

Poďme nájsť výraz pre relatívnu chybu:

kde

7. GOST 16263-70 Metrológia. Pojmy a definície.

8. GOST 8.207-76 Priame merania s viacerými pozorovaniami. Metódy spracovania výsledkov pozorovaní.

9. GOST 11.002-73 (čl. SEV 545-77) Pravidlá hodnotenia anomálnych výsledkov pozorovaní.

Carkovskaja Nadežda Ivanovna

Sacharov Jurij Georgievič

Všeobecná fyzika

Metodické pokyny na realizáciu laboratórne práce„Úvod do teórie chýb merania“ pre študentov všetkých odborov

Formát 60*84 1/16 Volume 1 app.-ed. l. Náklad 50 kópií.

Objednajte si ______ zadarmo

Bryanská štátna inžinierska a technologická akadémia

Bryansk, Stanke Dimitrova Avenue, 3, BGITA,

Redakčné a vydavateľské oddelenie

Vytlačené - Prevádzková tlačová jednotka BGITA

Čísla v živote musíte zaokrúhľovať častejšie, ako si mnohí myslia. Platí to najmä pre ľudí v tých profesiách, ktoré súvisia s financiami. Ľudia pracujúci v tejto oblasti sú v tomto postupe dobre vyškolení. Ale aj v Každodenný život proces prevod hodnôt do celočíselnej formy Nie je to nič neobvyklé. Mnoho ľudí bezpečne zabudlo, ako sa čísla zaokrúhľujú hneď po škole. Pripomeňme si hlavné body tejto akcie.

V kontakte s

okrúhle číslo

Predtým, ako prejdeme k pravidlám zaokrúhľovania hodnôt, stojí za to pochopiť čo je okrúhle číslo. Ak rozprávame sa o celých číslach to nevyhnutne končí nulou.

Na otázku, kde je takáto zručnosť užitočná v každodennom živote, možno bezpečne odpovedať - pomocou základných nákupov.

Pomocou jednoduchého pravidla môžete odhadnúť, koľko budú nákupy stáť a koľko si musíte vziať so sebou.

Práve s okrúhlymi číslami je jednoduchšie vykonávať výpočty bez použitia kalkulačky.

Napríklad, ak sa zelenina s hmotnosťou 2 kg 750 g kúpi v supermarkete alebo na trhu, potom v jednoduchom rozhovore s partnerom často neuvedú presnú hmotnosť, ale povedia, že kúpili 3 kg zeleniny. Pri určovaní vzdialenosti medzi osady použiť aj slovo „o“. To znamená priniesť výsledok do vhodnej podoby.

Treba poznamenať, že v niektorých výpočtoch v matematike a riešení problémov sa tiež nie vždy používajú presné hodnoty. To platí najmä v prípadoch, keď odpoveď dostane nekonečné periodický zlomok . Tu je niekoľko príkladov, kde sa používajú približné hodnoty:

• niektoré hodnoty konštantných veličín sú uvedené v zaokrúhlenej forme (číslo "pi" atď.);
• tabuľkové hodnoty sínus, kosínus, tangens, kotangens, ktoré sú zaokrúhlené na určitú číslicu.

Poznámka! Ako ukazuje prax, aproximácia hodnôt k celku, samozrejme, dáva chybu, ale nasávame nevýznamnú. Čím vyššia je číslica, tým presnejší bude výsledok.

Získanie približných hodnôt

Táto matematická akcia sa vykonáva podľa určitých pravidiel.

Ale pre každú sadu čísel sú iné. Upozorňujeme, že celé čísla a desatinné miesta možno zaokrúhliť.

Ale s obyčajné zlomky akcia sa nevykoná.

Najprv potrebujú previesť na desatinné miesta a potom pokračujte v postupe v požadovanom kontexte.

Pravidlá pre aproximáciu hodnôt sú nasledovné:

• pre celé čísla - nahradenie číslic nasledujúcich po zaokrúhlenej jednotke nulami;
• pre desatinné zlomky - vyradenie všetkých čísel, ktoré sú za zaokrúhlenou číslicou.

Napríklad pri zaokrúhľovaní 303 434 na najbližšiu tisícku je potrebné nahradiť stovky, desiatky a jednotky nulami, teda 303 000. desatinné zlomky 3,3333 zaokrúhľovanie na desať x, jednoducho zahoďte všetky nasledujúce číslice a získajte výsledok 3.3.

Presné pravidlá pre zaokrúhľovanie čísel

Pri zaokrúhľovaní desatinných miest nestačí jednoducho vyraďte číslice po zaokrúhlenej číslici. Môžete si to overiť na tomto príklade. Ak sa v obchode kúpia 2 kg 150 g sladkostí, potom hovoria, že sa kúpili asi 2 kg sladkostí. Ak je hmotnosť 2 kg 850 g, zaokrúhlite na veľká strana, teda asi 3 kg. To znamená, že je možné vidieť, že niekedy sa zaokrúhlená číslica zmení. Kedy a ako sa to robí, presné pravidlá budú schopné odpovedať:

1. Ak za zaokrúhlenou číslicou nasleduje číslica 0, 1, 2, 3 alebo 4, zaokrúhlená číslica zostane nezmenená a všetky nasledujúce číslice sa vyradia.
2. Ak za zaokrúhlenou číslicou nasleduje číslo 5, 6, 7, 8 alebo 9, zaokrúhlená číslica sa zvýši o jednu a všetky nasledujúce číslice sa tiež vyradia.

Napríklad, ako správne zlomiť 7,41 približných jednotiek. Určte číslo, ktoré nasleduje po výboji. V tomto prípade je to 4. Preto podľa pravidla zostáva číslo 7 nezmenené a čísla 4 a 1 sú vyradené. Takže dostaneme 7.

Ak je zlomok 7,62 zaokrúhlený, potom za jednotkami nasleduje číslo 6. Podľa pravidla treba číslo 7 zvýšiť o 1 a čísla 6 a 2 treba vyradiť. To znamená, že výsledkom bude 8.

Uvedené príklady ukazujú, ako zaokrúhľovať desatinné miesta na jednotky.

Aproximácia na celé čísla

Je potrebné poznamenať, že môžete zaokrúhľovať na jednotky rovnakým spôsobom ako na celé čísla. Princíp je rovnaký. Pozrime sa podrobnejšie na zaokrúhľovanie desatinných zlomkov na určitú číslicu v celočíselnej časti zlomku. Predstavte si príklad aproximácie 756,247 na desiatky. Na desiatom mieste sa nachádza číslo 5. Po zaokrúhlenom mieste nasleduje číslo 6. Preto je podľa pravidiel potrebné vykonať Ďalšie kroky:

• zaokrúhľovanie na desiatky na jednotku;
• pri vybíjaní jednotiek sa nahrádza číslo 6;
• číslice v zlomkovej časti čísla sú vyradené;
• výsledok je 760.

Venujme pozornosť niektorým hodnotám, v ktorých proces matematického zaokrúhľovania na celé čísla podľa pravidiel neodráža objektívny obraz. Ak vezmeme zlomok 8,499, potom jeho transformáciou podľa pravidla dostaneme 8.

Ale v skutočnosti to nie je celkom pravda. Ak zaokrúhľujeme kúsok po kúsku na celé čísla, potom dostaneme najskôr 8,5 a potom vyhodíme 5 za desatinnou čiarkou a zaokrúhlime nahor.

V niektorých prípadoch sa presný počet pri delení určitej sumy konkrétnym číslom v zásade nedá určiť. Napríklad pri delení 10 číslom 3 dostaneme 3,3333333333…..3, to znamená, že toto číslo nemožno použiť na počítanie konkrétnych položiek v iných situáciách. Potom by sa dané číslo malo zmenšiť na určitú číslicu, napríklad na celé číslo alebo na číslo s desatinným miestom. Ak prevedieme 3,3333333333…..3 na celé číslo, dostaneme 3, a ak prevedieme 3,3333333333….3 na číslo s desatinným miestom, dostaneme 3,3.

Pravidlá zaokrúhľovania

Čo je zaokrúhľovanie? Ide o vyradenie niekoľkých číslic, ktoré sú posledné v rade presných čísel. Takže podľa nášho príkladu sme zahodili všetky posledné číslice, aby sme dostali celé číslo (3), a zahodili číslice, pričom zostali len desiatky (3,3). Číslo možno zaokrúhliť na stotiny a tisíciny, desaťtisíciny a iné čísla. Všetko závisí od toho, ako presné číslo musí byť. Napríklad pri výrobe lekárske prípravky, množstvo každej zo zložiek lieku sa užíva s najväčšou presnosťou, pretože aj tisícina gramu môže byť smrteľná. Ak je potrebné vypočítať výkon žiakov v škole, tak sa najčastejšie používa číslo s desatinným alebo stotinovým miestom.

Pozrime sa na ďalší príklad, ktorý používa pravidlá zaokrúhľovania. Napríklad je tam číslo 3,583333, ktoré treba zaokrúhliť na tisíciny – po zaokrúhlení by sme mali mať za čiarkou tri číslice, čiže výsledkom bude číslo 3,583. Ak je toto číslo zaokrúhlené na desatiny, dostaneme nie 3,5, ale 3,6, pretože po „5“ je číslo „8“, ktoré sa už počas zaokrúhľovania rovná „10“. Preto podľa pravidiel zaokrúhľovania čísel musíte vedieť, že ak sú číslice väčšie ako „5“, posledná uložená číslica sa zvýši o 1. Ak je číslica menšia ako „5“, posledná uložená číslica zostane nezmenená. Takéto pravidlá pre zaokrúhľovanie platia bez ohľadu na to, či ide o celé číslo alebo o desiatky, stotiny atď. musíte zaokrúhliť číslo.

Vo väčšine prípadov, ak je potrebné zaokrúhliť číslo, ktorého posledná číslica je „5“, tento proces sa nevykoná správne. Existuje však aj pravidlo zaokrúhľovania, ktoré platí práve pre takéto prípady. Pozrime sa na príklad. Číslo 3,25 musíte zaokrúhliť na desatiny. Aplikovaním pravidiel pre zaokrúhľovanie čísel dostaneme výsledok 3.2. To znamená, že ak po „päťke“ nie je žiadna číslica alebo je tam nula, posledná číslica zostáva nezmenená, ale iba pod podmienkou, že je párna – v našom prípade je „2“ párna číslica. Ak by sme zaokrúhlili 3,35, výsledok by bol 3,4. Keďže v súlade s pravidlami zaokrúhľovania, ak je pred „5“ nepárna číslica, ktorú je potrebné odstrániť, nepárna číslica sa zvýši o 1. Ale len za podmienky, že za „5“ nie sú žiadne významné číslice. . V mnohých prípadoch možno použiť zjednodušené pravidlá, podľa ktorých, ak sú za poslednou uloženou číslicou číslice od 0 do 4, uložená číslica sa nemení. Ak existujú ďalšie číslice, posledná číslica sa zvýši o 1.

Mnoho ľudí sa pýta, ako zaokrúhľovať čísla. Táto potreba často vzniká u ľudí, ktorí svoj život spájajú s účtovníctvom alebo inými činnosťami, ktoré si vyžadujú výpočty. Zaokrúhľovanie možno vykonať na celé čísla, desatiny atď. A musíte vedieť, ako to urobiť správne, aby výpočty boli viac-menej presné.

Čo je vlastne okrúhle číslo? Je to ten, ktorý končí na 0 (z väčšej časti). AT každodenný život schopnosť zaokrúhliť čísla výrazne uľahčuje nákupy. Keď stojíte pri pokladni, môžete približne odhadnúť celkové náklady na nákupy, porovnať, koľko stojí kilogram toho istého produktu v baleniach s rôznou hmotnosťou. S číslami zredukovanými na pohodlnú formu je jednoduchšie robiť mentálne výpočty bez použitia kalkulačky.

Prečo sa čísla zaokrúhľujú nahor?

Osoba má tendenciu zaokrúhľovať akékoľvek čísla v prípadoch, keď je potrebné vykonať viac zjednodušených operácií. Napríklad melón váži 3 150 kilogramov. Keď človek hovorí svojim priateľom o tom, koľko gramov má južné ovocie, môže byť považovaný za nie veľmi zaujímavého partnera. Vety ako „Tak som si kúpil trojkilogramový melón“ znejú oveľa výstižnejšie bez zahĺbenia sa do všemožných zbytočných detailov.

Zaujímavé je, že ani vo vede nie je potrebné zaoberať sa vždy tými najpresnejšími číslami. A ak hovoríme o periodických nekonečných zlomkoch, ktoré majú tvar 3,33333333 ... 3, potom je to nemožné. Najlogickejšou možnosťou by preto bolo jednoducho ich zaokrúhliť. Výsledok je potom spravidla mierne skreslený. Ako teda zaokrúhľujete čísla?

Niektoré dôležité pravidlá pre zaokrúhľovanie čísel

Ak teda chcete zaokrúhliť číslo, je dôležité pochopiť základné princípy zaokrúhľovania? Ide o zmenu zameranú na zníženie počtu desatinných miest. Ak chcete vykonať túto akciu, potrebujete vedieť niekoľko dôležité pravidlá:

1. Ak je číslo požadovanej číslice v rozsahu 5-9, vykoná sa zaokrúhlenie nahor.
2. Ak je číslo požadovanej číslice medzi 1-4, vykoná sa zaokrúhlenie nadol.

Napríklad máme číslo 59. Musíme ho zaokrúhliť nahor. Aby ste to urobili, musíte si vziať číslo 9 a pridať k nemu jednu, aby ste dostali 60. To je odpoveď na otázku, ako zaokrúhliť čísla. Teraz zvážime špeciálne prípady. V skutočnosti sme pomocou tohto príkladu prišli na to, ako zaokrúhliť číslo na desiatky. Teraz zostáva len uviesť tieto poznatky do praxe.

Ako zaokrúhliť číslo na celé čísla

Často sa stáva, že je potrebné zaokrúhliť napríklad číslo 5,9. Tento postup nie je náročný. Najprv musíme vynechať čiarku a pri zaokrúhľovaní sa nám pred očami objaví už známe číslo 60. A teraz čiarku umiestnime na miesto a dostaneme 6,0. A keďže nuly v desatinných číslach sa zvyčajne vynechávajú, skončíme pri čísle 6.

Podobnú operáciu je možné vykonať aj so zložitejšími číslami. Ako napríklad zaokrúhlite čísla ako 5,49 na celé čísla? Všetko závisí od toho, aké ciele si stanovíte. Vo všeobecnosti podľa pravidiel matematiky 5,49 stále nie je 5,5. Preto sa nedá zaokrúhliť nahor. Môžete to však zaokrúhliť na 5,5, potom sa zaokrúhľovanie nahor stane legálnym. Tento trik však nie vždy funguje, takže musíte byť mimoriadne opatrní.

V zásade bol príklad správneho zaokrúhlenia čísla na desatiny už zvážený vyššie, takže teraz je dôležité zobraziť iba hlavný princíp. V skutočnosti sa všetko deje približne rovnakým spôsobom. Ak je číslica, ktorá je na druhej pozícii za desatinnou čiarkou, v rozmedzí 5-9, potom sa vo všeobecnosti odstráni a číslica pred ňou sa zvýši o jednu. Ak je menej ako 5, potom sa tento údaj odstráni a predchádzajúci zostane na svojom mieste.

Napríklad pri 4,59 až 4,6 číslo „9“ zmizne a k piatim sa pridá jedna. Ale pri zaokrúhľovaní 4,41 sa jednotka vynechá a štvorka zostane nezmenená.

Ako marketéri využívajú neschopnosť masového spotrebiteľa zaokrúhľovať čísla?

Ukazuje sa, že väčšina ľudí na svete nemá vo zvyku hodnotiť skutočné náklady na produkt, čo marketéri aktívne využívajú. Každý pozná akciové slogany ako „Nakúpte len za 9,99“. Áno, vedome chápeme, že toto je už v skutočnosti desať dolárov. Napriek tomu je náš mozog usporiadaný tak, že vníma len prvú číslicu. Takže jednoduchá operácia uvedenia čísla do vhodnej formy by sa mala stať zvykom.

Zaokrúhľovanie veľmi často umožňuje lepší odhad medziúspešnosti vyjadrenej v číselnej forme. Napríklad osoba začala zarábať 550 dolárov mesačne. Optimista povie, že toto je takmer 600, pesimista - že je to niečo viac ako 500. Zdá sa, že je tam rozdiel, ale pre mozog je príjemnejšie „vidieť“, že objekt dosiahol niečo viac ( alebo naopak).

Existuje nespočetné množstvo príkladov, kedy je možnosť zaokrúhľovania neuveriteľne užitočná. Dôležité je byť kreatívny a ak je to možné, nezaťažovať sa zbytočnými informáciami. Potom bude úspech okamžitý.

Metódy

Rôzne polia môžu používať rôzne metódy zaokrúhľovania. Vo všetkých týchto metódach sú znamienka "extra" nastavené na nulu (vyradené) a znamienko, ktoré im predchádzalo, je opravené podľa nejakého pravidla.

• Zaokrúhľuje sa na najbližšie celé číslo(Angličtina) zaokrúhľovanie) - najčastejšie používané zaokrúhľovanie, pri ktorom sa číslo zaokrúhľuje nahor na celé číslo, modul rozdielu, s ktorým má toto číslo minimum. Vo všeobecnosti, keď sa číslo v desiatkovej sústave zaokrúhľuje na N-té desatinné miesto, pravidlo môže byť formulované takto:
  • ak znak N+1< 5 , potom sa zachová N-té znamienko a N+1 a všetky nasledujúce sa nastavia na nulu;
  • ak N+1 znakov ≥ 5, potom sa N-té znamienko zvýši o jeden a N + 1 a všetky nasledujúce sa nastavia na nulu;
  Napríklad: 11,9 → 12; -0,9 -> -1; −1,1 → −1; 2,5 → 3.
• Zaokrúhlenie nadol modulo(zaokrúhlenie smerom k nule, celé číslo Eng. opraviť, skrátiť, celé číslo) je „najjednoduchšie“ zaokrúhľovanie, pretože po vynulovaní znamienka „navyše“ sa zachová predchádzajúce znamienko. Napríklad 11,9 → 11; −0,9 → 0; −1,1 → −1).
• Zaokrúhľovanie nahor(zaokrúhliť na +∞, zaokrúhliť nahor, angl. strop) - ak sa nulové znamienka nerovnajú nule, predchádzajúce znamienko sa zvýši o jednotku, ak je číslo kladné, alebo sa ponechá, ak je číslo záporné. V ekonomickom žargóne - zaokrúhľovanie v prospech predávajúceho, veriteľa(osoby prijímajúcej peniaze). Najmä 2,6 → 3, −2,6 → −2.
• Zaokrúhľovanie nadol(zaokrúhliť na −∞, zaokrúhliť nadol, angl. poschodie) - ak sa nulové znamienka nerovnajú nule, predchádzajúce znamienko sa zachová, ak je číslo kladné, alebo sa zvýši o jednotku, ak je číslo záporné. V ekonomickom žargóne - zaokrúhľovanie v prospech kupujúceho, dlžníka(osoba, ktorá dáva peniaze). Tu 2,6 → 2, −2,6 → −3.
• Zaokrúhľovanie modulo nahor(zaokrúhliť do nekonečna, zaokrúhliť od nuly) je pomerne zriedka používaná forma zaokrúhľovania. Ak sa znaky s hodnotou null nerovnajú nule, predchádzajúci znak sa zvýši o jednotku.

Možnosti zaokrúhľovania 0,5 na najbližšie celé číslo

Samostatný popis vyžadujú pravidlá zaokrúhľovania pre osobitný prípad, kedy (N+1)-tá číslica = 5 a nasledujúce číslice sú nula. Ak vo všetkých ostatných prípadoch zaokrúhľovanie na najbližšie celé číslo poskytuje menšiu chybu zaokrúhľovania, potom je tento konkrétny prípad charakterizovaný skutočnosťou, že pre jedno zaokrúhľovanie je formálne ľahostajné, či to urobiť „nahor“ alebo „nadol“ - v oboch prípadoch zavádza sa chyba presne 1/2 najmenej významnej číslice. Pre tento prípad existujú nasledujúce varianty pravidla zaokrúhľovania na najbližšie celé číslo:

• Matematické zaokrúhľovanie- zaokrúhľuje sa vždy nahor (predchádzajúca číslica sa vždy zvýši o jednu).
• Bankové zaokrúhľovanie(Angličtina) bankové zaokrúhľovanie) - zaokrúhľovanie v tomto prípade nastáva na najbližšie párne číslo, t.j. 2,5 → 2, 3,5 → 4.
• Náhodné zaokrúhľovanie- zaokrúhľovanie nahor alebo nadol náhodne, ale s rovnakou pravdepodobnosťou (možno použiť v štatistike).
• Alternatívne zaokrúhľovanie- Zaokrúhľovanie sa vyskytuje striedavo nahor alebo nadol.

Vo všetkých prípadoch, keď sa (N + 1) znamienko nerovná 5 alebo sa nasledujúce znamienka nerovnajú nule, zaokrúhľovanie nastáva podľa zvyčajných pravidiel: 2,49 → 2; 2,51 → 3.

Matematické zaokrúhľovanie len formálne zodpovedá všeobecné pravidlo zaokrúhľovanie (pozri vyššie). Jeho nevýhodou je, že pri zaokrúhľovaní veľkého množstva hodnôt môže dôjsť k akumulácii. chyby zaokrúhľovania. Typický príklad: zaokrúhľovanie peňažných súm na celé ruble nahor. Ak teda v registri 10 000 riadkov existuje 100 riadkov so sumami obsahujúcimi hodnotu 50 v kopejkách (a to je veľmi realistický odhad), potom keď sa všetky takéto riadky zaokrúhlia „nahor“, súčet „ celkom“ podľa zaokrúhleného registra bude o 50 rubľov viac ako presný .

Ďalšie tri možnosti sú len vymyslené, aby sa znížila celková chyba súčtu pri zaokrúhľovaní. Vysoké číslo hodnoty. Zaokrúhľovanie „na najbližší párny“ je založené na predpoklade, že pri veľkom počte zaokrúhlených hodnôt, ktoré majú v zaokrúhlenom zvyšku 0,5, bude v priemere polovica vľavo a polovica vpravo od najbližšieho párneho, teda chyby zaokrúhľovania sa navzájom vyrušia. Presne povedané, tento predpoklad je pravdivý len vtedy, keď má zaokrúhľovaná množina čísel vlastnosti náhodného radu, čo zvyčajne platí v účtovných aplikáciách, kde hovoríme o cenách, sumách na účtoch atď. Ak je predpoklad porušený, zaokrúhlenie „na párne“ môže viesť k systematickým chybám. V takýchto prípadoch najlepšie fungujú nasledujúce dve metódy.

Posledné dve možnosti zaokrúhľovania zabezpečujú, že približne polovica špeciálnych hodnôt je zaokrúhlená jedným a polovica druhým. Implementácia takýchto metód v praxi si však vyžaduje dodatočné úsilie na organizáciu výpočtového procesu.

Aplikácie

Zaokrúhľovanie sa používa na prácu s číslami v rámci počtu číslic, ktorý zodpovedá skutočnej presnosti parametrov výpočtu (ak ide o reálne hodnoty namerané tak či onak), reálne dosiahnuteľnej presnosti výpočtu, resp. požadovanú presnosť výsledku. V minulosti malo zaokrúhľovanie medzihodnoty a výsledku praktický význam (pretože pri výpočte na papieri alebo pri použití primitívnych zariadení, ako je počítadlo, môže brať do úvahy ďalšie desatinné miesta vážne zvýšiť množstvo práce). Teraz zostáva prvkom vedeckej a inžinierskej kultúry. V účtovných aplikáciách sa navyše môže vyžadovať použitie zaokrúhľovania, vrátane medziľahlých, na ochranu pred výpočtovými chybami spojenými s konečnou bitovou kapacitou výpočtových zariadení.

Použitie zaokrúhľovania pri práci s číslami s obmedzenou presnosťou

Reálne fyzikálne veličiny sa vždy merajú s určitou konečnou presnosťou, ktorá závisí od prístrojov a metód merania a je odhadnutá maximálnou relatívnou alebo absolútnou odchýlkou ​​neznámej skutočnej hodnoty od nameranej, ktorá v desatinnom vyjadrení hodnoty zodpovedá buď určitý počet platných číslic, alebo na určitú pozíciu v zápise čísla, pričom všetky čísla za ktorým (vpravo) sú nevýznamné (ležia v rámci chyby merania). Samotné namerané parametre sú zaznamenané s takým počtom znakov, že všetky údaje sú spoľahlivé, možno ten posledný je pochybný. Chyba v matematických operáciách s číslami s obmedzenou presnosťou je zachovaná a mení sa podľa známych matematických zákonov, takže keď sa v ďalších výpočtoch objavia medzihodnoty a výsledky s veľkým počtom číslic, je významná iba časť týchto číslic. Zostávajúce čísla, prítomné v hodnotách, v skutočnosti neodrážajú žiadnu fyzickú realitu a vyžadujú si čas len na výpočty. V dôsledku toho sú medzihodnoty a výsledky vo výpočtoch s obmedzenou presnosťou zaokrúhlené na počet desatinných miest, ktorý odráža skutočnú presnosť získaných hodnôt. V praxi sa zvyčajne odporúča uložiť ešte jednu číslicu v medzihodnotách pre dlhé "reťazové" manuálne výpočty. Pri používaní počítača medziľahlé zaoblenia vo vedeckých a technických aplikáciách najčastejšie strácajú zmysel a zaokrúhľuje sa len výsledok.

Takže ak je napríklad sila 5815 gf daná s presnosťou na gram sily a dĺžka ramena 1,4 m s presnosťou na centimeter, potom moment sily v kgf podľa vzorca, v prípade formálneho výpočtu so všetkými znakmi sa bude rovnať: 5,815 kgf 1,4 m = 8,141 kgf m. Ak však vezmeme do úvahy chybu merania, potom dostaneme, že limitná relatívna chyba prvej hodnoty je 1/5815 ≈ 1,7 10 −4 , druhý - 1/140 ≈ 7,1 10 −3 , bude relatívna chyba výsledku podľa chybového pravidla operácie násobenia (pri násobení približných hodnôt sa relatívne chyby sčítajú) 7,3 10 −3 , čo zodpovedá maximálnej absolútnej chybe výsledku ±0,059 kgf m! To znamená, že v skutočnosti, berúc do úvahy chybu, môže byť výsledok od 8,082 do 8,200 kgf m, takže pri vypočítanej hodnote 8,141 kgf m je iba prvá číslica úplne spoľahlivá, dokonca aj druhá je už pochybná! Bude správne zaokrúhliť výsledok výpočtu na prvú pochybnú číslicu, to znamená na desatiny: 8,1 kgf m, alebo, ak je to potrebné, presnejšie označenie tolerancie chyby, uveďte ho vo forme zaokrúhlenej na jednu alebo dve desatinné miesta s označením chyby: 8,14 ± 0,06 kgf m.

Empirické pravidlá aritmetiky so zaokrúhľovaním

V tých prípadoch, kde nie je potrebné presne brať do úvahy výpočtové chyby, ale len približný odhad počtu presné čísla ako výsledok výpočtu podľa vzorca môžete použiť sadu jednoduché pravidlá zaokrúhlené výpočty:

1. Všetky pôvodné hodnoty sa zaokrúhľujú nahor na skutočnú presnosť meraní a zapisujú sa s príslušným počtom platných číslic, takže v desatinnom zápise sú všetky číslice spoľahlivé (je dovolené, aby posledná číslica bola pochybná). V prípade potreby sa hodnoty zaznamenajú s výraznými pravými nulami, aby bol v zázname uvedený skutočný počet spoľahlivých znakov (napríklad, ak je dĺžka 1 m skutočne meraná s presnosťou na centimeter, je „1,00 m“ napísané tak, aby bolo vidieť, že dva znaky sú v zázname za desatinnou čiarkou spoľahlivé), alebo je presnosť výslovne uvedená (napríklad 2500 ± 5 m - tu sú spoľahlivé len desiatky a treba ich zaokrúhliť nahor) .
2. Medzihodnoty sú zaokrúhlené na jednu „náhradnú“ číslicu.
3. Pri sčítaní a odčítaní sa výsledok zaokrúhľuje na posledné desatinné miesto najmenej presného z parametrov (napr. pri výpočte hodnoty 1,00 m + 1,5 m + 0,075 m sa výsledok zaokrúhli na desatiny metra, že je do 2,6 m). Zároveň sa odporúča vykonávať výpočty v takom poradí, aby sa predišlo odčítaniu blízkych čísel a operácie s číslami vykonávať, ak je to možné, vo vzostupnom poradí ich modulov.
4. Pri násobení a delení sa výsledok zaokrúhľuje nahor najmenšie číslo platné číslice, ktoré majú parametre (napríklad pri výpočte rýchlosti rovnomerný pohyb telesa vo vzdialenosti 2,5 10 2 m, za 600 s by sa mal výsledok zaokrúhliť nahor na 4,2 m/s, keďže sú to dve číslice, ktoré majú vzdialenosť a čas má tri, za predpokladu, že všetky číslice v zadaní sú významné ).
5. Pri výpočte hodnoty funkcie f(x) je potrebné odhadnúť hodnotu modulu derivácie tejto funkcie v blízkosti výpočtového bodu. Ak (|f"(x)| ≤ 1), potom je výsledok funkcie presný až rovnaký desatinné miesto, čo je argument. V opačnom prípade bude výsledok obsahovať o sumu menej presných desatinných miest log 10 (|f"(x)|), zaokrúhlené na najbližšie celé číslo.

Napriek neprísnosti vyššie uvedené pravidlá v praxi celkom dobre fungujú, a to najmä z dôvodu pomerne vysokej pravdepodobnosti vzájomného zrušenia chýb, ktoré sa pri presnom zohľadnení chýb zvyčajne nezohľadňuje.

Chyby

Pomerne často dochádza k zneužívaniu neokrúhlych čísel. Napríklad:

• Zapíšte si čísla, ktoré majú nízku presnosť, v nezaokrúhlenej forme. V štatistike: ak 4 ľudia zo 17 odpovedali „áno“, potom napíšu „23,5 %“ (zatiaľ čo „24 %“ je správne).
• Používatelia ukazovateľa niekedy myslia takto: „ukazovateľ sa zastavil medzi 5,5 a 6 bližšie k 6, nech je 5,8“ - to je tiež zakázané (stupnenie zariadenia zvyčajne zodpovedá jeho skutočnej presnosti). V tomto prípade musíte povedať „5,5“ alebo „6“.

pozri tiež

• Spracovanie pozorovania
• Chyby zaokrúhľovania

Poznámky

Literatúra

• Henry S. Warren, Jr. Kapitola 3// Algoritmické triky pre programátorov = Hacker's Delight. - M .: Williams, 2007. - S. 288. - ISBN 0-201-91465-4