Rozklad polynómu do zátvoriek. Príklady s riešením kvadratickej rovnice
Akýkoľvek algebraický polynóm stupňa n možno znázorniť ako súčin n-lineárnych faktorov tvaru a konštantného čísla, ktorým sú koeficienty polynómu na najvyššom stupni x, t.j.
kde 
- sú koreňmi polynómu.
Koreň polynómu je číslo (reálne alebo komplexné), ktoré zmení polynóm na nulu. Korene polynómu môžu byť skutočné korene aj komplexne združené korene, potom môže byť polynóm reprezentovaný v tejto forme:
Zvážte metódy na rozšírenie polynómov stupňa "n" na súčin faktorov prvého a druhého stupňa.
Metóda číslo 1.Metóda neurčitých koeficientov.
Koeficienty takto transformovaného výrazu sú určené metódou neurčitých koeficientov. Podstatou metódy je, že je vopred známy typ faktorov, na ktoré sa daný polynóm rozkladá. Pri použití metódy neurčitých koeficientov platia nasledujúce tvrdenia:
P.1. Dva polynómy sú zhodné, ak sú ich koeficienty rovnaké pri rovnakých mocninách x.
P.2. Akýkoľvek polynóm tretieho stupňa sa rozkladá na súčin lineárnych a štvorcových faktorov.
P.3. Akýkoľvek polynóm štvrtého stupňa sa rozloží na súčin dvoch polynómov druhého stupňa.
Príklad 1.1. Je potrebné rozložiť kubický výraz:
P.1. V súlade s prijatými tvrdeniami platí rovnaká rovnosť pre kubický výraz:
P.2. Pravá strana výrazu môže byť vyjadrená nasledujúcimi výrazmi:
P.3. Z podmienky rovnosti koeficientov pre zodpovedajúce mocniny kubického výrazu zostavíme sústavu rovníc.
Tento systém rovníc možno riešiť metódou výberu koeficientov (ak ide o jednoduchý akademický problém) alebo metódami riešenia nelineárne systémy rovnice. Rozhodovanie tento systém rovnice, dostaneme, že neurčité koeficienty sú definované takto:
Pôvodný výraz sa teda rozloží na faktory v tejto forme:
Túto metódu možno použiť v analytických výpočtoch aj v počítačovom programovaní na automatizáciu procesu hľadania koreňa rovnice.
Metóda číslo 2.Vieta vzorce
Vieta vzorce sú vzorce týkajúce sa koeficientov algebraické rovnice stupeň n a jeho korene. Tieto vzorce boli implicitne prezentované v prácach francúzskeho matematika Francoisa Vietu (1540 - 1603). Vzhľadom na to, že Viet považoval iba pozitívne skutočné korene, nemal možnosť napísať tieto vzorce vo všeobecnej explicitnej forme.
Pre každý algebraický polynóm stupňa n, ktorý má n reálnych koreňov,
platia nasledujúce vzťahy, ktoré spájajú korene polynómu s jeho koeficientmi:
Vietove vzorce je vhodné použiť na kontrolu správnosti nájdenia koreňov polynómu, ako aj na zostavenie polynómu z daných koreňov.
Príklad 2.1. Zvážte, ako súvisia korene polynómu s jeho koeficientmi, použite ako príklad kubickú rovnicu
V súlade so vzorcami Vieta je vzťah medzi koreňmi polynómu a jeho koeficientmi takýto:
Podobné vzťahy je možné vytvoriť pre akýkoľvek polynóm stupňa n.
Metóda číslo 3. Rozklad kvadratická rovnica do faktorov s racionálnymi koreňmi
Z posledného vzorca Vieta vyplýva, že korene polynómu sú deliteľmi jeho voľného člena a vedúceho koeficientu. V tomto ohľade, ak podmienka problému obsahuje polynóm stupňa n s celočíselnými koeficientmi
potom tento polynóm má racionálny koreň (neredukovateľný zlomok), kde p je deliteľ voľného člena a q je deliteľ vedúceho koeficientu. V tomto prípade môže byť polynóm stupňa n reprezentovaný ako (Bezoutova veta):
Polynóm, ktorého stupeň je o 1 menší ako stupeň počiatočného polynómu, sa určí vydelením polynómu stupňa n binómom, napríklad pomocou Hornerovej schémy alebo väčšiny jednoduchým spôsobom- "stĺpec".
Príklad 3.1. Je potrebné faktorizovať polynóm
P.1. Vzhľadom na to, že koeficient pri najvyššom člene je rovný jednej, potom racionálne korene tohto polynómu sú deliteľmi voľného člena výrazu, t.j. môžu byť celé čísla 
. Dosadením každého z uvedených čísel do pôvodného výrazu zistíme, že koreň prezentovaného polynómu je .
Rozdeľme pôvodný polynóm binomom:
Využime Hornerovu schému
Koeficienty pôvodného polynómu sa nastavia v hornom riadku, pričom prvá bunka horného riadku zostane prázdna.
Nájdený koreň sa zapíše do prvej bunky druhého riadku (v tomto príklade sa zapíše číslo "2") a nasledujúce hodnoty v bunkách sa vypočítajú určitým spôsobom a sú to koeficienty polynóm, ktorý vznikne delením polynómu binómom. Neznáme koeficienty sú definované takto:
Hodnota zo zodpovedajúcej bunky prvého riadku sa prenesie do druhej bunky druhého riadku (v tomto príklade sa zapíše číslo "1").
Tretia bunka druhého riadku obsahuje hodnotu súčinu prvej bunky a druhej bunky druhého riadku plus hodnotu z tretej bunky prvého riadku (v tomto príklade 2 ∙ 1 -5 = -3) .
Štvrtá bunka druhého riadku obsahuje hodnotu súčinu prvej bunky a tretej bunky druhého riadka plus hodnotu zo štvrtej bunky prvého riadku (v tomto príklade 2 ∙ (-3) +7 = 1 ).
Pôvodný polynóm je teda faktorizovaný:
Metóda číslo 4.Používanie vzorcov na násobenie v skratke
Na zjednodušenie výpočtov, ako aj rozkladu polynómov na faktory sa používajú skrátené vzorce násobenia. Skrátené vzorce násobenia umožňujú zjednodušiť riešenie jednotlivých úloh.
Vzorce používané na faktoring
Faktorizácia polynómu. Časť 1
Faktorizácia je univerzálna technika, ktorá pomáha riešiť zložité rovnice a nerovnosti. Prvá myšlienka, ktorá by vám mala prísť na myseľ pri riešení rovníc a nerovníc, v ktorých je pravá strana nulová, je pokúsiť sa rozdeliť ľavú stranu na faktorizáciu.
Uvádzame hlavné spôsoby rozkladu polynómu:
- vyňatie spoločného faktora zo zátvorky
- používanie skrátených vzorcov na násobenie
- podľa vzorca na rozklad štvorcového trojčlenu
- metóda zoskupovania
- delenie polynómu binómom
- metóda neurčitých koeficientov
V tomto článku sa budeme podrobne venovať prvým trom metódam, o zvyšku budeme diskutovať v nasledujúcich článkoch.
1. Vybratie spoločného činiteľa zo zátvorky.
Do zátvorky spoločný faktor najprv to musíš nájsť. Spoločný multiplikačný koeficient sa rovná najväčšiemu spoločnému deliteľovi všetkých koeficientov.
Listová časť spoločný činiteľ sa rovná súčinu výrazov, ktoré tvoria každý člen s najmenším exponentom.
Schéma na odstránenie spoločného faktora vyzerá takto:
Pozor!
Počet výrazov v zátvorkách sa rovná počtu výrazov v pôvodnom výraze. Ak sa jeden z pojmov zhoduje so spoločným činiteľom, potom keď je delený spoločným činiteľom, dostaneme jeden.
Príklad 1
Rozlož polynóm na faktor:
Vyberme spoločný faktor zo zátvoriek. Aby sme to dosiahli, najprv ho nájdeme.
1. Nájdite najväčšiu spoločný deliteľ všetky koeficienty polynómu, t.j. čísla 20, 35 a 15. Rovná sa 5.
2. Zistíme, že premenná je obsiahnutá vo všetkých členoch a najmenší z jej exponentov je 2. Premenná je obsiahnutá vo všetkých členoch a najmenší z jej exponentov je 3.
Premenná je obsiahnutá len v druhom člene, teda nie je súčasťou spoločného činiteľa.
Takže spoločný faktor je
3. Faktor vyberieme pomocou vyššie uvedenej schémy:
Príklad 2 Vyriešte rovnicu:
Riešenie. Rozložme ľavú stranu rovnice na faktor. Vyberme faktor zo zátvoriek:
Takže sme dostali rovnicu 
Nastavte každý faktor rovný nule:
Dostaneme - koreň prvej rovnice.
Korene:
Odpoveď: -1, 2, 4
2. Faktorizácia pomocou skrátených vzorcov násobenia.
Ak je počet členov v polynóme, ktorý ideme faktorizovať, menší alebo rovný trom, potom sa pokúsime použiť redukované vzorce násobenia.
1. Ak je polynómrozdiel dvoch termínov, potom sa pokúsime uplatniť rozdiel štvorcov vzorca:
alebo vzorec rozdielu kocky:
Tu sú písmená a označujú číslo alebo algebraický výraz.
2. Ak je polynóm súčtom dvoch členov, možno ho možno rozdeliť pomocou vzorce pre súčet kociek:
3. Ak sa polynóm skladá z troch členov, potom sa pokúsime použiť súčet štvorcový vzorec:
alebo rozdiel štvorcový vzorec:
Alebo sa pokúsime faktorizovať podľa vzorec na rozklad štvorcového trojčlenu:
Tu a sú korene kvadratickej rovnice 
Príklad 3Faktorizácia výrazu:
Riešenie. Máme súčet dvoch výrazov. Skúsme použiť vzorec pre súčet kociek. Ak to chcete urobiť, musíte najprv reprezentovať každý výraz ako kocku nejakého výrazu a potom použiť vzorec pre súčet kociek:
Príklad 4 Faktorizácia výrazu: 
Riešenie. Pred nami je rozdiel druhých mocnín dvoch výrazov. Prvý výraz: , druhý výraz:
Použime vzorec pre rozdiel štvorcov:
Otvorme zátvorky a dajme podobné výrazy, dostaneme:
Pojmy „polynóm“ a „faktorizácia polynómu“ v algebre sú veľmi bežné, pretože ich musíte poznať, aby ste mohli jednoducho vykonávať výpočty s veľkými viacciferné čísla. Tento článok popisuje niekoľko metód rozkladu. Všetky sú pomerne jednoduché na používanie, stačí si v každom prípade vybrať ten správny.
Pojem polynóm
Polynóm je súčet monočlenov, teda výrazov obsahujúcich iba operáciu násobenia.
Napríklad 2 * x * y je monomický tvar, ale 2 * x * y + 25 je polynóm, ktorý pozostáva z 2 monomických tvarov: 2 * x * y a 25. Takéto polynómy sa nazývajú binómy.
Niekedy sa pre pohodlie pri riešení príkladov s viachodnotovými hodnotami musí výraz transformovať, napríklad rozložiť na určitý počet faktorov, to znamená na čísla alebo výrazy, medzi ktorými sa vykonáva operácia násobenia. Existuje niekoľko spôsobov rozkladu polynómu. Stojí za to zvážiť ich od najprimitívnejších, ktoré sa používajú aj v základných triedach.
Zoskupenie (všeobecný záznam)
Vzorec na rozklad polynómu na faktory metódou zoskupovania v všeobecný pohľad vyzerá takto:
ac + bd + bc + ad = (ac + bc) + (ad + bd)
Je potrebné zoskupiť monomály tak, aby sa v každej skupine objavil spoločný činiteľ. V prvej zátvorke je to faktor c a v druhej - d. Toto sa musí urobiť, aby sa potom vyňalo z držiaka, čím sa zjednodušia výpočty.
Algoritmus rozkladu na konkrétnom príklade
Najjednoduchší príklad rozkladu polynómu na faktory pomocou metódy zoskupovania je uvedený nižšie:
10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b)
V prvej zátvorke musíte vziať výrazy s faktorom a, ktorý bude spoločný, a v druhej zátvorke s faktorom b. Venujte pozornosť znamienkam + a - v hotovom výraze. Pred jednočlenný znak sme dali znak, ktorý bol v začiatočnom výraze. To znamená, že musíte pracovať nie s výrazom 25a, ale s výrazom -25. Znamienko mínus je akoby „prilepené“ k výrazu za ním a vždy ho berte do úvahy pri výpočtoch.
V ďalšom kroku musíte z držiaka vybrať faktor, ktorý je bežný. Na to slúži zoskupovanie. Vyňať ho zo zátvorky znamená vypísať pred zátvorku (vynechať znamienko násobenia) všetky tie faktory, ktoré sa presne opakujú vo všetkých pojmoch, ktoré sú v zátvorke. Ak v zátvorke nie sú 2, ale 3 alebo viac pojmov, spoločný činiteľ musí byť obsiahnutý v každom z nich, inak ho nemožno zo zátvorky vyňať.
V našom prípade iba 2 výrazy v zátvorkách. Celkový multiplikátor je okamžite viditeľný. Prvá zátvorka je a, druhá je b. Tu je potrebné venovať pozornosť digitálnym koeficientom. V prvej zátvorke sú oba koeficienty (10 a 25) násobky 5. To znamená, že nie len a, ale aj 5a môžu byť v zátvorke. Pred zátvorku napíšte 5a a potom vydeľte každý z pojmov v zátvorke spoločným faktorom, ktorý bol vyňatý, a tiež zapíšte podiel v zátvorkách, pričom nezabudnite na znamienka + a -. Urobte to isté s druhou zátvorkou , vyberte 7b, pretože 14 a 35 násobok 7.
10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b) = 5a (2c - 5) + 7b (2c - 5).
Ukázalo sa, že 2 termíny: 5a (2c - 5) a 7b (2c - 5). Každý z nich obsahuje spoločný činiteľ (celý výraz v zátvorkách je rovnaký, čo znamená, že ide o spoločný činiteľ): 2c - 5. Treba ho tiež vyňať zo zátvorky, teda výrazy 5a a 7b zostávajú v druhej zátvorke:
5a(2c - 5) + 7b (2c - 5) = (2c - 5)* (5a + 7b).
Takže úplný výraz je:
10ac + 14bc - 25a - 35b \u003d (10ac - 25a) + (14bc - 35b) \u003d 5a (2c - 5) + 7b (2c - 5) \u003d (2c - 5) * (5a + 7b).
Polynóm 10ac + 14bc - 25a - 35b sa teda rozloží na 2 faktory: (2c - 5) a (5a + 7b). Znamienko násobenia medzi nimi možno pri písaní vynechať
Niekedy existujú výrazy tohto typu: 5a 2 + 50a 3, tu môžete zátvorku nielen a alebo 5a, ale dokonca aj 5a 2. Vždy by ste sa mali snažiť vyňať zo zátvorky čo najväčší spoločný faktor. V našom prípade, ak vydelíme každý výraz spoločným faktorom, dostaneme:
5a2/5a2 = 1; 50a 3 / 5a 2 = 10a(pri výpočte podielu viacerých mocnín s rovnaké dôvody základ sa zachová a exponent sa odpočíta). Zostane teda jeden v zátvorke (v žiadnom prípade nezabudni napísať, ak niektorý z výrazov zo zátvorky úplne vytiahneš) a kvocient delenia: 10a. Ukazuje sa, že:
5a 2 + 50a 3 = 5a 2 (1 + 10a)
Štvorcové vzorce
Pre pohodlie výpočtov bolo odvodených niekoľko vzorcov. Nazývajú sa redukované vzorce násobenia a používajú sa pomerne často. Tieto vzorce pomáhajú faktorizovať polynómy obsahujúce mocniny. To je ďalší efektívnym spôsobom faktorizácie. Takže tu sú:
- a 2 + 2ab + b 2 = (a + b) 2 - vzorec nazývaný „druhá mocnina súčtu“, pretože v dôsledku rozšírenia na štvorec sa berie súčet čísel v zátvorkách, to znamená, že hodnota tohto súčtu sa sama násobí dvakrát, čo znamená, že je to faktor.
- a 2 + 2ab - b 2 = (a - b) 2 - vzorec druhej mocniny rozdielu, je podobný predchádzajúcemu. Výsledkom je rozdiel v zátvorkách obsiahnutý v štvorcovej mocnine.
- a 2 - b 2 \u003d (a + b) (a - b)- toto je vzorec pre rozdiel druhých mocnín, pretože spočiatku polynóm pozostáva z 2 štvorcov čísel alebo výrazov, medzi ktorými sa vykonáva odčítanie. Možno je to najčastejšie používané z týchto troch.
Príklady na výpočet podľa vzorcov štvorcov
Výpočty na nich sa robia pomerne jednoducho. Napríklad:
- 25x2 + 20xy + 4r 2 - použite vzorec "druhá mocnina súčtu".
- 25x 2 je štvorec 5x. 20xy je dvojnásobok súčinu 2*(5x*2y) a 4y 2 je druhá mocnina 2y.
- Takže 25x 2 + 20xy + 4y 2 = (5x + 2y) 2 = (5x + 2y)(5x + 2y). Tento polynóm je rozložený na 2 faktory (faktory sú rovnaké, preto sa zapisuje ako výraz s druhou mocninou).
Operácie podľa vzorca druhej mocniny rozdielu sa vykonávajú podobne ako tieto. Čo zostáva, je rozdiel vo vzorci štvorcov. Príklady tohto vzorca sa dajú veľmi ľahko identifikovať a nájsť medzi inými výrazmi. Napríklad:
- 25a 2 - 400 \u003d (5a - 20) (5a + 20). Od 25a 2 \u003d (5a) 2 a 400 \u003d 20 2
- 36x 2 - 25 rokov 2 \u003d (6x - 5 rokov) (6x + 5 rokov). Od 36x 2 \u003d (6x) 2 a 25 rokov 2 \u003d (5y 2)
- c 2 - 169b 2 \u003d (c - 13b) (c + 13b). Pretože 169b 2 = (13b) 2
Je dôležité, aby každý z výrazov bol druhou mocninou nejakého výrazu. Potom sa tento polynóm vynásobí rozdielom štvorcového vzorca. Na to nie je potrebné, aby bola druhá mocnina nad číslom. Existujú polynómy obsahujúce veľké mocniny, ale stále vhodné pre tieto vzorce.
a 8 +10a 4 +25 = (a 4) 2 + 2*a 4 *5 + 5 2 = (a 4 +5) 2
AT tento príklad a 8 môžu byť reprezentované ako (a 4) 2 , teda druhá mocnina určitého výrazu. 25 je 5 2 a 10a je 4 - toto je dvojitý súčin výrazov 2*a 4 *5. To znamená, že tento výraz, napriek prítomnosti stupňov s veľkými exponentmi, možno rozložiť na 2 faktory, aby sa s nimi dalo neskôr pracovať.
Kockové vzorce
Rovnaké vzorce existujú pre faktorizáciu polynómov obsahujúcich kocky. Sú o niečo komplikovanejšie ako tie so štvorcami:
- a 3 + b 3 \u003d (a + b) (a 2 - ab + b 2)- tento vzorec sa nazýva súčet kociek, keďže vo svojom počiatočnom tvare je polynóm súčtom dvoch výrazov alebo čísel uzavretých v kocke.
- a 3 - b 3 \u003d (a - b) (a 2 + ab + b 2) - vzorec zhodný s predchádzajúcim sa označuje ako rozdiel kociek.
- a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 = (a + b) 3 - súčet kocka, ako výsledok výpočtov sa získa súčet čísel alebo výrazov, uzavretých v zátvorkách a vynásobených 3-krát, to znamená, že sa nachádza v kocke
- a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3 = (a - b) 3 - vzorec, zostavený analogicky s predchádzajúcim so zmenou iba niektorých znakov matematických operácií (plus a mínus), sa nazýva "rozdielová kocka".
Posledné dva vzorce sa prakticky nepoužívajú na účely faktorizácie polynómu, pretože sú zložité a je dosť zriedkavé nájsť polynómy, ktoré úplne zodpovedajú práve takej štruktúre, aby sa dali rozložiť podľa týchto vzorcov. Stále ich však musíte poznať, pretože budú potrebné pre akcie v opačnom smere - pri otváraní zátvoriek.
Príklady vzorcov kocky
Zvážte príklad: 64a 3 − 8b 3 = (4a) 3 − (2b) 3 = (4a − 2b) ((4a) 2 + 4a*2b + (2b) 2) = (4a−2b)(16a 2 + 8ab + 4b 2 ).
Zobrali sme tu pomerne prvočísla, takže môžete okamžite vidieť, že 64a 3 je (4a) 3 a 8b 3 je (2b) 3 . Tento polynóm je teda rozšírený o rozdiel vo vzorcoch kociek na 2 faktory. Akcie na vzorci súčtu kociek sa vykonávajú analogicky.
Je dôležité pochopiť, že nie všetky polynómy sa dajú rozložiť aspoň jedným zo spôsobov. Existujú však výrazy, ktoré obsahujú väčšie mocniny ako štvorec alebo kocka, ale dajú sa rozšíriť aj do skrátených foriem násobenia. Napríklad: x 12 + 125y 3 =(x 4) 3 +(5y) 3 =(x 4 +5y)*((x 4) 2 − x 4 *5y+(5y) 2)=(x 4 + 5y) ( x 8 − 5 x 4 r + 25 r 2).
Tento príklad obsahuje až 12 stupňov. Ale aj to môže byť faktorizované pomocou vzorca súčtu kociek. Aby ste to dosiahli, musíte reprezentovať x 12 ako (x 4) 3, teda ako kocku nejakého výrazu. Teraz ho namiesto a musíte vo vzorci nahradiť. No, výraz 125y 3 je kocka 5y. Ďalším krokom je napísanie vzorca a vykonanie výpočtov.
Najprv alebo v prípade pochybností môžete vždy skontrolovať inverzným násobením. Vo výslednom výraze stačí otvoriť zátvorky a vykonať akcie s podobnými výrazmi. Táto metóda sa vzťahuje na všetky vyššie uvedené metódy redukcie: na prácu so spoločným faktorom a zoskupovaním, ako aj na operácie so vzorcami kocky a mocniny.
Zvážte na konkrétnych príkladoch, ako rozdeliť polynóm na faktor.
Budeme rozširovať polynómy v súlade s .
Faktorizácia polynómov:
Skontrolujte, či existuje spoločný faktor. áno, rovná sa 7 cd. Vyberme to zo zátvoriek:
Výraz v zátvorkách pozostáva z dvoch pojmov. Už neexistuje spoločný činiteľ, výraz nie je vzorcom pre súčet kociek, čo znamená, že rozklad je dokončený.
Skontrolujte, či existuje spoločný faktor. Nie Polynóm pozostáva z troch členov, takže skontrolujeme, či existuje úplný štvorcový vzorec. Dva členy sú druhé mocniny výrazov: 25x²=(5x)², 9y²=(3y)², tretí člen sa rovná dvojitý produkt z týchto výrazov: 2∙5x∙3y=30xy. Takže tento polynóm je plné námestie. Keďže dvojitý súčin je so znamienkom mínus, potom je to:
Skontrolujeme, či je možné vyňať spoločný faktor zo zátvoriek. Existuje spoločný faktor, rovná sa a. Vyberme to zo zátvoriek:
V zátvorkách sú dva pojmy. Skontrolujeme, či existuje vzorec na rozdiel štvorcov alebo rozdielu kociek. a² je druhá mocnina a, 1=1². Takže výraz v zátvorkách možno napísať podľa vzorca rozdielu štvorcov:
Existuje spoločný faktor, rovná sa 5. Vyberieme ho zo zátvoriek:
v zátvorkách sú tri pojmy. Skontrolujte, či je výraz dokonalý štvorec. Dva členy sú druhé mocniny: 16=4² a a² je druhá mocnina a, tretí člen sa rovná dvojnásobku súčinu 4 a a: 2∙4∙a=8a. Preto je to dokonalé námestie. Keďže všetky výrazy sú označené znamienkom „+“, výraz v zátvorkách predstavuje celú druhú mocninu súčtu:
Spoločný faktor -2x je vyňatý zo zátvoriek:
V zátvorkách je súčet dvoch výrazov. Skontrolujeme, či daný výraz je súčtom kociek. 64 = 4³, x³-kocka x. Takže binomický prvok možno rozšíriť podľa vzorca:
Existuje spoločný faktor. Ale keďže polynóm pozostáva zo 4 členov, najprv a až potom vytiahneme spoločný faktor zo zátvoriek. Prvý výraz zoskupujeme so štvrtým, v druhom - s tretím:
Z prvých zátvoriek vyberieme spoločný faktor 4a, z druhej - 8b:
Spoločný násobiteľ zatiaľ neexistuje. Aby sme to dosiahli, z druhých zátvoriek vyberieme zátvorky „-“, pričom každý znak v zátvorkách sa zmení na opačný:
Teraz vyberieme spoločný faktor (1-3a) zo zátvoriek:
V druhých zátvorkách je spoločný faktor 4 (to je ten istý faktor, ktorý sme nevyňali zo zátvoriek na začiatku príkladu):
Keďže polynóm pozostáva zo štyroch členov, vykonáme zoskupovanie. Prvý člen zoskupujeme s druhým, tretí so štvrtým:
V prvých zátvorkách nie je spoločný faktor, ale existuje vzorec pre rozdiel druhých mocnín, v druhých zátvorkách je spoločný faktor -5:
Objavil sa spoločný faktor (4m-3n). Vyberieme to zo zátvoriek.
Uvádza sa 8 príkladov faktorizácie polynómov. Zahŕňajú príklady riešenia kvadratických a bikvadratických rovníc, príklady rekurzívnych polynómov a príklady hľadania celých koreňov polynómov tretieho a štvrtého stupňa.
1. Príklady s riešením kvadratickej rovnice
Príklad 1.1
X 4 + x 3 - 6 x 2.
Riešenie
Vytiahnite x 2
pre zátvorky:
.
2 + x - 6 = 0:
.
Korene rovnice:
, .
.
Odpoveď
Príklad 1.2
Faktorizácia polynómu tretieho stupňa:
X 3 + 6 x 2 + 9 x.
Riešenie
Vyberieme x zo zátvoriek:
.
Riešime kvadratickú rovnicu x 2 + 6 x + 9 = 0:
Jeho diskriminant je .
Keďže diskriminant sa rovná nule, korene rovnice sú násobky: ;
.
Odtiaľ dostaneme rozklad polynómu na faktory:
.
Odpoveď
Príklad 1.3
Rozloženie polynómu piateho stupňa:
X 5 – 2 x 4 + 10 x 3.
Riešenie
Vytiahnite x 3
pre zátvorky:
.
Riešime kvadratickú rovnicu x 2 - 2 x + 10 = 0.
Jeho diskriminant je .
Od diskriminačného menej ako nula, potom sú korene rovnice zložité: ;
, .
Faktorizácia polynómu má tvar:
.
Ak máme záujem o faktoring s reálnymi koeficientmi, potom:
.
Odpoveď
Príklady faktorizácie polynómov pomocou vzorcov
Príklady s bikvadratickými polynómami
Príklad 2.1
Rozlož bikvadratický polynóm na faktor:
X 4 + x 2 - 20.
Riešenie
Použite vzorce:
a 2 + 2 ab + b 2 = (a + b) 2;
a 2 - b 2 = (a - b) (a + b).
;
.
Odpoveď
Príklad 2.2
Faktorizácia polynómu, ktorý sa redukuje na bikvadratický:
X 8 + x 4 + 1.
Riešenie
Použite vzorce:
a 2 + 2 ab + b 2 = (a + b) 2;
a 2 - b 2 = (a - b) (a + b):
;
;
.
Odpoveď
Príklad 2.3 s rekurzívnym polynómom
Faktorizácia rekurzívneho polynómu:
.
Riešenie
Rekurzívny polynóm má nepárny stupeň. Preto má koreň x = - 1
. Polynóm delíme x - (-1) = x + 1. V dôsledku toho dostaneme:
.
Robíme náhradu:
, ;
;
;
.
Odpoveď
Príklady faktoringu polynómov s odmocninou celého čísla
Príklad 3.1
Rozloženie polynómu:
.
Riešenie
Predpokladajme rovnicu
6
-6, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 6
.
(-6) 3 - 6 (-6) 2 + 11 (-6) - 6 = -504;
(-3) 3 - 6 (-3) 2 + 11 (-3) - 6 = -120;
(-2) 3 - 6 (-2) 2 + 11 (-2) - 6 = -60;
(-1) 3 - 6 (-1) 2 + 11 (-1) - 6 = -24;
1 3 - 6 1 2 + 11 1 - 6 = 0;
2 3 - 6 2 2 + 11 2 - 6 = 0;
3 3 – 6 3 2 + 11 3 – 6 = 0;
6 3 - 6 6 2 + 11 6 - 6 = 60.
Takže sme našli tri korene:
X 1 = 1
, X 2 = 2
, X 3 = 3
.
Keďže pôvodný polynóm je tretieho stupňa, nemá viac ako tri korene. Keďže sme našli tri korene, sú jednoduché. Potom
.
Odpoveď
Príklad 3.2
Rozloženie polynómu:
.
Riešenie
Predpokladajme rovnicu
má aspoň jeden koreň celého čísla. Potom je to deliteľ čísla 2
(člen bez x ). To znamená, že celý koreň môže byť jedným z čísel:
-2, -1, 1, 2
.
Nahraďte tieto hodnoty jednu po druhej:
(-2) 4 + 2 (-2) 3 + 3 (-2) 3 + 4 (-2) + 2 = 6
;
(-1) 4 + 2 (-1) 3 + 3 (-1) 3 + 4 (-1) + 2 = 0
;
1 4 + 2 1 3 + 3 1 3 + 4 1 + 2 = 12;
2 4 + 2 2 3 + 3 2 3 + 4 2 + 2 = 54
.
Ak predpokladáme, že táto rovnica má celočíselný koreň, potom je deliteľom čísla 2
(člen bez x ). To znamená, že celý koreň môže byť jedným z čísel:
1, 2, -1, -2
.
Nahradiť x = -1
:
.
Takže sme našli ďalší koreň x 2
= -1
. Bolo by možné, ako v predchádzajúcom prípade, rozdeliť polynóm číslom , ale zoskupíme členy:
.
Keďže rovnica x 2 + 2 = 0 nemá skutočné korene, potom má rozklad polynómu tvar.
