Mikä on tasakylkinen puolisuunnikas? Tämä on geometrinen kuvio, jonka vastakkaiset ei-rinnakkaiset sivut ovat yhtä suuret. Trapetsin alueen löytämiseksi on useita erilaisia ​​kaavoja erilaisia ​​ehtoja tehtävissä annettuja. Toisin sanoen pinta-ala löytyy, jos korkeus, sivut, kulmat, lävistäjät jne. on annettu. On myös mahdotonta puhua siitä, että tasakylkisille puolisuunnikkaan on olemassa joitain "poikkeuksia", joiden ansiosta alueen haku ja itse kaava yksinkertaistuvat huomattavasti. Kuvailtu alla yksityiskohtaisia ​​ratkaisuja jokaisessa tapauksessa esimerkkejä.

Tarvittavat ominaisuudet tasakylkisen puolisuunnikkaan alueen löytämiseksi

Olemme jo havainneet, että geometrinen kuvio, jolla on vastakkaiset, ei yhdensuuntaiset, mutta yhtä suuret sivut, on puolisuunnikkaan ja lisäksi tasakylkinen. On erikoistapauksia, joissa puolisuunnikkaan katsotaan olevan tasakylkinen.

• Nämä ovat yhtäläisten kulmien ehdot. Joten, pakollinen kohta: kulmien pohjassa (ota alla oleva kuva) on oltava yhtä suuri. Meidän tapauksessamme kulma BAD = kulma CDA ja kulma ABC = kulma BCD
• Toinen tärkeä sääntö- tällaisessa puolisuunnikkaan lävistäjän on oltava yhtä suuri. Siksi AC = BD.
• Kolmas näkökohta: puolisuunnikkaan vastakkaisten kulmien tulisi olla 180 astetta. Tämä tarkoittaa, että kulma ABC + kulma CDA = 180 astetta. Kulmilla BCD ja BAD samalla tavalla.
• Neljänneksi, jos puolisuunnikas sallii ympyrän kuvaamisen sen ympärillä, se on tasakylkinen.

Kuinka löytää tasakylkisen puolisuunnikkaan pinta-ala - kaavat ja niiden kuvaus

• S = (a + b) h / 2 - tämä on yleisin kaava alueen löytämiseksi, missä a - pohjapohja b on yläpohja ja h on korkeus.

• Jos korkeutta ei tunneta, voit etsiä sitä käyttämällä samanlaista kaavaa: h \u003d c * sin (x), jossa c on joko AB tai CD. sin(x) on kulman sini missä tahansa kannassa, eli kulma DAB = kulma CDA = x. Kaava näyttää lopulta tältä: S = (a+b)*с*sin(x)/2.
• Korkeus voidaan löytää myös tällä kaavalla:

• Lopullinen kaava näyttää tältä:

• Neliö tasakylkinen puolisuunnikas löytyy sekä keskilinjalta että korkeudelta. Kaava on: S = mh.

Harkitse ehtoa, kun ympyrä on piirretty puolisuunnikkaan.

Kuvassa näkyvässä tapauksessa

QN = D = H - ympyrän halkaisija ja samalla puolisuunnikkaan korkeus;

LO, ON, OQ = R ovat ympyrän säteet;

DC = a - ylempi kanta;

AB = b - alempi kanta;

DAB, ABC, BCD, CDA - alfa, beta - puolisuunnikkaan kantakulmat.

Samanlainen tapaus mahdollistaa alueen löytämisen seuraavilla kaavoilla:

• Yritetään nyt löytää alue diagonaalien läpi ja niiden väliset kulmat.

Merkitse kuvassa AC, DB - diagonaalit - d. Kulmat COB, DOB - alfa; DOC, AOB - beta. Tasakylkisen puolisuunnikkaan pinta-alan kaava diagonaaleissa ja niiden välisessä kulmassa, ( S ) On:

Viime vuoden USE:n ja GIA:n käytäntö osoittaa, että geometriaongelmat aiheuttavat vaikeuksia monille opiskelijoille. Voit selviytyä niistä helposti, jos opettelet ulkoa kaikki tarvittavat kaavat ja harjoittelet ongelmien ratkaisemista.

Tässä artikkelissa näet kaavoja puolisuunnikkaan alueen löytämiseksi sekä esimerkkejä ratkaisuihin liittyvistä ongelmista. Samoja voi kohdata KIM:issä sertifiointikokeissa tai olympialaisissa. Siksi käsittele niitä huolellisesti.

Mitä sinun tulee tietää trapetsista?

Aluksi muistetaan se trapetsi kutsutaan nelikulmiota, jossa kaksi vastakkaista puolta, joita kutsutaan myös kantaksi, ovat yhdensuuntaisia ​​ja kaksi muuta eivät ole.

Puolisuunnikkaan korkeus (suoraan pohjaan nähden) voidaan myös jättää pois. Keskiviiva piirretään - tämä on suora viiva, joka on yhdensuuntainen kantojen kanssa ja on yhtä suuri kuin puolet niiden summasta. Sekä lävistäjät, jotka voivat risteämään muodostaen teräviä ja tylpät kulmat. Tai joissain tapauksissa suorassa kulmassa. Lisäksi, jos puolisuunnikkaan on tasakylkinen, siihen voidaan piirtää ympyrä. Ja kuvaile ympyrää sen ympärillä.

Puolisuunnikkaan pinta-alan kaavat

Harkitse ensin standardikaavoja puolisuunnikkaan alueen löytämiseksi. Alla tarkastellaan tapoja laskea tasakylkisten ja kaarevien puolisuunnikkaan pinta-ala.

Kuvittele siis, että sinulla on puolisuunnikkaan kantat a ja b, joissa korkeus h on laskettu suurempaan kantaan. Tässä tapauksessa kuvion pinta-alan laskeminen on helppoa. Sinun tarvitsee vain jakaa kahdella pohjan pituuksien summa ja kertoa se, mitä tapahtuu korkeudella: S = 1/2(a + b)*h.

Otetaan toinen tapaus: oletetaan, että puolisuunnikkaan korkeuden lisäksi on mediaaniviiva m. Tiedämme kaavan keskiviivan pituuden löytämiseksi: m = 1/2(a + b). Siksi voimme oikeutetusti yksinkertaistaa puolisuunnikkaan pinta-alan kaavaa seuraavanlaista: S = m * h. Toisin sanoen puolisuunnikkaan alueen löytämiseksi sinun on kerrottava keskiviiva korkeudella.

Tarkastellaan vielä yhtä vaihtoehtoa: puolisuunnikkaan piirretään lävistäjät d 1 ja d 2, jotka eivät leikkaa suorassa kulmassa α. Tällaisen puolisuunnikkaan alueen laskemiseksi sinun on puolitettava diagonaalien tulo ja kerrottava saamasi kulman synnillä niiden välillä: S = 1/2 d 1 d 2 *sina.

Harkitse nyt kaavaa puolisuunnikkaan alueen löytämiseksi, jos siitä ei tiedetä mitään paitsi sen kaikkien sivujen pituudet: a, b, c ja d. Tämä on hankala ja monimutkainen kaava, mutta sinun on hyödyllistä muistaa se joka tapauksessa: S \u003d 1/2 (a + b) * √c 2 - ((1/2 (b - a)) * ((b - a) 2 + c 2 - d 2)) 2.

Muuten, yllä olevat esimerkit pätevät myös silloin, kun tarvitset pinta-alakaavaa suorakaiteen muotoinen trapetsi. Tämä on puolisuunnikkaan muotoinen sivu, jonka sivu liittyy pohjaan suorassa kulmassa.

Tasakylkinen puolisuunnikas

Puolisuunnikasta, jonka sivut ovat yhtä suuret, kutsutaan tasakylkiseksi. Tarkastelemme tasakylkisen puolisuunnikkaan alueen kaavan useita muunnelmia.

Ensimmäinen vaihtoehto: tapaukseen, jossa ympyrä, jonka säde on r, on kirjoitettu tasakylkisen puolisuunnikkaan sisään ja sivusivu ja suurempi kanta muodostavat terävä kulma a. Ympyrä voidaan piirtää puolisuunnikkaan, jos sen kannan pituuksien summa on yhtä suuri kuin sivujen pituuksien summa.

Tasakylkisen puolisuunnikkaan pinta-ala lasketaan seuraavasti: kerro ympyrän säteen neliö neljällä ja jaa se kaikki sinα:lla: S = 4r2/sina. Toinen aluekaava on erikoistapaus vaihtoehdolle, kun suuren alustan ja sivun välinen kulma on 30 0: S = 8r2.

Toinen vaihtoehto: tällä kertaa otamme tasakylkisen puolisuunnikkaan, johon lisäksi piirretään diagonaalit d 1 ja d 2 sekä korkeus h. Jos puolisuunnikkaan diagonaalit ovat keskenään kohtisuorassa, korkeus on puolet kantajen summasta: h = 1/2(a + b). Tämän tietäen on helppo muuntaa sinulle jo tuttu puolisuunnikkaan pintakaava tähän muotoon: S = h2.

Kaareva puolisuunnikkaan pinta-alan kaava

Aloitetaan ymmärtämällä: mikä on kaareva puolisuunnikkaan muoto. Kuvittele koordinaattiakseli ja kuvaaja jatkuvasta ja ei-negatiivisesta funktiosta f, joka ei muuta etumerkkiä tietyssä x-akselin segmentissä. Kaareva puolisuunnikkaan muodostaa funktion y \u003d f (x) kuvaaja - ylhäällä, x-akseli - alhaalla (segmentti) ja sivuilla - pisteiden a ja b väliin vedetyt suorat viivat sekä kaavio funktiosta.

On mahdotonta laskea tällaisen epätyypillisen kuvan pinta-alaa yllä olevilla menetelmillä. Tässä sinun on käytettävä matemaattista analyysiä ja käytettävä integraalia. Nimittäin Newton-Leibnizin kaava - S = ∫ b a f(x)dx = F(x)│ b a = F(b) – F(a). Tässä kaavassa F on funktiomme antiderivaata valitulla aikavälillä. Ja alue kaareva trapetsi vastaa antiderivaatin lisäystä annetulla aikavälillä.

Tehtäväesimerkkejä

Jotta kaikki nämä kaavat olisivat parempia päässäsi, tässä on joitain esimerkkejä ongelmista puolisuunnikkaan alueen löytämisessä. Olisi parasta, jos yrität ensin ratkaista ongelmat itse ja vasta sitten tarkistat saamasi vastauksen valmiilla ratkaisulla.

Tehtävä 1: Annettu puolisuunnikkaan. Sen suurempi pohja on 11 cm, pienempi on 4 cm. Trapetsissa on diagonaalit, joista toinen on 12 cm pitkä, toinen 9 cm pitkä.

Ratkaisu: Rakenna puolisuunnikkaan AMRS. Piirrä viiva RX kärjen P kautta niin, että se on yhdensuuntainen diagonaalin MC kanssa ja leikkaa suoran AC pisteessä X. Saat kolmion APX.

Tarkastellaan kahta näiden manipulaatioiden tuloksena saatua kuviota: kolmiota APX ja suuntaviivaa CMPX.

Suunnikkaan ansiosta opimme, että PX = MC = 12 cm ja CX = MP = 4 cm. Mistä voimme laskea kolmion ARCH sivun AX: AX \u003d AC + CX \u003d 11 + 4 \u003d 15 cm.

Voimme myös todistaa, että kolmio ARCH on suorakulmainen (tehdäksesi tämän, käytä Pythagoraan lausetta - AX 2 \u003d AP 2 + PX 2). Ja laske sen pinta-ala: S APX \u003d 1/2 (AP * PX) \u003d 1/2 (9 * 12) \u003d 54 cm 2.

Seuraavaksi sinun on todistettava, että kolmiot AMP ja PCX ovat pinta-alaltaan yhtä suuret. Perustana on puolien MP ja CX tasa-arvo (jo todistettu edellä). Ja myös korkeudet, jotka lasket näillä sivuilla - ne ovat yhtä suuria kuin AMRS-suunnikkaan korkeus.

Kaiken tämän avulla voit väittää, että S AMPC \u003d S APX \u003d 54 cm 2.

Tehtävä #2: Annettu puolisuunnikkaan muotoinen KRMS. Pisteet O ja E sijaitsevat sen sivuilla, kun taas OE ja KS ovat yhdensuuntaiset. Tiedetään myös, että puolisuunnikkaan ORME:n ja OXE:n pinta-alat ovat suhteessa 1:5. PM = a ja KS = b. Sinun täytyy löytää OE.

Ratkaisu: Piirrä pisteen M kautta RK:n suuntainen suora ja määritä sen leikkauspiste OE:n kanssa T:ksi. A on pisteen E kautta piirretyn suoran leikkauspiste RK:n suuntaisesti KS:n kannan kanssa.

Esitetään vielä yksi merkintä - OE = x. Sekä korkeus h 1 kolmiolle TME ja korkeus h 2 kolmiolle AEC (voit todistaa itsenäisesti näiden kolmioiden samankaltaisuuden).

Oletetaan, että b > a. Puolisuunnikkaan ORME ja OXE alueet ovat suhteessa 1:5, mikä antaa meille oikeuden muodostaa seuraava yhtälö: (x + a) * h 1 \u003d 1/5 (b + x) * h 2. Muunnetaan ja saadaan: h 1 / h 2 \u003d 1/5 * ((b + x) / (x + a)).

Koska kolmiot TME ja AEC ovat samanlaisia, meillä on h 1 / h 2 = (x - a) / (b - x). Yhdistä molemmat merkinnät ja saa: (x - a) / (b - x) \u003d 1/5 * ((b + x) / (x + a)) ↔ 5 (x - a) (x + a) \u003d (b + x) (b - x) ↔ 5 (x 2 - a 2) \u003d (b 2 - x 2) ↔ 6x 2 \u003d b 2 + 5a 2 ↔ x \u003d √ (5a 2 + b 2) / 6.

Siten OE \u003d x \u003d √ (5a 2 + b 2) / 6.

Johtopäätös

Geometria ei ole tieteistä helpoin, mutta selviät varmasti koetehtävistä. Valmistautuminen vaatii vain hieman kärsivällisyyttä. Ja tietysti muista kaikki tarvittavat kaavat.

Yritimme koota yhteen paikkaan kaikki puolisuunnikkaan pinta-alan laskentakaavat, jotta voit käyttää niitä kokeisiin valmistautuessasi ja materiaalia toistettaessa.

Muista kertoa luokkatovereillesi ja ystävillesi tästä artikkelista sosiaalisissa verkostoissa. Päästää hyviä arvosanoja tulee lisää USE:lle ja GIA:lle!

Sivusto, jossa materiaali kopioidaan kokonaan tai osittain, linkki lähteeseen vaaditaan.

Jotta voit tuntea olosi itsevarmaksi ja ratkaista ongelmat onnistuneesti geometrian tunneilla, ei riitä kaavojen oppiminen. Ne on ensin ymmärrettävä. Pelkääminen ja varsinkin kaavojen vihaaminen on tehotonta. Tässä artikkelissa analysoidaan erilaisia ​​tapoja löytää puolisuunnikkaan pinta-ala saavutettavalla kielellä. Vastaavien sääntöjen ja lauseiden ymmärtämiseksi paremmin kiinnitämme huomiota sen ominaisuuksiin. Tämä auttaa sinua ymmärtämään, miten säännöt toimivat ja missä tapauksissa tiettyjä kaavoja tulisi soveltaa.

Määrittele puolisuunnikkaan muoto

Mikä tämä luku yleensä on? Puolisuunnikas on monikulmio, jossa on neljä kulmaa ja kaksi yhdensuuntaista sivua. Trapetsin kaksi muuta sivua voidaan kallistaa eri kulmiin. Sen yhdensuuntaisia ​​sivuja kutsutaan pohjaksi, ja ei-rinnakkaisille sivuille käytetään nimeä "sivut" tai "lantio". Tällaiset luvut ovat melko yleisiä jokapäiväinen elämä. Trapetsin ääriviivat näkyvät vaatteiden, sisustustavaroiden, huonekalujen, astioiden ja monien muiden siluetteissa. Trapetsi tapahtuu eri tyyppejä: monipuolinen, tasakylkinen ja suorakaiteen muotoinen. Analysoimme niiden tyyppejä ja ominaisuuksia yksityiskohtaisemmin myöhemmin artikkelissa.

Trapetsin ominaisuudet

Tarkastellaanpa lyhyesti tämän kuvion ominaisuuksia. Minkä tahansa sivun viereisten kulmien summa on aina 180°. On huomattava, että puolisuunnikkaan kaikki kulmat ovat 360°. Trapetsilla on käsite keskiviivasta. Jos yhdistät sivujen keskipisteet segmentillä, tämä on keskiviiva. Se on merkitty m. Keskiviivalla on tärkeitä ominaisuuksia: se on aina yhdensuuntainen kantojen kanssa (muistamme, että kannat ovat myös yhdensuuntaiset toistensa kanssa) ja yhtä suuri kuin niiden puolisumma:

Tämä määritelmä on opittava ja ymmärrettävä, koska se on avain monien ongelmien ratkaisemiseen!

Puolisuunnikkaan voit aina laskea korkeutta alustaan. Korkeus on kohtisuora, jota usein merkitään symbolilla h ja joka piirretään mistä tahansa tukikohdan pisteestä toiseen kantaan tai sen jatkeeseen. Keskiviiva ja korkeus auttavat sinua löytämään puolisuunnikkaan alueen. Tällaiset tehtävät ovat yleisimpiä koulun geometrian kurssilla ja niitä esiintyy säännöllisesti tarkistus- ja koepapereissa.

Yksinkertaisimmat kaavat puolisuunnikkaan pinta-alalle

Katsotaanpa kahta suosituinta yksinkertaisia ​​kaavoja löytääksesi puolisuunnikkaan alueen. Riittää, kun kerrot korkeuden puolella pohjan summasta löytääksesi helposti etsimäsi:

S = h*(a + b)/2.

Tässä kaavassa a, b tarkoittavat puolisuunnikkaan kantaa, h - korkeutta. Luettavuuden vuoksi tässä artikkelissa kertomerkit on merkitty kaavoissa symbolilla (*), vaikka virallisissa hakuteoksissa kertomerkki yleensä jätetään pois.

Harkitse esimerkkiä.

Annettu: puolisuunnikkaan kaksi kantaa 10 ja 14 cm, korkeus 7 cm. Mikä on puolisuunnikkaan pinta-ala?

Analysoidaan ratkaisu tähän ongelmaan. Tämän kaavan avulla sinun on ensin löydettävä kantajen puolisumma: (10 + 14) / 2 \u003d 12. Eli puolisumma on 12 cm. Nyt kerromme puolisumman korkeudella: 12 * 7 \u003d 84. Haluttu löytyy. Vastaus: Trapetsin pinta-ala on 84 neliömetriä. cm.

Toinen tunnettu kaava sanoo: puolisuunnikkaan pinta-ala on yhtä suuri kuin puolisuunnikkaan keskiviivan ja korkeuden tulo. Eli se itse asiassa seuraa edellisestä keskiviivan käsitteestä: S=m*h.

Diagonaalien käyttäminen laskelmissa

Toinen tapa löytää puolisuunnikkaan pinta-ala ei itse asiassa ole niin vaikeaa. Se on yhdistetty diagonaaleillaan. Tämän kaavan mukaan alueen löytämiseksi on kerrottava sen diagonaalien puolitulo (d 1 d 2) niiden välisen kulman sinillä:

S = ½ d 1 d 2 sin a.

Harkitse ongelmaa, joka osoittaa tämän menetelmän soveltamisen. Annettu: puolisuunnikkaan, jonka diagonaalin pituus on 8 ja 13 cm, lävistäjien välinen kulma a on 30°. Etsi puolisuunnikkaan pinta-ala.

Ratkaisu. Yllä olevan kaavan avulla on helppo laskea, mitä tarvitaan. Kuten tiedät, sin 30 ° on 0,5. Siksi S = 8*13*0,5=52. Vastaus: Pinta-ala on 52 neliömetriä. cm.

Etsitään tasakylkisen puolisuunnikkaan pinta-alaa

Trapetsi voi olla tasakylkinen (tasakylkinen). Sen sivut ovat samat Ja kulmat pohjissa ovat yhtä suuret, mikä näkyy hyvin kuvassa. Tasakylkisellä puolisuunnikkaalla on samat ominaisuudet kuin tavallisella puolisuunnikkaalla ja lisäksi useita erityisiä ominaisuuksia. Tasakylkisen puolisuunnikkaan ympärille voidaan piirtää ympyrä ja siihen voidaan piirtää ympyrä.

Millä menetelmillä tällaisen luvun pinta-ala lasketaan? Alla oleva menetelmä vaatii paljon laskelmia. Käyttääksesi sitä, sinun on tiedettävä puolisuunnikkaan pohjan kulman sinin (sin) ja kosinin (cos) arvot. Niiden laskelmat vaativat joko Bradis-taulukoita tai tekninen laskin. Tässä on kaava:

S= c*synti a*(a - c* cos a),

missä Kanssa- lateraalinen reisi a- kulma alapohjassa.

Tasakylkisellä puolisuunnikkaalla on samanpituiset diagonaalit. Päinvastoin on myös totta: jos puolisuunnikkaan lävistäjät ovat yhtä suuret, niin se on tasakylkinen. Täältä seuraava kaava, auttaa löytämään puolisuunnikkaan alueen - lävistäjien neliön puolikastulo ja niiden välisen kulman sini: S \u003d ½ d 2 sin a.

Suorakaiteen muotoisen puolisuunnikkaan alueen löytäminen

Tiedetään suorakaiteen muotoisen puolisuunnikkaan erikoistapaus. Tämä on puolisuunnikkaan muotoinen, jossa toinen sivu (hänen reisi) on tyvien vieressä suorassa kulmassa. Sillä on tavallisen puolisuunnikkaan ominaisuudet. Lisäksi hänellä on erittäin mielenkiintoinen ominaisuus. Tällaisen puolisuunnikkaan lävistäjien neliöiden ero on yhtä suuri kuin sen kantajen neliöiden ero. Sitä varten käytetään kaikkia aiemmin annettuja pinta-alan laskentamenetelmiä.

Nerouden soveltaminen

On yksi temppu, joka voi auttaa, jos tietyt kaavat unohtuvat. Katsotaanpa tarkemmin, mikä puolisuunnikkaan on. Jos jaamme sen henkisesti osiin, saamme tuttuja ja ymmärrettäviä geometrisia muotoja: neliön tai suorakulmion ja kolmion (yksi tai kaksi). Jos tiedät puolisuunnikkaan korkeuden ja sivut, voit käyttää kaavoja kolmion ja suorakulmion pinta-alalle ja laskea sitten yhteen kaikki saadut arvot.

Havainnollistetaan tätä seuraavalla esimerkillä. Annettu suorakaiteen muotoinen puolisuunnikkaan muotoinen. Kulma C = 45°, kulmat A, D ovat 90°. Puolisuunnikkaan yläpohja on 20 cm, korkeus 16 cm. On laskettava kuvion pinta-ala.

Tämä kuva koostuu ilmeisesti suorakulmiosta (jos kaksi kulmaa ovat 90°) ja kolmiosta. Koska puolisuunnikas on suorakaiteen muotoinen, sen korkeus on yhtä suuri kuin sen sivu, eli 16 cm. Meillä on suorakulmio, jonka sivut ovat vastaavasti 20 ja 16 cm. Tarkastellaan nyt kolmiota, jonka kulma on 45°. Tiedämme, että yksi sen sivuista on 16 cm. Koska tämä sivu on myös puolisuunnikkaan korkeus (ja tiedämme, että korkeus putoaa alustalle suorassa kulmassa), kolmion toinen kulma on siis 90°. Kolmion jäljellä oleva kulma on siis 45°. Tämän seurauksena saamme suorakulmaisen tasakylkisen kolmion, jossa kaksi sivua ovat samat. Tämä tarkoittaa, että kolmion toinen puoli on yhtä suuri kuin korkeus, eli 16 cm. On vielä laskettava kolmion ja suorakulmion pinta-ala ja laskettava saadut arvot.

Suorakulmaisen kolmion pinta-ala on puolet sen jalkojen tulosta: S = (16*16)/2 = 128. Suorakulmion pinta-ala on yhtä suuri kuin sen leveyden ja pituuden tulo: S = 20*16 = 320. Löysimme tarvittavan: puolisuunnikkaan pinta-ala S = 128 + 320 = 448 neliömetriä. Katso. Voit helposti tarkistaa itsesi käyttämällä yllä olevia kaavoja, vastaus on identtinen.

Käytämme Pick-kaavaa

Lopuksi esittelemme vielä yhden alkuperäisen kaavan, joka auttaa löytämään puolisuunnikkaan alueen. Sitä kutsutaan Pick-kaavaksi. Sitä on kätevä käyttää, kun puolisuunnikas on piirretty ruudulliselle paperille. Samanlaisia ​​tehtäviä löytyy usein GIA:n materiaaleista. Se näyttää tältä:

S \u003d M / 2 + N - 1,

tässä kaavassa M on solmujen lukumäärä, ts. kuvion viivojen leikkauspisteet solun viivojen kanssa puolisuunnikkaan reunoilla (oranssit pisteet kuvassa), N on kuvion sisällä olevien solmujen lukumäärä (siniset pisteet). On kätevintä käyttää sitä, kun etsitään epäsäännöllisen monikulmion aluetta. Kuitenkin mitä suurempi on käytettyjen tekniikoiden arsenaali, sitä vähemmän virheitä ja sitä parempia tuloksia.

Tietenkin annetut tiedot eivät ole kaukana puolisuunnikkaan tyypeistä ja ominaisuuksista sekä menetelmistä sen alueen löytämiseksi. Tämä artikkeli antaa yleiskatsauksen sen tärkeimmistä ominaisuuksista. Geometristen ongelmien ratkaisemisessa on tärkeää toimia asteittain, aloittaa helpoista kaavoista ja ongelmista, lujittaa johdonmukaisesti ymmärrystä ja siirtyä toiselle monimutkaisuuden tasolle.

Yleisimmät kaavat koottuna auttavat opiskelijoita navigoimaan eri tavoissa laskea puolisuunnikkaan pinta-ala ja valmistautua paremmin kokeisiin ja valvoa työtä tässä aiheessa.

Ohje

Jotta molemmat menetelmät olisivat ymmärrettävämpiä, voidaan antaa pari esimerkkiä.

Esimerkki 1: puolisuunnikkaan keskiviivan pituus on 10 cm, sen pinta-ala on 100 cm². Tämän puolisuunnikkaan korkeuden löytämiseksi sinun on tehtävä:

h = 100/10 = 10 cm

Vastaus: tämän puolisuunnikkaan korkeus on 10 cm

Esimerkki 2: puolisuunnikkaan pinta-ala on 100 cm², jalustan pituudet 8 cm ja 12 cm. Tämän puolisuunnikkaan korkeuden selvittämiseksi sinun on suoritettava toiminto:

h \u003d (2 * 100) / (8 + 12) \u003d 200/20 \u003d 10 cm

Vastaus: tämän puolisuunnikkaan korkeus on 20 cm

merkintä

Trapetsioita on useita tyyppejä:
Tasakylkinen puolisuunnikas on puolisuunnikkaan, jonka sivut ovat yhtä suuret.
Oikea puolisuunnikas on puolisuunnikkaan, jonka yksi sisäkulmista on 90 astetta.
On syytä huomata, että suorakaiteen muotoisessa puolisuunnikkaan korkeus on sama kuin sivun pituus oikea kulma.
Ympyrä voidaan kuvata puolisuunnikkaan ympärille tai se voidaan kirjoittaa tietyn kuvion sisään. Ympyrä voidaan piirtää vain, jos sen kantakohtien summa on yhtä suuri kuin sen vastakkaisten sivujen summa. Ympyrä voidaan kuvata vain tasakylkisen puolisuunnikkaan ympärillä.

Hyödyllisiä neuvoja

Suunnikkapiirros on puolisuunnikkaan erikoistapaus, koska suunnikkaan määritelmä ei ole ristiriidassa suunnikkaan määritelmän kanssa. Suuntaviiva on nelikulmio, jonka vastakkaiset sivut ovat yhdensuuntaiset toistensa kanssa. Puolisuunnikkaan määritelmässä puhumme vain sen sivuparista. Siksi mikä tahansa suunnikas on myös puolisuunnikkaan muotoinen. Päinvastoin ei pidä paikkaansa.

Lähteet:

• kuinka löytää puolisuunnikkaan kaavan pinta-ala

Vinkki 2: Kuinka löytää puolisuunnikkaan korkeus, jos tiedät alueen

Puolisuunnikas on nelikulmio, jonka kaksi sen neljästä sivusta ovat yhdensuuntaisia ​​toistensa kanssa. Yhdensuuntaiset sivut ovat tämän pohjat, kaksi muuta ovat annetun sivuja trapetsi. löytö korkeus trapetsi jos se tiedetään neliö-, tulee olemaan erittäin helppoa.

Ohje

Meidän on selvitettävä, kuinka laskea neliö- alkukirjain trapetsi. Tätä varten useita kaavoja lähtötiedoista riippuen: S = ((a + b) * h) / 2, missä a ja b ovat emäksiä trapetsi, ja h on sen korkeus (Height trapetsi- yhdestä alustasta pudonnut kohtisuora trapetsi toiselle);
S = m*h, missä m on suora trapetsi(Keskiviiva - segmentti, kannat trapetsi ja yhdistää sen sivujen keskipisteet).

Selvyyden vuoksi voidaan harkita seuraavia tehtäviä: Esimerkki 1: annetaan puolisuunnikkaan muoto, jossa neliö- 68 cm², jonka keskimääräinen viiva on 8 cm, sinun on löydettävä korkeus annettu trapetsi. Tämän ongelman ratkaisemiseksi sinun on käytettävä aiemmin johdettua kaavaa:
h \u003d 68/8 \u003d 8,5 cm Vastaus: tämän korkeus trapetsi on 8,5 cm Esimerkki 2: Olkoon y trapetsi neliö- vastaa 120 cm², tämän pohjan pituudet trapetsi 8 cm ja 12 cm, sinun täytyy löytää korkeus Tämä trapetsi. Voit tehdä tämän käyttämällä jotakin johdetuista kaavoista:
h \u003d (2 * 120) / (8 + 12) \u003d 240/20 \u003d 12 cm Vastaus: annetun korkeus trapetsi yhtä suuri kuin 12 cm

Liittyvät videot

merkintä

Jokaisella trapetsilla on useita ominaisuuksia:

Puolisuunnikkaan keskiviiva on puolet sen kantojen summasta;

Jana, joka yhdistää puolisuunnikkaan diagonaalit, on yhtä suuri kuin puolet sen kantojen erosta;

Jos kannan keskipisteiden läpi vedetään suora viiva, se leikkaa puolisuunnikkaan diagonaalien leikkauspisteen;

Ympyrä voidaan kirjoittaa puolisuunnikkaan, jos tämän puolisuunnikkaan kantojen summa on yhtä suuri kuin sen sivujen summa.

Käytä näitä ominaisuuksia ratkaiseessasi ongelmia.

Vinkki 3: Kuinka löytää puolisuunnikkaan pinta-ala, jos kannat ovat tiedossa

Tekijä: geometrinen määritelmä Puolisuunnikas on nelikulmio, jossa on vain yksi pari yhdensuuntaisia ​​sivuja. Nämä puolet ovat häntä perusteita. Välimatka perusteita kutsutaan korkeudeksi trapetsi. löytö neliö- trapetsi voidaan tehdä geometristen kaavojen avulla.

Ohje

Mittaa pohjat ja trapetsi ABSD. Yleensä ne annetaan tehtävinä. Päästää sisään tämä esimerkki ongelmapohja AD (a) trapetsi on yhtä suuri kuin 10 cm, pohja BC (b) - 6 cm, korkeus trapetsi BK (h) - 8 cm Käytä geometrisia löytääksesi alueen trapetsi, jos sen kannan pituudet ja korkeudet tunnetaan - S= 1/2 (a+b)*h, missä: - a - AD-kannan arvo trapetsi ABCD, - b - kannan BC arvo, - h - korkeuden BK arvo.

On monia tapoja löytää puolisuunnikkaan pinta-ala. Yleensä matematiikan ohjaaja tietää useita menetelmiä sen laskemiseen, katsotaanpa niitä tarkemmin:
1) , jossa AD ja BC ovat kantaa ja BH on puolisuunnikkaan korkeus. Todistus: piirrä diagonaali BD ja ilmaise kolmioiden ABD ja CDB pinta-alat niiden kantan ja korkeuden puolitulona:

, jossa DP on ulkokorkeus in

Lisäämme nämä yhtäläisyydet termi kerrallaan ja koska BH:n ja DP:n korkeudet ovat yhtä suuret, saamme:

Otetaan se pois telineestä

Q.E.D.

Seuraus puolisuunnikkaan pinta-alan kaavasta:
Koska kantojen puolisumma on yhtä suuri kuin MN - puolisuunnikkaan keskiviiva, niin

2) Sovellus yleinen kaava nelikulmainen alue.
Nelikulman pinta-ala on puolet lävistäjien tulosta kerrottuna niiden välisen kulman sinillä
Sen todistamiseksi riittää, että puolisuunnikas jaetaan 4 kolmioon, ilmaistaan ​​kunkin pinta-ala "puolet lävistäjän tulosta ja niiden välisen kulman sinistä" (se otetaan kulmaksi , lisää tuloksena saadut lausekkeet, laita se pois suluista ja jaa tämä hakasulke tekijöiksi ryhmittelymenetelmällä saadaksesi sen yhtäläisyyden lausekkeen kanssa.

3) Diagonaalinen siirtomenetelmä
Tämä on tittelini. Koulun oppikirjoista matematiikan opettaja ei löydä tällaista otsikkoa. Vastaanoton kuvaus löytyy vain lisäosasta opetusvälineet esimerkkinä ongelman ratkaisemisesta. Huomaan, että matematiikan tutorit paljastavat suurimman osan mielenkiintoisista ja hyödyllisistä planimetrian faktoista opiskelijoille suorituksen aikana käytännön työ. Tämä on äärimmäisen alioptimaalista, koska opiskelijan täytyy erottaa ne erillisiksi lauseiksi ja kutsua niitä "isoiksi nimiksi". Yksi niistä on "diagonaalinen siirto". Mistä kysymyksessä?Piirretään AC:n suuntainen suora pisteen B kautta, kunnes se leikkaa alemman kantakohdan pisteessä E. Tässä tapauksessa nelikulmio EBCA on (määritelmän mukaan) suuntaviiva ja siksi BC=EA ja EB=AC. Olemme nyt huolissamme ensimmäisestä tasa-arvosta. Meillä on:

Huomaa, että kolmiolla BED, jonka pinta-ala on yhtä suuri kuin puolisuunnikkaan pinta-ala, on useita muita merkittäviä ominaisuuksia:
1) Sen pinta-ala on yhtä suuri kuin puolisuunnikkaan pinta-ala
2) Sen tasakylkiset esiintyvät samanaikaisesti itse puolisuunnikkaan tasakylkisten kanssa
3) Sen yläkulma kärjessä B on yhtä suuri kuin puolisuunnikkaan lävistäjien välinen kulma (jota käytetään usein tehtävissä)
4) Sen mediaani BK on yhtä suuri kuin puolisuunnikkaan kannan keskipisteiden välinen etäisyys QS. Törmäsin äskettäin tämän ominaisuuden käyttöön, kun valmistelin opiskelijaa Moskovan valtionyliopiston Mekhmatiin käyttämällä Tkachukin oppikirjaa, versio 1973 (tehtävä on annettu sivun alalaidassa).

Matematiikan ohjaajan erikoistarjoukset.

Joskus ehdotan tehtäviä erittäin hankalalla tavalla löytääkseen puolisuunnikkaan neliön. Liitän sen erityisliikkeisiin, koska käytännössä tutori käyttää niitä harvoin. Jos sinun on valmistauduttava matematiikan kokeeseen vain B-osassa, et voi lukea niistä. Muille kerron lisää. Osoittautuu, että puolisuunnikkaan pinta-ala on kaksinkertainen lisää aluetta kolmio, jonka kärjet ovat toisen sivun päissä ja toisen keskellä, eli kuvan ABS-kolmio:
Todistus: piirrä korkeudet SM ja SN kolmioihin BCS ja ADS ja ilmaise näiden kolmioiden pinta-alojen summa:

Koska piste S on CD:n keskipiste, niin (todista se itse) Etsitään kolmioiden pinta-alojen summa:

Koska tämä määrä osoittautui puoleksi puolisuunnikkaan pinta-alasta, sen toinen puolisko. Ch.t.d.

Sisällytäisin tasakylkisen puolisuunnikkaan pinta-alan laskentamuodon sen reunoja pitkin ohjaajan erikoisliikkeisiin: missä p on puolisuunnikkaan kehä. En anna todisteita. Muuten matematiikan opettajasi on työttömänä :). Tule tunnille!

Tehtävät puolisuunnikkaan alueelle:

Matematiikan opettajan huomautus: Alla oleva luettelo ei ole metodologinen tuki aiheelle, se on vain pieni valikoima mielenkiintoisia tehtäviä yllä oleville menetelmille.

1) Tasakylkisen puolisuunnikkaan alempi kanta on 13 ja ylempi 5. Selvitä puolisuunnikkaan pinta-ala, jos sen lävistäjä on kohtisuorassa sivuun nähden.
2) Laske puolisuunnikkaan pinta-ala, jos sen kantat ovat 2 cm ja 5 cm ja sivut 2 cm ja 3 cm.
3) Tasakylkisessä puolisuunnikkaan isompi kanta on 11, sivu on 5 ja lävistäjä on Etsi puolisuunnikkaan pinta-ala.
4) Tasakylkisen puolisuunnikkaan lävistäjä on 5 ja keskiviiva on 4. Etsi alue.
5) Tasakylkisessä puolisuunnikkaan kantat ovat 12 ja 20 ja diagonaalit ovat keskenään kohtisuorassa. Laske puolisuunnikkaan pinta-ala
6) Tasakylkisen puolisuunnikkaan diagonaali muodostaa kulman alemman kantansa kanssa. Etsi puolisuunnikkaan pinta-ala, jos sen korkeus on 6 cm.
7) Puolisuunnikkaan pinta-ala on 20 ja sen toinen sivu on 4 cm. Etsi etäisyys siihen vastakkaisen sivun keskeltä.
8) Tasakylkisen puolisuunnikkaan lävistäjä jakaa sen kolmioihin, joiden pinta-alat ovat 6 ja 14. Selvitä korkeus, jos sivu on 4.
9) Puolisuunnikkaan lävistäjät ovat 3 ja 5, ja kantajen keskipisteitä yhdistävä jana on 2. Etsi puolisuunnikkaan pinta-ala (Mekhmat Moskovan valtionyliopistosta, 1970).

En valinnut eniten haastavia tehtäviä(älä pelkää mekhmatia!) odottaen heidän itsenäisen ratkaisunsa mahdollisuutta. Päätä terveydestä! Jos sinun on valmistauduttava matematiikan kokeeseen, ilman osallistumista tähän prosessiin voi syntyä puolisuunnikkaan alueen kaavoja vakavia ongelmia jopa ongelman B6 kanssa ja vielä enemmän C4:n kanssa. Älä aloita aihetta ja jos sinulla on ongelmia, pyydä apua. Matematiikan opettaja auttaa sinua aina mielellään.

Kolpakov A.N.
Matematiikan opettaja Moskovassa, valmistautuminen kokeeseen Stroginossa.